2023年黑龍江省示范性高中高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)f(x)=(ln?—D(f+ar—4),若x〉0時(shí)，〃x)20恒成立，則實(shí)數(shù)。的值為()

ee

A.2eB.4eC./D./

x/e-2\!4-e

2.已知直線廠做x+l)(A>0)與拋物線C:y2=4x相交于A,8兩點(diǎn)，尸為C的焦點(diǎn)，若|E4|=2儼8|,則|E4|=()

A.1B.2C.3D.4

3.已知函數(shù)/(x)=g辦2-。一1修(〃€/?)若對區(qū)間[0,1]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)樸々、&，都有/(%)+/(/)2/(芻)，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[1,2]B.[e,4]C.[14]D.[l,2)u[e,4]

4.已知圓G：(xT)2+(y+l)2=l,圓G：(x—4>+(y—5)2=9,點(diǎn)M、N分別是圓G、圓G上的動(dòng)點(diǎn)，P

為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，貝!!|尸川—仍間的最大值是()

A.275+4B.9C.7D.275+2

5.公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝中，0+如+痣=13,且。卜也、痣成等比數(shù)列，則數(shù)列｛““｝的公差等于()

A.1B.2C.3D.4

6.設(shè)函數(shù)/(x)在定義城內(nèi)可導(dǎo)，y=/(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象可能為()

7.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果y=2,則輸入的X值為（）

A.3B.-2

C.3或一3D.3或-2

8.秦九韶是我國南寧時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦

九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入〃、

x的值分別為3、1,則輸出丫的值為（）

A.7B.8C.9D.1()

9.已知函數(shù)/(x)=Asin(a)x+e)(A>0,<y>0,刨<5)的部分圖象如圖所示，且/(a+x)+/(a-x)=0,貝!|同

的最小值為()

v

10.自2019年12月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性

各級政府反應(yīng)迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體

格檢查登記，有3個(gè)不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生

都要分配出去，且每個(gè)住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有（）

A.12種B.24種C.36種D.72種

11.若/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且〃x+2)=-〃X),則

A.“X)的值域?yàn)镽B./(X)為周期函數(shù)，且6為其一個(gè)周期

C./(%)的圖像關(guān)于x=2對稱D.函數(shù)/(x)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)

12.復(fù)數(shù)z=一二(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，S“為其前〃項(xiàng)和，若％=1，且S5=S2+2,則公比9的值為.

14.函數(shù)—1|+%2+日+9在區(qū)間(0,3)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

15.已知關(guān)于空間兩條不同直線機(jī)、〃，兩個(gè)不同平面a、§,有下列四個(gè)命題：①若m"a且n〃a,貝！|;初7〃；②

若根_!_/7且加J_〃，則〃〃/?；③若加_La且相〃/?,則。-L/7；④若〃ua,且/〃J_a,則/〃_L〃.其中正確命題的

序號為.

16.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據(jù)實(shí)驗(yàn)表明，該藥物釋放量y(〃?g/m)與時(shí)間t(h)

kt,o<?<-

的函數(shù)關(guān)系為y='12

(如圖所示)，實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)藥物釋放量y<0.75(mg/旭3)對人體無害.(1)

1

t>-

2

k=；(2)為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過分鐘

人方可進(jìn)入房間.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知三棱錐P—ABC中，AABC為等腰直角三角形，AB=AC=l,PB=PC=布,設(shè)點(diǎn)E為Q4中點(diǎn),

點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F為PB上一點(diǎn),且PF=2FB.

E

(1)證明：BD//平面CEF；

(2)若24,AC,求直線C￡與平面PBC所成角的正弦值.

18.(12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，其短半軸長為1,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在

直線y=0上，且。4_LO3.

(1)證明：直線A8與圓f+y2=i相切；

(2)設(shè)A3與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為O,當(dāng)AAOB的面積最小時(shí)，求6?的長.

r2v21

19.(12分)已知橢圓C：號+方=1(。＞人＞0)的離心率為,，/是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M(0,2),直線MR的斜

率為1.

