浙江省紹興市某中學(xué)2024屆高三年級(jí)下冊(cè)5月模擬數(shù)學(xué)試題 含答案

浙江省紹興市第一中學(xué)2024屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號(hào)等個(gè)人信息填寫(xiě)在答題卡指定位置。

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛

筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽

字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試

題卷、草稿紙上作答無(wú)效。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi)，竹對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.己知A=|無(wú)生=若2e/,則他的取值范圍是（）

iiwc—1I

A.——<m<—B.——<m<—C.m<——或機(jī)D.m<——或mN—

22222222

3.已知向量滿(mǎn)足同=W=lJe|=若，^a+b+c=0，則—（）

A竺R3g3A/313

RD.

14141414

4.已知ae1o,5),cos[a+§[=一百，貝ljsina=()

A12+56D12-5gc12用512石-5

A.---------------D.----------------C?-----------

26262626

設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸（）；（）；（）；

5.A,BA=,P3=,PAu5=則

P仍1可=（）

A.—B.-C.—D.—

43612

6.若一個(gè)圓錐的體積為2叵，用通過(guò)該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到的截面三角形的

3

7T

頂角為I",則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.yfluB.2TIC.2缶D.4A/2K

7.己知函數(shù)〃尤)=是奇函數(shù)，則x>0時(shí)，g(x)的解析式為()

、g(x),x>0

ATB.&C.2

D.2尤

22

8.已知雙曲線(xiàn)C:與-3=l(a>0,6>0)的實(shí)半軸長(zhǎng)為百，其上焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的一條漸近

ab

線(xiàn)的距離為3,則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為()

A.y=±6xB.y=±^-xC.y=±^-xD.y=±x

-323

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)相，“是兩條不同的直線(xiàn)，a,夕是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的有()

A.若機(jī)_L〃，nu/3,則aJ■尸

B.mLa,mHn,nlI/3,則。_1力

C.若a//￡,7z_L/J,貝

D.若〃z_La,n±/3,mLn,則a_L分

10.已知函數(shù)"x)=log6(2'+3)g(x)=log3(6'-2)下列選項(xiàng)正確的是()

A-PH出

B.3x0e(O,l),使得/(%)=且(％)=%

C.對(duì)任意xe(l,+8),都有/(x)<g(x)

D.對(duì)任意x?0,+8),都有v|g(x)-x|

11.如圖，已知直三棱柱ABC-ABC的所有棱長(zhǎng)均為3,E,尸,G分別在棱A耳,AG，

AB,AC±,且AO=AE=8F=CG,”,P分別為BCA"的中點(diǎn)，貝U()

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

A.057/平面PfU

9

B.若M,N分別是平面AA3片和AACG內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則△MNP周長(zhǎng)的最小值為:

C.若BF=；AB,過(guò)產(chǎn),EG三點(diǎn)的平面截三棱柱所得截面的面積為史.

34

D.過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)和BC所成的角都為45°的直線(xiàn)有且僅有1條

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在[2苫-^+1]的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.

13.記正項(xiàng)數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為%若=則呼+等的最小值

為.

14.歐拉函數(shù)"(〃)表示不大于正整數(shù)”且與〃互素(互素：公約數(shù)只有1)的正整數(shù)的個(gè)數(shù).

已知夕(〃)=〃1」…1」1」，其中Pi，P2,…，P,是〃的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)

IPl)IP2APr)

(質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)).例如夕(1。。)=1。。*11-￡][1-￡|=40,若數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為3,

公比為2的等比數(shù)列，貝!logj+eSO+WaH…+。(/0)=-

四、解答題

15.在..ABC中，角A在C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知

(cosB+cosA)(cosB-cosA)=sinC(sinC-y/2sinB).

(1)求角A的大??；

⑵若a=3垃,b+c=6,求ABC的面積；

(3)若c=0,a=盯,D為2C的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).

