利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

培優(yōu)課06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)培優(yōu)點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)典例1設(shè)函數(shù)fx=lnx+mx,m∈R，討論函數(shù)解題觀摩[解析]由題意得f'x=令g設(shè)hx=-當(dāng)x當(dāng)x所以h又h0=0所以①當(dāng)②當(dāng)③當(dāng)④當(dāng)綜上所述，當(dāng)m>23時(shí)，函數(shù)gx無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m=23或m利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的一般方法1.通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等,進(jìn)而研究函數(shù)零點(diǎn)的情況；2.根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置；3.數(shù)形結(jié)合去分析問(wèn)題，可以使問(wèn)題的求解過(guò)程有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).由判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)變?yōu)樽C明零點(diǎn)個(gè)數(shù)已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx的單調(diào)性[解析]根據(jù)題意得，f'x=當(dāng)a≤0時(shí)，f'x>當(dāng)a>0時(shí)，令f'令f'x>所以fx在0,2a故當(dāng)a≤0時(shí)，fx在0,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，（2）設(shè)gx=[fx][解析]當(dāng)a=2時(shí)，fx=x所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'x<0，fx單調(diào)遞減；當(dāng)x又當(dāng)x→0時(shí)，fx→+∞，當(dāng)所以fxgx=[fx令hm=m2-m-2ln因此當(dāng)m∈1,1+當(dāng)m∈1+174由于h1=0，故h由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，得存在m0∈(1+17所以hm有兩個(gè)零點(diǎn)m0和m1=1，即方程f作出fx當(dāng)fx=1所以方程fx=1當(dāng)fx=m因?yàn)?+所以由fx圖象可知，fx=m0有兩個(gè)不同的根x綜上，當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)培優(yōu)點(diǎn)二根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍典例2已知函數(shù)fx=ax-1x-a+1lnx解題觀摩[解析]由題意得，f'①當(dāng)a≤0時(shí)，ax-1≤當(dāng)0<x<1時(shí)，f'x>0，當(dāng)x>故f②當(dāng)a>0時(shí)，令f'x=當(dāng)0<a<1時(shí)，1a>1，可得fx在0,1,(1極小值為f當(dāng)a>1時(shí)，0<1a<1，可得f在1a故fx的極小值為f極大值為f當(dāng)a=1時(shí)，所以f且f1=0綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,+∞利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的方法1.分離參數(shù)a=gx后，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=gx2.利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解.3.轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.求參數(shù)范圍變?yōu)榍髤?shù)的值已知函數(shù)fx=x+2e（1）若a=-3，求[解析]當(dāng)a=-3時(shí)，fx=x+2ex+x當(dāng)x≤-3時(shí)，x+3ex≤當(dāng)x>-3時(shí)，x+4ex>0，h'x>0，hx單調(diào)遞增.又h0=0，所以當(dāng)綜上，fx在-∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，故f（2）若函數(shù)gx=fx[解析]已知gx=f當(dāng)x→-∞時(shí)，gx→+∞；當(dāng)x因?yàn)楹瘮?shù)gx=fx-2cosx恰有一個(gè)零點(diǎn)，且g0=0，所以0是函數(shù)gx的唯一零點(diǎn)，可得g'x所以x+4ex+2+2cosx>0在-4,+∞恒成立，則函數(shù)kx在-4,+∞上單調(diào)遞增，即函數(shù)g'x在-4,+∞上單調(diào)遞增，又g'0=3+故當(dāng)x∈0,α?xí)r，gx故gx在0,+∞上存在一個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)函數(shù)gx當(dāng)3+a>0時(shí)，可得所以在區(qū)間-4,0上存在一點(diǎn)β故在β,0上，g'x>故gx在β,0故當(dāng)x∈β,0時(shí)，gx