導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案 人教課標(biāo)版

《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》教案

教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖

一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課

老師引導(dǎo)學(xué)生

.回顧舊知、引出研究的問題：回憶聯(lián)系本節(jié)課的

前面我們初步了解了一些微積分背景知識，對有“微積分之父”舊知識，下面探究導(dǎo)

之稱的牛頓和萊布尼慈，也相識了（幽默：同時(shí)知道當(dāng)?shù)牟灰祝瑪?shù)的幾何意義也是

依據(jù)導(dǎo)數(shù)概念的形

之后重點(diǎn)學(xué)習(xí)了函數(shù)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)r（%）就是函數(shù)在該點(diǎn)處的

成，尋求解決問題的

瞬時(shí)變化率。那么：途徑。

提問：（）求導(dǎo)數(shù)廣（的）的步驟有哪幾步？

生：總共分三步（拉音，模仿趙本山）：教師板書，便于

學(xué)生數(shù)形結(jié)合探究

第一步：求增量Ay導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

第二步：求平均變化率"=+；

AxAx

第三步：求瞬時(shí)變化率八押=如,/（*+弋一）?

（即&CT0,平均變化率算近于的破牢單鰲就是該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）

（）觀察函數(shù)y=f（x）的圖象，平均變化率

突破平均變化

率的幾何意義，后面

在表示割線斜率時(shí)

能直接聯(lián)系此知識。

同時(shí)引出本節(jié)課的

研究問題一一導(dǎo)數(shù)

幾何意義是什么？

（復(fù)習(xí)引入用時(shí)約

分鐘）

生：平均變化率表示的是割線的斜率.

師：這就是巴弊化率會）的幾膝義，那么瞬時(shí)變化率

(lim竺)在圖中又表示什么呢？今天我們就來探究導(dǎo)數(shù)的幾何意

加TOAx

義。板書

二、引導(dǎo)探究、獲得新知

.動畫類比，得到切線的新定義

要研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念，即要探究以求導(dǎo)數(shù)的兩

△xf0,割線的變化趨勢，看下面的動畫。

個(gè)步驟為依據(jù)，從平

?多媒體顯示【動畫】：均變化率的幾何意

義入手探索導(dǎo)數(shù)的

圓上點(diǎn)處的切線和割線，演示點(diǎn)從右邊沿著圓逼近點(diǎn)，然后再

幾何意義，抓住

從左邊沿著圓逼近點(diǎn)，即At70,割線的變化趨勢。

Ax一■()的聯(lián)系，在

圖形上從割線入手

來研究問題。

種內(nèi)在聯(lián)系呢？帶著問題觀察

生：先感知后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)8-0,隨著點(diǎn)沿著圓逼近點(diǎn)，割線動畫，借助熟悉的圓

中的某點(diǎn)處的割線

無限趨近于點(diǎn)處的切線。

和切線，學(xué)生更易感

?把割線逼近切線的結(jié)論從圓推廣到一般曲線，可得:知當(dāng)&cf0,割線

多媒體顯示【動畫】：的變化趨勢。

動態(tài)演示教材上點(diǎn)P(X0+AA-,/(X0+AX))沿著曲線/(X)趨近于

用逼近的方法體

點(diǎn)P(x0,f(x))時(shí)，割線的變化趨勢圖。

u會割線逼近切線，消

除學(xué)生對極限的神

師：類比【動畫】，當(dāng)點(diǎn)［,(/+Ax,，(％+—))沿著曲線/(幻趨秘感。

近于點(diǎn)P(4,.〃x。))時(shí)，即8->0,研究割線P2的變化趨勢。

肯定學(xué)生的研

函數(shù)yMx)圖依究結(jié)果，并引導(dǎo)學(xué)生

把這種由割線逼近

的方法得到切線推

廣到一般曲線，并由

此得出割線的變化

趨勢，為研究幾何意

義做好鋪墊。

兩個(gè)動畫，探索

一般曲線中的切線

學(xué)生觀察【動畫】，類比得出一般曲線的切線定義：定義，讓不同程度的

學(xué)生都能借助直觀

當(dāng)點(diǎn)e,(Xo+Ax,f(Xo+A￥))沿著曲線/(%)逼近點(diǎn)P(x,f(x))