16.五一假期后，高二年級(jí)籃球賽進(jìn)入白熱化階段，甲、乙、丙三支種子隊(duì)在進(jìn)入半決賽之

前不會(huì)相遇.他們都需要在最后一輪小組賽中戰(zhàn)勝對(duì)手從而進(jìn)入淘汰賽，然后在淘汰賽中勝

出才能進(jìn)入半決賽.已知甲隊(duì)在小組賽最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為;和二；乙隊(duì)

34

在最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為=3和三4；丙隊(duì)在最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分

45

33

別為p和90,其中o<°<；

24

(1)甲、乙、丙三隊(duì)中，誰(shuí)進(jìn)入半決賽的可能性最大；

⑵若甲、乙、丙三隊(duì)中恰有兩隊(duì)進(jìn)入半決賽的概率為3荒7，求〃的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)甲、乙、丙三隊(duì)中進(jìn)入半決賽的隊(duì)伍數(shù)為九求J的分布列及期望.

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

17如圖’已知三棱臺(tái)"CT4G的體積為普’平面A網(wǎng)4,平面2c3,MC是

以8為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且48=244,=24用=22耳，

(1)證明：3C1平面4320；

⑵求點(diǎn)8到面ACGA的距離；

(3)在線(xiàn)段CG上是否存在點(diǎn)尸，使得二面角F-AB-C的大小為2,若存在，求出CF的長(zhǎng),

6

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，且滿(mǎn)足S“=2a”-2.數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為小且滿(mǎn)足

111,1/

女=1,-----+------++-------=1--------neN

他b2b3bnbn+1%'

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式；

⑵若c?=anbn,設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為3,且對(duì)任意的〃eN*,H.-["-(一4m]??+1＜。恒

成立，求機(jī)的取值范圍.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M和N是x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M傾斜角

為。的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C:;/=4x交于兩點(diǎn)，且

⑴若N為C的焦點(diǎn)，求證：cos26=6-2；

⑵過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，垂足為若/ABH=29,求直線(xiàn)/的方程.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案：

1.B

【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算即可.

l+2i(l+2i)(l+i)-l+3i(13、

【詳解】由口■=二―,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為卜5,該點(diǎn)位于第二象限,

故選：B.

2.A

【分析】將尤=2代入竺二WO,然后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解可得.

mx-l

【詳解】因?yàn)?e/,所以等=40,等價(jià)于[，相機(jī)一1)*。，

2m-1[2m-1^0

解得一

22

故選：A

3.A

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出2力、〃"、。0即可求出(。-。)-(。-。)、|。-。]、卜-。|，

再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.

【詳解】由題意得上力二-1則(。+。)2=°2有12+2〃2+12=(6)2,解得〃力=g,

3

又由〃+C=-b,貝I(Q+C)2=Z?2有『+2Q.C+=]2,解得〃.6=一5，

..3

同理可得bc=--,

所以(〃_<?)?僅―3)=〃2_41—匕七+(72=[35，

|-c|=Ja2-2〃?c+/=y/y,

|/?—c|=y/b2-2b-c+c2=A/7,

(a-c)-R-c)_萬(wàn)j3

所以C0S(4-e,0-c

|6z-c|?|z?-c|V?xV714

故選：A

4.A

【分析】先根據(jù)平方關(guān)系求出sin(a+mj,再根據(jù)c=(a+]J-5結(jié)合兩角差的正弦公式即

可得解.

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

【詳解】因?yàn)樗?/p>

71.(冗、兀(兀、.兀

所以sina=—=sina+—cos—cosa+—sin—

3jI3)3I3)3

121(5V3_12+5A/3

——x—

13226

故選；A.

5.B

【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)解得尸（A0=g,結(jié)合P（5）=P（AB）+P（M）可得尸（45）=：,

代入條件概率公式分析求解.

【詳解】因?yàn)镻（AuB）=P（A）+尸（B）—P（AB）,即:=；+；—P（A3）,解得尸（A3）=5,

又因?yàn)槭?尸（神）+尸（五），即3='+?（油），解得尸（社）=；,

且尸（A）=j可得尸⑷=1-P（A）=（,

所以WB⑶=器=^4-

4

故選：B.