(1)求橢圓C的方程；

(1)若過點(diǎn)M的直線/與橢圓C交于A8兩點(diǎn)，線段A3的中點(diǎn)為N,是否存在直線/使得|AB|=2|MV|?若存

在，求出/的方程；若不存在，請說明理由.

20.（12分）如圖，三棱柱ABC—A4G中，平面ABC,ZACB=90°,ACCB=2,M,N分別為4?,

(2)若平面CMN，平面gMN,求直線AB與平面gMN所成角的正弦值.

21.(12分)如圖(1)五邊形ABCDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

/直>。=150°,將4￡4。沿4。折到好4)的位置，得到四棱錐尸一498,如圖(2),點(diǎn)"為線段PC的中點(diǎn),

且80，平面PCD.

(1)求證：平面R￡>_!_平面ABCO；

22.(10分)已知函數(shù)/(村=4妹一］%2一元。6尺八2.71828i是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若。=一e,討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)看,芻，求”的取值范圍，并證明：％/2>/+9.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

通過分析函數(shù)y=ln奴-1（工>0）與y=4a>0）的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)f,解方程組

\nat-l=O

即得解.

/+〃-4=0

因?yàn)閄〉0時(shí)，/（x）NO恒成立,

于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)/,

Inat-1=0

所以《

a~+at—4=0

at=4-t2=e9

解得“=言7.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解

掌握水平.

2.C

【解析】

方法一：設(shè)P(-1,0),利用拋物線的定義判斷出8是AP的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋

物線的定義求得1尸8|,進(jìn)而求得|必|.

方法二：設(shè)出A8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)4,乙,由拋物線的定義，結(jié)合|￡4|=2|必|求得的關(guān)系式，聯(lián)立直線

y=%(x+l)的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得乙，進(jìn)而求得|F4|.

【詳解】

方法一：由題意得拋物線/=4x的準(zhǔn)線方程為/:x=-1,直線y=k(x+1)恒過定點(diǎn)尸(一1,0)，過A,B分別作AM±I

于M,BN工I于N,連接OB,由|EA|=2|EB|,則|AM|=2|BN],所以點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，又點(diǎn)。是尸歹的

中點(diǎn)，

貝！||08|=；|AF|,所以I08R8可，又|OE|=1

所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,，

2

13

所以|EB|=1+士=二，所以|E4|=2|F8|=3.

22

方法二：拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為=直線y=&(x+D

由題意設(shè)A,5兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為乙,/(%,%>0)，

則由拋物線定義得IFA|=4+1,|FB|=xe+l

又|E4|=2|EBI,xA+l=2(XB+1)x4=2XB+1①

12

=>k~x+(2k—A)x+k~=0=>-xB=1②

.y=Z(x+l)

由得看一/一2=0,=2,\FA\=xA+\=?>.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

3.C

【解析】

分析：先求導(dǎo)，再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)占、X2、都有

/(X,)+/(X2)>/(%,),得到關(guān)于a的不等式組，再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.

詳解：由題得/'(x)=ar—+(x-l)e"］=ax-xe'=x(a-e").

當(dāng)aVl時(shí)，f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在［0,1］單調(diào)遞減，

因?yàn)閷^(qū)間［0』內(nèi)的任意實(shí)數(shù)王、生與，都有/(%)+/(%2)2/(七)，

所以/(D+/(1)N/(O),

所以一QH—a21,

22

故史1,與aVl矛盾，故aVl矛盾.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在［OJna］單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

~,12

所以f(?max=/(Intz)=—tzln_6z-tzlntz+tz,

因?yàn)閷^(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)百、馬、不，都有/(%)+〃工2)2/(七)，

所以/(0)+/⑴N/(lna),

k112

所以1+——okra-alna+a,

22

121

即一ci\x\~ci—a\vici~\—Q—140

22

1)1

g(a)=-a\n^a-a\na+—a-l,(l<a<e)9

所以g'(a)=g(ln2。一l)<0,

所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減,

所以g(a)max=g6=—g<°，

所以當(dāng)lSa<e時(shí)，滿足題意.

