2024屆四川省百師聯(lián)盟高三沖刺卷數(shù)學(xué)試題（文）（全國(guó)卷）（解析版）（三）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（三）數(shù)學(xué)試題（文）（全國(guó)卷）一、選擇題1.若為實(shí)數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，故，得．故選：D．2.設(shè)全集為，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題，為全體正奇數(shù)構(gòu)成的集合，故為全體非負(fù)偶數(shù)構(gòu)成的集合，所以．故選：A．3.如圖，平行四邊形中，，設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選:B．4.某超市集團(tuán)共有4家超市，2023年4家超市的年利潤(rùn)最小值和最大值分別為200萬(wàn)元和240萬(wàn)元，若4家超市2023年年利潤(rùn)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則2023年該超市集團(tuán)的總利潤(rùn)為（）A.980萬(wàn)元 B.920萬(wàn)元 C.880萬(wàn)元 D.840萬(wàn)元〖答案〗C〖解析〗設(shè)4家超市2023年的年利潤(rùn)從小到大依次為，則，解得，所以2023年該超市集團(tuán)的總利潤(rùn)為880萬(wàn)元．故選:C．5.已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，顯然它定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，，則，所以，.故選：C.6.若橢圓的離心率為，則的值為（）A B. C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗時(shí)，離心率為，解得；當(dāng)時(shí)，離心率為，解得.綜上所述：或.故選：D7.如圖，網(wǎng)格紙上繪制了一個(gè)幾何體的三視圖，若網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可知，該幾何體為四分之一圓臺(tái)，且圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為4，所以其體積為．故選：B．8.已知，，，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，，∴，即，∴，解得.又，，，∴，∴，∴，∴，∴.故選：A.9.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以圓心到直線的距離為1，即，解得．故選：A．10.“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為:設(shè),則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：C．11.已知為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，所以，即，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，所以，即，故，所以．故選：B．12.已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)．則圖象的一條對(duì)稱軸可能的直線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，因?yàn)?，所以，若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，令，得，因?yàn)?，所以．?dāng)，當(dāng)，當(dāng)，只有D符合.故選：D．二、填空題13.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗1〖解析〗可行域如圖陰影所示，設(shè)，則為可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)位于時(shí)，取得最大值1．故〖答案〗為：1.14.寫(xiě)出與函數(shù)在處有公共切線一個(gè)函數(shù)______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題，，，〖答案〗不唯一，滿足，即可.取，則，顯然滿足，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.在中，，，且，則邊上的高_(dá)_____.〖答案〗6〖解析〗，注意到，，可得，，，由正弦定理得，得，所以.故〖答案〗為：6.16.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)原點(diǎn)O的直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則的面積為_(kāi)_____.〖答案〗2〖解析〗由雙曲線的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以平行四邊形為矩形，故，，不妨設(shè)點(diǎn)A在C的右支上，，則，所以，得，所以.故〖答案〗為：2三、解答題（一）必考題17.生物病毒（Biologicalvirus，以下簡(jiǎn)稱病毒）是一種個(gè)體微小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、只含一種核酸（DNA或RNA）的非細(xì)胞型生物.一部分病毒可以感染人類，導(dǎo)致人類出現(xiàn)病毒性疾病.研究人員為了研究某種病毒在常溫下的存活時(shí)間與空氣相對(duì)濕度（以下簡(jiǎn)稱濕度）的關(guān)系，對(duì)100株該種病毒樣本的存活時(shí)間（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果存活時(shí)間超過(guò)8小時(shí)，即認(rèn)為該株病毒“長(zhǎng)期存活”，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表.存活株數(shù)濕度長(zhǎng)期存活非長(zhǎng)期存活濕度40%以上15a濕度40%及以下b45（1）以頻率估計(jì)概率，若在這100株病毒樣本中隨機(jī)抽取1株，該株病毒為“長(zhǎng)期存活”的概率為，求a，b；（2）是否有95%把握認(rèn)為病毒“長(zhǎng)期存活”與濕度有關(guān).附：；0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）若在這100株病毒樣本中隨機(jī)抽取1株，該株病毒為“長(zhǎng)期存活”的概率為，則，所以，解得.又，解得，所以，.（2）得到列聯(lián)表如下存活株數(shù)濕度長(zhǎng)期存活非長(zhǎng)期存活合計(jì)濕度40%以上153550濕度40%及以下54550合計(jì)2080100根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得.所以有95%以上的把握認(rèn)為病毒“長(zhǎng)期存活”與濕度有關(guān).18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,，,且當(dāng)時(shí),.（1）求；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.（1）解：由，，得，當(dāng)時(shí)，，故，即，所以，，，，…，，將各等式左、右兩邊分別相加得，.，符合上式，所以.（2）證明：由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，所?得證.19.如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）求點(diǎn)A到平面SBC的距離.（1）證明：取CD中點(diǎn)E，連接SE，AE，BE，易得，，因?yàn)?，，所以，，，故，又，，所以，故，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍿CD，所以平面平面ABCD.（2）解：由（1）知平面ABCD，且，在中，，所以，故.在中，，，所以SB邊上的高，所以.設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為d，則，即，解得，所以點(diǎn)A到平面SBC的距離為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，（）.①求實(shí)數(shù)b的取值范圍；②證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?.令，得.