6.C

【分析】由體積求出圓錐的底面圓半徑和高，母線(xiàn)長(zhǎng)，即可計(jì)算圓錐的側(cè)面積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為"，高為h,由軸截面三角形的頂角為宙，得r=h,

所以圓錐的體積為用"辦=夕=半，解得r=6,

所以圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為/=07=2，

所以圓錐的側(cè)面積為％=兀"=7TX0x2=2缶.

故選：C.

7.C

【分析】設(shè)x>0,利用x<0時(shí)，=和=可求得g（x）的解析式.

【詳解】設(shè)x>0,則r<0,

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

所以〃T）==2\

又函數(shù)“X）是奇函數(shù)，所以/（—x）=—〃x）,即一〃x）=2，n〃x）=-2，，x>0.

即g(x)=-21

故選：C

8.B

22

vr|Z?XC±6ZXO|

【分析】設(shè)雙曲線(xiàn)C:?1（。>0/>o）的上焦點(diǎn)為（0?,由題意可得證+投='

可求6,由己知可求。，可求漸近線(xiàn)方程.

22

【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)C:三-2=1（。>0*>0）的上焦點(diǎn)為（0?,

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為by+ax=0,

\bxc±ax0\

由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得

耳+廬

22_

又雙曲線(xiàn)C:^-1r=1（。>0,6>0）的實(shí)半軸長(zhǎng)為百，所以0=道,

所以雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為3y土瓜=0,即y=±#x.

故選：B.

9.BCD

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】A.若〃2_1_〃，機(jī)ua,nu0,不能推出m_L分或“J_a,則不能推出aJ■耳，故A

錯(cuò)誤；

B.若根〃〃，則"」a,又"〃?，所以￡_1_2，故B正確；

C.若a//￡,〃_L/,則〃_La,又根ua,所以故C正確；

D.若加」a,nVp,m_Ln,說(shuō)明與a和4垂直的法向量互相垂直，則故D正確.

故選：BCD

10.BCD

【分析】根據(jù)行+6>g，指-后即可判斷A；根據(jù)2飛+3"。=6%，令

力⑺=6、-2,-3工，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可判斷B；由〃尤)-x=log6

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

g(x)-x=log32「(胃，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得〃x)T和g(x)-x的單調(diào)性，即可

判斷C；由選項(xiàng)BC的分析可得6小)-6，=3，_3小)，分類(lèi)討論當(dāng)X^O,%)、xc(如+?>)時(shí)

k-/(刈與|g(x)-x|的大小,進(jìn)而判斷D.

【詳解】A：因?yàn)?拒+退了=5+2#>(而『，所以夜+若>痛，V3>A/6-A/2.

lo

因?yàn)閐=log6(0+6)>logs娓=g,gHg3胡_吟<logs石=1,

所以d>g]￡l'故A錯(cuò)誤；

B：若/(%)=8(%)=%，貝!j/(xo)=log6(2'o+3%)=%=log66^,即2而+3%=6%,

g(毛)=log3(6*-2而)=毛=log33^,可得6%-2*。=3%,

令力(力=6'—2'-3',因?yàn)?(0)=-1,/z(l)=l,

所以孔武。」)，使得〃(1)=0,即2&+3'。=6歷，故B正確；

YXX2

C：H/(^)-^=log6(2+3)-log66=log6j^^log61J+出，

且y=[J+QJ在(1,+⑹上單調(diào)遞減，所以〃X)-X也單調(diào)遞減，

可得了")7<1086、+；]<0,

X￥￥6

S=log3(6-2)-log33=log3(3/j=log3.