當(dāng)aNe時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,

因?yàn)閷^(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)司、林七，都有/(石)+/伍)之/(芻),

所以/(0)+/(0)2/(1),

故1+1>-?,

2

所以aW4.

故eWaW4.

綜上所述，ae［1,4］.

故選C.

點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于“對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)王、和七，都有/(玉)+/(￡)2/(七)”的轉(zhuǎn)化?由于是函

數(shù)的問題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等)來分析解

答問題.本題就是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來，完成了數(shù)學(xué)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，找到了問題的突破

口.

4.B

【解析】

試題分析：圓。1：（%-1）2+（丁+1）2=1的圓心后（1,一1）,半徑為1,圓6：（%—4）2+（丁—5）2=9的圓心6（4,5）,半徑

是3.要使最大,需|PN|最大，且1PMi最小，|印|最大值為|P耳+3,|尸網(wǎng)的最小值為故

|PN|-|PM|最大值是（|PF|+3）-（|P同—1）=|PF|TPq+4；/（4,5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)9（4,一5）,

|PF|-1PE\=|PF'\-\PE\<\EF'\=7（4-l）2+（-5+l）2=5,故|P丹一|。目+4的最大值為5+4=9,故選B.

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定.

【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值

為|PF|+3,|PM|的最小值為忸￡|一1,故|PN|-|PM最大值是（歸耳+3）-（歸目-1）=|尸周一|尸耳+4,再利用對稱

性，求出所求式子的最大值.

5.B

【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由4+里+火=13,4，%，為成等比數(shù)列，列關(guān)于4,d的方程組，即求公差d.

【詳解】

設(shè)數(shù)列的公差為44#0,

a1+a2+a5=13,；.36+54=13①.

?.?知仁,七成等比數(shù)列，+4）2=4+4d）②，

解①②可得d=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

根據(jù)/（X）的圖象可得/（X）的單調(diào)性，從而得到/'（X）在相應(yīng)范圍上的符號和極值點(diǎn)，據(jù)此可判斷尸（X）的圖象.

【詳解】

由/（X）的圖象可知，“X）在（9,0）上為增函數(shù)，

且在（o,+紇）上存在正數(shù)風(fēng)〃,使得/（%）在（o,加）,（〃,+8）上為增函數(shù)，

在w，〃)為減函數(shù)，

故尸(x)在(0,+8)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且在這兩個(gè)零點(diǎn)的附近，/'(%)有變化，

故排除A,B.

由/(x)在(F,0)上為增函數(shù)可得r(x)?0在(F,o)上恒成立，故排除C.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識別，此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號與零點(diǎn)情況，本題屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

根據(jù)逆運(yùn)算，倒推回求x的值，根據(jù)x的范圍取舍即可得選項(xiàng).

【詳解】

I

因?yàn)閥=2,所以當(dāng)(8+甲=2,解得X=3>0,所以3是輸入的x的值：

當(dāng)2一，=2時(shí)，解得％=—2<0,所以—2是輸入的工的值，

所以輸入的x的值為-2或3,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用，通過結(jié)果反求輸入的值，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

列出循環(huán)的每一步，由此可得出輸出的丫值.

【詳解】

由題意可得：輸入〃=3,x=l,v=2,m-3；

第一次循環(huán)，v=2xl+3=5,m=3-l=2,〃=3—1=2,繼續(xù)循環(huán)；

第二次循環(huán)，u=5xl+2=7,〃?=2-1=1,〃=2-1=1,繼續(xù)循環(huán)；

第三次循環(huán)，u=7xl+l=8,m=1一1=0,“=1—1=0,跳出循環(huán)；

輸出u=8.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)算法框圖計(jì)算輸出值，一般要列舉出算法的每一步，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

a是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及>軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得.