00的圖象感知和發(fā)現(xiàn)，

得出：-0,害IJ

時(shí)，即Ar7(),割線尸以趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置上的

線逼近該點(diǎn)處的切

直線稱為點(diǎn)處的切線。線

突破研究的難點(diǎn)：Arf0，割線叱一點(diǎn)處的切線

(直觀獲得切線的

那么：割線的斜率->?與導(dǎo)數(shù)/(朝)又有何關(guān)系

定義，至此用時(shí)約分

呢？進(jìn)行下面的探究活動。鐘)

感知聯(lián)系，運(yùn)用

.數(shù)形結(jié)合，探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合的方法研

結(jié)合【動畫】的變化過程，探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。究數(shù)值表示。從直觀

感知到數(shù)式研究相

【探究一】

對照，有利于大多數(shù)

.已知曲線上兩點(diǎn)P(x(),/(入0)),乙(々+Ar,/(Xo+Ax)),求：學(xué)生主動建構(gòu)知識，

進(jìn)而得出導(dǎo)數(shù)的幾

0結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)，割線「巴的斜率可表示為什么?何意義。

生：k=/(7>+-)-/(X。)

△x

()結(jié)合Ar-0,割線叱-*切線，則切線的斜率人可表

示為什么？

生：左=1汕〃％+-)一/5)

-Ar

.你能發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義嗎？

生：函數(shù)/(X)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜

要求學(xué)生善于

率3即：k=lim/(4+-/(X。)二,歸納和總結(jié)并深入

AA-OAr體會知識間的聯(lián)系。

.在上面的研究過程中，某點(diǎn)處的割線斜率與切線斜率與某點(diǎn)

附近的平均變化率和瞬時(shí)變化率有何聯(lián)系？

生：平均變化率f瞬時(shí)變化率

割線的斜率A"0-＞切線的斜率

三、探索小結(jié)、重點(diǎn)講評

,獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義

借助實(shí)物投影

?學(xué)生快速探究活動后，展示研究成果，教師重點(diǎn)講評：儀，展示學(xué)習(xí)成果，

割線P《的斜率是k,="一+位)一"%),學(xué)生經(jīng)歷了完整的

(x0+Ax)-x0探究過程后，教師的

講評就可以有針對

當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)時(shí)，火,,無限趨近于切線的斜率左,

2性和詳略，學(xué)生也可

即心.2=/，(/)以結(jié)合自己探究的

但。\X體會更好地建構(gòu)知

識。

切線的斜率上即為函數(shù)在X=X0處的導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

/,()=lim/(%+?—)=曲線祗=/處的切線的斜率々

突破導(dǎo)數(shù)的幾何

師：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們可以解決哪些問題？

意義這個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)。

生：已知某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或者切線的斜率可以求另外一個(gè)量。

\1.1

一

一

-1-----

W

TII111

初中平面幾何中，圓的切線的

的定義：直線和圓有惟一公共點(diǎn)

通過將曲線一

時(shí)，叫做直線和圓相切。這時(shí)，

點(diǎn)處的局部“放大、

直線叫做圓的切線，惟一的公共

放大、再放大”的直

占叫做切占。

''圓是2種特殊的曲線。這種觀方法，形象而逼真

地再現(xiàn)“以直代曲”

定義并不適用于一般曲線的切

思想。

線。例如上圖中，直線雖然與曲

滲透用導(dǎo)數(shù)的

線有惟一的公共點(diǎn)，但我們不能幾何意義研究函數(shù)