又y=2「[]在。,+⑹上單調(diào)遞增，所以g(x)T也單調(diào)遞增，

得g(x)-x>k>g3(2-g]>0,即f(x)-x<g(x)-x,

因此，對(duì)于任意的xe(l,+oo),都有/(x)<g(x),故C正確；

D：由B可知：Hx0e(0,l),使得〃(不)=0,

結(jié)合C的結(jié)論,可知當(dāng)xe(O,Xo),/(x)>x,g(x)<x,即g(x)<x<〃x),

當(dāng)尤武為,+00)時(shí)，/(x)<x,g(x)>x,BPf(x)<x<g(x),

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

因?yàn)?八，)=2,333鼠，)=6工-23得2,=6徇-38=6,-3則，即6?)-6工=3,_3則，

當(dāng)xe(0,%)時(shí)，有6*(6/()*一1)=⑺一1),

因?yàn)?，>3對(duì)，所以6""-1<34★)一1，所以0</(x)-x<x-g(x),

因此可得g(x)_x〈x_/(x)<0,即|尤_/(尤)|?|g(尤)_尤|,

當(dāng)xe,有6/⑺(6-3-1)=3[3《鵬-1),

因?yàn)?鋼>3"，所以6>必)-1<3贏(yíng)2一1，可得。<工一?<8(同一兀，即上一/(%)歸心(0-乂,

因此，對(duì)于任意的尤?。,”)，都有卜-/⑺歸卜(無(wú))-尤|,故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略：

形如/⑺>g⑺的恒成立的求解策略：

1、構(gòu)造函數(shù)法：令%x)=/(x)-g(x),利用導(dǎo)數(shù)或基本函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)產(chǎn)⑺的單

調(diào)性與最小值，只需/(力出20恒成立即可；

2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為。之夕⑺或。<0(x)恒成立，即a?e(x)1rax或。40(x)111kl恒成立，只

需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)0(X)的單調(diào)性與最值即可；

3,數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)y=/(x)的圖象在y=g(x)的圖象的上方(或下方)，進(jìn)而得到不

等式恒成立.

11.BC

【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的定義判斷A；求出點(diǎn)P關(guān)于平面片和AACC]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離

判斷B；計(jì)算截面面積判斷G找出與過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)AA和8c所成的角都為45°的直線(xiàn)條

數(shù)判斷D.

【詳解】直三棱柱ABC-的所有棱長(zhǎng)均為3,

對(duì)于A(yíng),由AO=AE=BF=CG,得DEIRCJIBC/IFG,

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

顯然fUDE構(gòu)成一個(gè)平面，連接。EEG,A/和A。，

正方形441KB中，AiD=BF,設(shè)42DF=Ol,顯然，尸Q,

則4。1=80一即。1為4出的中點(diǎn)，于是。01=尸。「即J為。尸的中點(diǎn)，

同理設(shè)A。EG=G>2,則。2為EG的中點(diǎn)，因此。。2是，4BC中位線(xiàn)，

由44為ABC中線(xiàn)，得尸為。02中點(diǎn)，因?yàn)椤?u平面/GE。，

因此Pe平面尸GED,即平面PFG與平面PGED為同一個(gè)平面，則。E在平面PFG內(nèi)，A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B,顯然平面AAB片與平面AACG所成銳二面角大小為60。，

計(jì)算可得點(diǎn)H到平面AA8旦和AACG的距離±8,由選項(xiàng)A知，尸是AH的中點(diǎn)，

4

則點(diǎn)P到平面4A2瓦和4ACG的距離史,令點(diǎn)尸關(guān)于平面A.ABB,和4ACQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分

8

別為M，

則當(dāng)M,N分別取直線(xiàn)與平面型止片和AACG的交點(diǎn)時(shí)，△WP的周長(zhǎng)最短，

4出[2727279

由|尸陷1=1PN[\=,ZM]=120\WI|=—+--2x—x(--)=-)

4V16161624

9

所以△M/P周長(zhǎng)的最小值為了，B正確；

對(duì)于C,由選項(xiàng)A知，D,E在過(guò)P,F,G三點(diǎn)的平面內(nèi)，截面為四邊形尸GED,

DE=1,FG=2,DF=EG=回,則截面面積為工。向]工x(1+2)=上叵，C正確；

2V44

對(duì)于D,顯然A41J_8C,過(guò)點(diǎn)A作8c的平行線(xiàn)8'C',則A4,，,

與AA成45°的所有直線(xiàn)構(gòu)成以A為頂點(diǎn)的兩個(gè)對(duì)頂圓錐(AA為軸)，

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

同理與BC成45°的所有直線(xiàn)構(gòu)成以A為頂點(diǎn)兩個(gè)對(duì)頂圓錐（BC為軸）,

而AA與所成角90°,因此圓錐面上公共直線(xiàn)共有兩條，

所以過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)A4和BC所成的角都為45°的直線(xiàn)有2條，D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線(xiàn)段和最小的問(wèn)題，把相關(guān)線(xiàn)段所在的平面圖形

展開(kāi)并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解決是關(guān)鍵.