【詳解】

311777T717157r

由題意一丁=——7="，.?.函數(shù)f(x)在y軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為二+—=二，在y軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是

41266412

7171_71

.??何的最小值是展.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對稱性.函數(shù)/(x)=Asin(3x+0)的零點(diǎn)就是其圖象對稱中心的橫坐標(biāo).

10.C

【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有C：種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個(gè)不同的住戶中去，有A；種

方法，由分步原理可知共有C：國種.

【詳解】

不同分配方法總數(shù)為C；A；=36種.

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查的是排列組合知識，解此類題時(shí)一般先組合再排列，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.

【詳解】

〃尤)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),則l(f)=-/(x),/(0)=0,

又/(x+2)=-/(x),/(X+4)=-f(x+2)=f(x),

即/(x)是以4為周期的函數(shù)，fW=/(O)=0(%GZ),

所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)有無窮多個(gè);

因?yàn)?(x+2)=—/(x),/[(x+l)+l]=/(-x),令r=l+x,則為“+1)=/(1—f),

即f(x+l)=/(l-x),所以/(x)的圖象關(guān)于x=l對稱，

由題意無法求出/(力的值域，

所以本題答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.

12.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義即可求解.

【詳解】

ii(2+i)-1+2/12.

解:z=—2r)W)=k=_"

則復(fù)數(shù)z=—LG是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：|

2-i<55；

位于第二象限.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.

2

【解析】

將已知由前“項(xiàng)和定義整理為4+%+%=2,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，舍根得

解.

【詳解】

因?yàn)?8+2n4+%+6+%+%=4+。2+2=>%+%+%=2

艮口?42=2=>42+夕-1=0=>q=-]一"

V5-1

又等比數(shù)列｛為｝各項(xiàng)均為正數(shù)，故夕=

2

故答案為：立二1

2

【點(diǎn)睛】

本題考查在等比數(shù)列中由前〃項(xiàng)和關(guān)系求公比，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

對函數(shù)零點(diǎn)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)討論交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】

由題：函數(shù)/(X)=|/_11+/+日+9在區(qū)間(0,3)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),

x2+|x2-1|+9一,XG(0,1]

X

XQ

2x+—,x€(1,3)

x

10小一

--,XG(0,1]

等價(jià)于函數(shù)y=-攵,g(x)=<X

Q恰有兩個(gè)公共點(diǎn),

2x+—,XG(1,3)

x

作出大致圖象:

所以女￡(-齊-8).

故答案為：--->-8j

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于對函數(shù)零點(diǎn)問題恰當(dāng)變形，等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形

結(jié)合求解.

15.③④

【解析】

由直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷.

【詳解】

①若〃且〃〃。，他，〃的位置關(guān)系是平行、相交或異面，①錯(cuò)；

②若加，尸且加_1_〃，則〃〃￡或者〃u￡,②錯(cuò)；

③若加〃￡,設(shè)過〃，的平面與￡交于直線〃，則機(jī)〃〃，又加，則〃，a,...￡，，，③正確；

④若〃ua,且相」。，由線面垂直的定義知/〃J_〃，④正確.

故答案為：③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間

的位置關(guān)系，掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).

16.24()

【解析】

(1)由1時(shí)，y=i,即可得出A的值；

2

2

(2)解不等式組”,即可得出答案.

—<0.75

12r

【詳解】

1_!_=]=&=2

(1)由圖可知，當(dāng)，=一時(shí)，y=l,即，1一

2-'

22

(2)由題意可得1,解得，

1<0.753

[2t

2

則為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過一x60=40分鐘人方可進(jìn)入

3

房間.