認(rèn)為它與曲線相切；而另一條直的增減性

線雖然與曲線有不只一個(gè)公共

至此突破學(xué)習(xí)重

點(diǎn)，我們還是認(rèn)為它是曲線的切

點(diǎn)和難點(diǎn)，用時(shí)約分

線。因此，以上圓的切線定義并

鐘

不適用于一般的曲線。

通過逼近的方法，將割線趨于

確定位置的直線定義為切線（交

占可能不惟一）.話用干各種曲

.了解以直代曲思想

把點(diǎn)附近函數(shù)的圖象放大，引導(dǎo)學(xué)生理解以直代曲思想是指

某點(diǎn)附近一個(gè)很小的研究區(qū)域內(nèi)，曲線與切線的變化趨勢基本一

致，故可由曲線上某點(diǎn)處的切線近似代替這一點(diǎn)附近的曲線。

汕幺%

師：在某點(diǎn)附近一個(gè)很小的研究區(qū)域內(nèi)，曲線與切線的變化趨

勢有何關(guān)系？如果切線的斜率為正，則該點(diǎn)附近曲線的增減情況

怎樣？

生：點(diǎn)附近，曲線和該點(diǎn)處的切線的增減變化情況一致。如果

切線的斜率為正，則該點(diǎn)附近曲線呈上升趨勢。

見學(xué)案“學(xué)生活

四、知識應(yīng)用、鞏固理解動”

.導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

例題：簡單小題

例題：如圖，它表示跳水運(yùn)動中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)要求學(xué)生動腦

（審題），動手（囪切

〃⑺=—4.9〃+65+10的圖象。

線），動口（討論），

體會利用導(dǎo)數(shù)的幾

何意義及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)

來研究函數(shù)在某點(diǎn)

附近的單調(diào)性，滲透

“數(shù)形結(jié)合”的思想

方法，運(yùn)用以直代曲

的思想方法。

【探究二】

.用圖形體現(xiàn)/⑴=一3.3,1（0.5）=1.6的幾何意義。

問題由具體的導(dǎo)數(shù)

.導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，反應(yīng)該點(diǎn)附近的曲線有何變化趨勢？

入手，熟悉導(dǎo)數(shù)的幾

.請描述、比較曲線〃⑺在r0,小G附近增（減）以及增（減）何意義，幫助學(xué)生感

知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)

快慢的情況。在、口附近呢？性之間的聯(lián)系。

分析：附近：m,增減：變化率，即研究函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬問題引導(dǎo)學(xué)生感

時(shí)變化率，也就是導(dǎo)數(shù)?？山柚芯€的變化趨勢得到導(dǎo)數(shù)的情況。知導(dǎo)數(shù)反映變化率

的本質(zhì)。

生：作出曲線在這些點(diǎn)處的切線，在處切線平行于x軸，

問題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的

即/仇）=0,說明在時(shí)刻附近變化率為，函數(shù)幾乎沒有增幾何意義，借由切線

的變化趨勢，得出切

線的斜率即該點(diǎn)處

減；在乙，弓作出切線，切線呈下降趨勢，即〃'1）<0,h\t2）<0,

的導(dǎo)數(shù)的情況，進(jìn)而

函數(shù)在點(diǎn)附近單調(diào)遞減。曲線在附近比在乙附近下降得更判斷函數(shù)的單調(diào)性。

區(qū)步S?*a>out?S?QIarunr，345，

快，則是因?yàn)閱?）|<|〃'應(yīng)）1。

小結(jié)：附近：解町，增減：變化率，即研究函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬

時(shí)變化率，也就是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即對應(yīng)函數(shù)的增減。作出該

點(diǎn)處的切線，可由切線的升降趨勢，得切線斜率的正負(fù)即導(dǎo)數(shù)的

正負(fù)，就可以判斷函數(shù)的增減性，體會導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減、變

化快慢的有效工具。給出曲線上各

同時(shí)，結(jié)合以直代曲的思想，在某點(diǎn)附近的切線的變化情況與曲點(diǎn)的切線的變化圖，

線的變化情況一樣，也可以判斷函數(shù)的增減性。都反應(yīng)了導(dǎo)數(shù)是體會導(dǎo)數(shù)就是反映

研究函數(shù)增減、變化快慢的有效工具。函數(shù)變化率的，借助

曲線可以得出切線

例如圖表示人體血管中的藥物濃度（單位：mg1mL）斜率的情況即該點(diǎn)

處導(dǎo)數(shù)的情況。體會

隨時(shí)間f（單位：min）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì)

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)增

r=0.2,0.4,0.6,0.8（）時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)減和變化快慢的應(yīng)

用。

據(jù)用表格的形式列出。（精確到）

—

t

藥物濃度

的

瞬時(shí)變化

率

（注記：要求學(xué)生動腦（審題），動手（畫切線），動口（說出

如何估計(jì)切線斜率），進(jìn)一步體會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際

問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。