12.81

【分析】

kr2k

（2工一工+1）的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式加=2-*弓（-1）"Crx-,r>左/#eN,令―2左=0,即可

得出.

【詳解】

（2%-工+”的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式：（M=G（2x-/y,r=0,l,2,3,4,5.

（2x--）r的通項(xiàng)公式：仁（_球（2X）=2=（-1卜"口.

X

故（2x-+1）的通項(xiàng)為心=2-C；（-1/C）f,r>k,r,keN

令r-2k=。,貝。左=0,r=0；k=l,r=2；k-2,r=4.

因止匕常數(shù)項(xiàng)1+2xC；x（-I?xC；+22C；x（-I）?xG=81.

故答案為：81.

13.這

3

【分析】由S“=%（：+1）,利用數(shù)列通項(xiàng)和前w項(xiàng)和的關(guān)系求得%=".=*辿，再令

1OQ

f（x）^x2+—,x>0,利用導(dǎo)數(shù)法求解.

【詳解】當(dāng)”=1時(shí)，4=凡=坐+11,則4=1或q=0（舍去），

當(dāng)”22時(shí)，由$=%（4+1）,得§八（"1）,

22

兩式相減得2%=烯+-_an-l，得（4+an-l）（an~%TT=。，

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

因?yàn)?＞。所以%-

所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則4=〃,s.=嗎D,

4/（x）=x2+—,x＞0,則尸（x）=2x—等=2卜丁4）,

當(dāng)X￡（0,4）時(shí)，/r（x）＜0,當(dāng)X￡（4,+8）時(shí)，＞0,

所以“X）在（。,4）上單調(diào)遞減，在（4,包）上單調(diào)遞增，

由S〃=’2’隨」的增大而增大，S2==3，S3=~^=6f

。2128c128155m128“64172

72s2333s333

所以整c2+k128的最小值為1名55.

s〃3

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)〃》）=k+上192判斷得其單調(diào)性，從而考

X

慮$2，邑的情況，從而得解.

14.2100

【分析】計(jì)算出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后，結(jié)合歐拉函數(shù)研〃）計(jì)算即可得解.

【詳解】由題意可得%=3x2"、則。（4）="（3）=3X[1-；）=2,

當(dāng)*2時(shí)，°（a,）=32Tx[l-；加-3=2"7,

貝煬⑷+03）+0（％）+…+0&00）=2+21+22++299=2+羋＞=2叫

故答案為：2100.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于分〃=1及九22進(jìn)行討論，結(jié)合題中公式求｛姒“,）｝的

通項(xiàng)公式.

7C

15.⑴A="

⑵巧

2

⑶叵

2

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理即可求解;

(2)根據(jù)余弦定理得灰=9(2-五)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求解;

(3)根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式結(jié)合條件即可求解.

【詳解】(1)(cosB+cosA)(cosB-cosA)=sinC(sinC-asinB),

/.cos2B-cos2A=sin2C-0sin5sinC,

即sin2C+sin2B—sin2A=y/2sinBsinC.

由正弦定理得°2+62_/=后尻，由余弦定理得cos4=日，

71

Ae(0,7r),.\A=-；

4

(2)a=3A/2,b+c=69

由余弦定理得18=+/一26cx#=(6+c)2-2bc1+孝),

99

be=9(2-SABr=-Z>csinA=^~；

22

(3)

A

X

BDC

在.ABC中，由余弦定理得5=^+2-2bx&x變，

2

即62一26-3=0,又3>0,得6=3,

。為8C的中點(diǎn)，.?.AD=g(AB+AC),

兩邊平方得=:僅2+<?+26CCOSA)=?,

■]AD\=^~，

即中線(xiàn)AD的長(zhǎng)度為姮.