故答案為：(1)2；(2)40

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)亞

6

【解析】

(1)連接PO交CE于G點(diǎn)，連接bG,通過證8O//FG,并說明RSu平面CM,來證明BD//平面CEF

(2)采用建系法以A3、AC.AP所在直線分別為x、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,分別表示出對應(yīng)的

點(diǎn)B,C,P,E坐標(biāo)，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為五=(x,y,z),結(jié)合直線對應(yīng)的函和法向量萬，利用向量夾角的余

弦公式進(jìn)行求解即可

【詳解】

(1)證明：如圖，

連接PO交CE于G點(diǎn)，連接/G,???點(diǎn)E為融的中點(diǎn)，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),

.??點(diǎn)G為A/%。的重心，則PG=2GD,\PF=2FB,：.FGHBD,

又「FGu平面CET7,8。仁平面CEF,5。//平面CEF；

（2）-.■AB=AC,PB=PC,PA^PA,:.APAB=APAC,

-,-PAA.AC,:.PA±AB,可得9=2,又?.?A3LAC,

則以AB、AC.AP所在直線分別為x、＞、二軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-g，z,

則A(0,0,0),80,0,0),C(0,l,0),P(0,0,2),￡(0,0,1)

肥=(-1,1,0),BP=(-1,0,2),CE=(0,-l,l).

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為為=(x,y,z),由《nB一C=—x+■y=0,

n-BP=-x+2z=0

取z=l,得萬=(2,2,1).設(shè)直線CE與平面P8C所成角為。，

則sin夕=|cos＜爪瓦＞|=早』晤.：.直線CE與平面PBC所成角的正弦值為也.

V2x366

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定定理的使用，利用建系法來求解線面夾角問題，整體難度不大，本題中的線面夾角的正弦值

公式sin0=|cos＜n,CE＞\使用廣泛，需要識記

18.(1)見解析；(2)叵.

3

【解析】

(1)分斜率為0,斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設(shè)04的方程為＞=履，可求解得到1045=三全，

|08|2=2+222,可得。到4?的距離為1,即得證；

12+2左2

(2)表示AAQB的面積為5=|。41|。8|=一—,利用均值不等式，即得解.

:2?2,/1+2公

【詳解】

(1)由題意，橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，且〃=c=l,所以啦.

所以橢圓C的方程為5+9=1.

由點(diǎn)8在直線y=0上，且。4_L06知。4的斜率必定存在，

當(dāng)0A的斜率為0時(shí)，|。4|=血，\0B\=j2,

于是|AB|=2,。到A8的距離為1,直線A3與圓.d+y2=i相切.

當(dāng)。4的斜率不為()時(shí)，設(shè)。4的方程為了="，與：+>2=1聯(lián)立得(1+2/)/=2,

所以說=1三，北=3下，從而|04『=生組?

2

1+242人\+2k1+2攵2

而QB_LQ4,故03的方程為％=-6，而3在卜=及上，故x=-圓，

從而|。團(tuán)、2+2仁于是由%+看”

此時(shí)，。到A8的距離為1,直線與圓Y+y2=i相切.

綜上，直線A3與圓Y+y2=i相切.

(2)由(1)知，AAOB的面積為

S=^\OA\\OB\=2+2k2l+0+2￡)_lf_1

241+2公2g2k2+

上式中，當(dāng)且僅當(dāng)％=0等號成立，所以AAOB面積的最小值為1.

此時(shí)，點(diǎn)A在橢圓的長軸端點(diǎn)，B為(0,、歷).

不妨設(shè)A為長軸左端點(diǎn)，則直線AB的方程為丁=》+夜，

2夜

代入橢圓C的方程解得yD

即其=|，所以|0。|=半.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和橢圓綜合，考查了直線和圓的位置關(guān)系判斷，面積的最值問題，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力，屬于較難題.

19.(1)工+上=1(1)不存在，理由見解析

43

【解析】

(1)利用離心率和過點(diǎn)”(0,2),列出等式，即得解

(1)設(shè)/的方程為y=Ax+2,與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示中點(diǎn)N的坐標(biāo)，用點(diǎn)坐標(biāo)表示|A3|=2|MN|,利用

韋達(dá)關(guān)系代入，得到關(guān)于A的等式，即可得解.

【詳解】

(D由題意，可得;2解得＜

-=2,

1c

則b2—cT-c2=3，

22

故橢圓C的方程為上+二=1.

43

(1)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，

|AB|=2^,|MN|=2,|ABMMN\,不符合題意.

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，

設(shè)/的方程為丁=丘+2,

廠J1

聯(lián)立43-'得(3+422)/+16京+4=(),

y=kx+2,

設(shè)4(石,%),8(%2，%)，

則玉+&=-~,XtXj=

3+4/'3+4A

△=(1662—16(3+4公)=192左2—48>0,即公〉L

、nz/\miX+M8k

設(shè)N(Xo，%)，則％=七i=一丁市

YAB|=2|MV|,

=

Jl+k~|%|—%2|25/1+|XQ—0|,

則+九21-4X)X2=2koi,

Hn16k4A/12尸-3

即-------=------------,

3+4左23+4公

.3

整理得二二-二，此方程無解，故/的方程不存在.

綜上所述，不存在直線/使得|A8|=2|MN|.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和橢圓綜合，考查了弦長和中點(diǎn)問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難

題.

20.(1)詳見解析；(2)逅.

6

【解析】

(1)連接AG，BG，則NeAG且N為AG的中點(diǎn)，

又為的中點(diǎn)，

又BGu平面BBC。，MNU平面BBCC,

故"N〃平面88CC.

(2)由平面ABC,得ACLCG，BC1CC,.

以C為原點(diǎn)，分別以C8,CC,,04所在直線為x軸，y軸，二軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)CC{=24（4>0）,

則N（0,Zl）,4（2,2%0）,

CM=（1,0,1）,MN=（-1,幾0）,璃'=（2,A,-l）.

取平面CMN的一個(gè)法向量為沅=（x,y>z）,

由CMF=O，MN?沆=0得:

x+z=0、

{_x+2v=0,令y=i,得比

同理可得平面BN的一個(gè)法向量為n=（2,132）

?平面CMN_L平面B、MN，，玩.n=萬+1_3%=（）

解得石日，得萬=［乎,1,呼］,又通=（2,0,—2）,

設(shè)直線AB與平面與MN所成角為。，則

月,

sin8=|cos麗W

所以，直線AB與平面gMN所成角的正弦值是逅.

6

21.（1）見解析（2）迎

7

【解析】

試題分析：（D根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立；（2）通過已知條件求

出各邊長度,建系如圖所示，求出平面PDB的法向量，根據(jù)線面角公式代入坐標(biāo)求得結(jié)果.

試題解析：（D證明：取PD的中點(diǎn)N,連接AN,MN,班MN//CD,MNaCD,

2

又AB//CD、AB==CD,斫以MN//AB,MN=AB,則四邊形ABMN為平行四邊形，所以AN//8W,

2

又8W_L平面PCD,

二平面PCD,

；.AN±PD,ANLCD.

由EjD=E4即=及N為P。的中點(diǎn)，可得此4￡＞為等邊三角形，

二NPDA=60%

又NEDC=150°，，/。。4=90°，???8LAO,

二CD，平面PAD,CDu平面ABCD,

二平面平面ABCD.

（2）解：

AB//CD,：.ZPCD為直線PC與AB所成的角，

?PD1

由（1）可得NPDC=90°,tanNPCD------=—,CD-2PD）

CD2

設(shè)PZ)=1,則CO=2,PA=AO=A8=1,

取AD的中點(diǎn)0,連接PO,過。作AB的平行線,

可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則0?0I,0),心110,0,4,

2227

所以。*=(1,1,0),/嚙=12…2),BM=T。用

--八x+y=0

/、用DB=0'

設(shè)萬=(x,y,z)為平面心。的法向量，貝H一，即｛16,