2

16.(1)乙進(jìn)入決賽的可能性最大

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

149

(3)分布列見(jiàn)解析，E(^)=—

【分析】(1)根據(jù)題意，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，分別求得甲乙丙進(jìn)入決賽的概

率，即可求解；

(2)由甲、乙、丙三隊(duì)中恰有兩對(duì)進(jìn)入決賽的概率，結(jié)合列出方程，即可求解；

(3)根據(jù)題意，得到J的可能取值為0」,2,3,求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望公

式，即可求解.

231

【詳解】(1)解：由題意，甲隊(duì)進(jìn)入半決賽的概率為乙隊(duì)進(jìn)入決賽的概率為

9

丙隊(duì)進(jìn)入決賽的概率為p+一

16

因?yàn)樗訮(g—P9

<一

16

顯然乙隊(duì)進(jìn)入決賽的概率最大，所以乙進(jìn)入決賽的可能性最大.

(2)解：因?yàn)榧?、乙、丙三?duì)中恰有兩對(duì)進(jìn)入決賽的概率為次,

37

麗,解得

32

因?yàn)樗?=1

135

(3)解：由題意可知：甲、乙、丙三隊(duì)進(jìn)入決賽的概率分別為

且隨機(jī)變量4的可能取值為0,1,2,3,

437

可得PC=0)=1=麗，

453

1351437j__1

p(^=3)=-x-x-=-,P(^=l)=l--

259645906~3

所以4的分布列為:

0123

4￡371

P

453906

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

41371149

所以，?^E(^)=0x--+lx-+2x--+3x-=--.

45390o90

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵組

7

(3)存在，。尸=還

5

【分析】（1）根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)、長(zhǎng)度關(guān)系和勾股定理可證得A瓦，B耳；由面面垂直和線(xiàn)面

垂直的性質(zhì)可證得A與，BC,結(jié)合BCLAB可證得結(jié)論；

Q

（2）延長(zhǎng)AV網(wǎng),CG交于一點(diǎn)尸，根據(jù)/_.=?。.可求得匕—利用體積橋

L—ABC=匕“這可構(gòu)造方程求得結(jié)果；

（3）根據(jù)線(xiàn)面垂直和面面垂直性質(zhì)可作出二面角的平面角，設(shè)FE=8,根據(jù)幾何關(guān)系可

表示出DE,由二面角大小可構(gòu)造方程求得心進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】（1）連接A片，

在三棱臺(tái)ABC-ABC1中，AB/ZA^.

AB=2AAi=24瓦=2BBt,四邊形ABBXA｝為等腰梯形且ZABBt=ZBA4,=60,

設(shè)AS=2x,貝1]叫=不

由余弦定理得：A琢=AB2+BB；-2AB-BB,cos60=3,，

2

AB=AB：+BB；,ABt_LBBt；

平面AB4A，平面BCG耳，平面ABBW平面8CG4=84，A耳u平面

AB】_L平面BCC[B],又BCu平面BCClBl,ABt_LBC；

ABC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，臺(tái)。，AB,

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

ABABX=A,AB,Afi】u平面ABgA,..BC_L平面ABSH.

(2)由棱臺(tái)性質(zhì)知：延長(zhǎng)A4,,34，CG交于一點(diǎn)尸,

.v_8_87」2-

*P—ABC7ABC—44G7x]23，

3C_L平面AB耳A，即3C1平面R4B,

.?.BC即為三棱錐尸-A3c中，點(diǎn)8到平面的距離，

由(1)中所設(shè)：AS=BC=2x,NPAB=NPBA=60,

.二R4B為等邊三角形，.?.R4=P3=/lB=2x,

、,1“11小、2班c2百3

VScBC=

■■P-ABC=~PAB^X^X(.^X)X^x2尤=^—X=—^~,..X—1；

:.AB=BC=PA=PB=2,:.AC=PC=2垃,

;.SPAC=；X2X,(2何-F=布,

設(shè)所求點(diǎn)B到平面ACQA的距離為d,即為點(diǎn)3到面PAC的距離，

MC

VP-ABc=VB-PAC，/S?〃="[=友，解得：[=旭.

3c337

即點(diǎn)B到平面ACGA的距離為漢H.

7

(3)3CJ_平面3Cu平面ABC,?,.平面ABC，平面R4B,

平面ASCc平面R4B=AB

，取AB中點(diǎn)N,在正“R4B中，PNLAB,平面A3C,

又PNu平面PNC,.??平面尸NC_L平面ABC.

作FE_LCN,平面PNC1平面ABC=C7V,貝！IFE_L平面4BC,

作ED_LAB,連接網(wǎng)＞,則即即FD在平面ABC上的射影，

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

FE_L平面ABC,Mu平面ABC,

DB

DEFE=E,?！?［石（=平面￡）&7,.：/止/平面/）防，

FDu平面OEF,:.AB±FD,ZFDE即二面角尸-AB-C的平面角.

設(shè)FE=?,

在△PQV中，作尸OLOV,

\FELCN,:.POHFE,又FE_L平面ABC,，PO_L平面

l）B

ABC,

1112

■■■V=-S-PO=-X-X2X2PO=^-,解得：Po=5/3,

rp-AoBCC3ArB>CC323

由（2）知：AC=PC=2A/2,;.OC=4PC°-PC）。=加

里=生，：.CE=卑?=R,

POoc石

CN=A/22+12=A/5?:.EN=亞-亞t,

DE//BC,:.DE=——BC=>匚x2=2—2-

CN45

■JT

若存在F使得二面角廠(chǎng)-AB-。的大小為工，

則解得：t二：,

6DE2-2t35

:.CF=^CE~+EF~=2五t=^^<CG=叵,

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

，存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)/，CF=-----

5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的垂直關(guān)系的證明、點(diǎn)面距離的求解、二面角問(wèn)

題的求解；求解二面角問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用三垂線(xiàn)法，作出二面角的平面角，進(jìn)而根據(jù)幾

何關(guān)系構(gòu)造關(guān)于跖長(zhǎng)度的方程，從而求得結(jié)果.

18.(1)??=2\b?=n

13

【分析】(1)根據(jù)S,與?！暗年P(guān)系，作差結(jié)合等比數(shù)列定義即可求得4=2"，當(dāng)時(shí)，

TV+TT++廠(chǎng)廠(chǎng)=1-7,作差變形得2+1-2=1(〃21)，利用等差數(shù)列定義求通項(xiàng)

公式即可；

(2)先利用錯(cuò)位相減法求得回,=("-1)?2.+2,然后把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m-(-2)-<2"-1

恒成立，按照奇偶性分類(lèi)討論，分離參數(shù)利用數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍.

【詳解】(1)對(duì)于數(shù)列｛q｝,當(dāng)“=1時(shí)，￡=2%-2,解得％=2；

當(dāng)2時(shí)，S“T=2a“_1-2,與原式作差可得4=2a,T，(n22),

所以｛凡｝是以0=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以=2”；

對(duì)于數(shù)列也｝,當(dāng)〃=1時(shí)，—=l-r，解得a=2,

11111

〃>2時(shí)，----1--------HH--------=1------,

貼2b2b3bn_xbnbj

與原式作差可得bn+l-bn=l(n>2),

因?yàn)?-4=1,所以2+1-2

所以｛2｝是以4=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以4=〃.

(2)由(1)可知q,="-2",

所以"“=2+2x22+3x23++(n-l)-2n-1+n-T,

所以2H“=2?+2x23+3x24++伍-1).2"+小2向，

兩式作差可得一q=2+2?+23++T-n-2,1+1=(1-?)-2向一2,

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

所以““=5-1>2角+2,

所以(〃-1)?2m+2-一(T)"m\-2"“<0恒成立，化簡(jiǎn)得機(jī).(-2)"<2"-1.

13

當(dāng)〃=2左，左EN卡時(shí)，m<1---恒成立，所以根<一,