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）①解：，.因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以方程有兩個(gè)不等正根，，所以，解得.則實(shí)數(shù)b的取值范圍為.②證明：.所以.令，下面證明，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，且在上連續(xù)，所以，函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，即.并且時(shí)，，時(shí)，，所以.因?yàn)?，根?jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，則，所以，所以.命題得證.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離的最小值為2．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線在兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．解：（1）由題知直線的斜率不為0，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，，由拋物線的定義，知點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，所以當(dāng)時(shí)，，所以拋物線的方程為．（2）由題易知拋物線在兩點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)在點(diǎn)處切線方程為，即，與拋物線方程聯(lián)立得，，即，解得，所以，即，同理可得拋物線在點(diǎn)處的切線方程為．設(shè)，由，得，由（1）知，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線：與曲線C和直線l分別交于A，B兩點(diǎn)，求.解：（1）由，得，得，將，代入得，即.由直線l的極坐標(biāo)方程為，得，將，代入得，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的直角坐標(biāo)方程為.（2）將代入曲線C：，得，將代入直線l：，得，所以.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，由得，即或或解得，所以不等式的解集為．（2）設(shè)，易得在上單調(diào)遞增，故．又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以只需，解得或，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為．四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（三）數(shù)學(xué)試題（文）（全國(guó)卷）一、選擇題1.若為實(shí)數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，故，得．故選：D．2.設(shè)全集為，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題，為全體正奇數(shù)構(gòu)成的集合，故為全體非負(fù)偶數(shù)構(gòu)成的集合，所以．故選：A．3.如圖，平行四邊形中，，設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選:B．4.某超市集團(tuán)共有4家超市，2023年4家超市的年利潤(rùn)最小值和最大值分別為200萬(wàn)元和240萬(wàn)元，若4家超市2023年年利潤(rùn)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則2023年該超市集團(tuán)的總利潤(rùn)為（）A.980萬(wàn)元 B.920萬(wàn)元 C.880萬(wàn)元 D.840萬(wàn)元〖答案〗C〖解析〗設(shè)4家超市2023年的年利潤(rùn)從小到大依次為，則，解得，所以2023年該超市集團(tuán)的總利潤(rùn)為880萬(wàn)元．故選:C．5.已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，顯然它定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，，則，所以，.故選：C.6.若橢圓的離心率為，則的值為（）A B. C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗時(shí)，離心率為，解得；當(dāng)時(shí)，離心率為，解得.綜上所述：或.故選：D7.如圖，網(wǎng)格紙上繪制了一個(gè)幾何體的三視圖，若網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可知，該幾何體為四分之一圓臺(tái)，且圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為4，所以其體積為．故選：B．8.已知，，，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，，∴，即，∴，解得.又，，，∴，∴，∴，∴，∴.故選：A.9.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所以圓心到直線的距離為1，即，解得．故選：A．10.“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為:設(shè),則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：C．11.已知為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，所以，即，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，所以，即，故，所以．故選：B．12.已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)．則圖象的一條對(duì)稱軸可能的直線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，因?yàn)?，所以，若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，令，得，因?yàn)?，所以．?dāng)，當(dāng)，當(dāng)，只有D符合.故選：D．二、填空題13.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗1〖解析〗可行域如圖陰影所示，設(shè)，則為可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)位于時(shí)，取得最大值1．故〖答案〗為：1.14.寫(xiě)出與函數(shù)在處有公共切線一個(gè)函數(shù)______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題，，，〖答案〗不唯一，滿足，即可.取，則，顯然滿足，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.在中，，，且，則邊上的高_(dá)_____.〖答案〗6〖解析〗，注意到，，可得，，，由正弦定理得，得，所以.故〖答案〗為：6.16.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)原點(diǎn)O的直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則的面積為_(kāi)_____.〖答案〗2〖解析〗由雙曲線的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以平行四邊形為矩形，故，，不妨設(shè)點(diǎn)A在C的右支上，，則，所以，得，所以.故〖答案〗為：2三、解答題（一）必考題17.生物病毒（Biologicalvirus，以下簡(jiǎn)稱病毒）是一種個(gè)體微小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、只含一種核酸（DNA或RNA）的非細(xì)胞型生物.一部分病毒可以感染人類，導(dǎo)致人類出現(xiàn)病毒性疾病.研究人員為了研究某種病毒在常溫下的存活時(shí)間與空氣相對(duì)濕度（以下簡(jiǎn)稱濕度）的關(guān)系，對(duì)100株該種病毒樣本的存活時(shí)間（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果存活時(shí)間超過(guò)8小時(shí)，即認(rèn)為該株病毒“長(zhǎng)期存活”，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表.存活株數(shù)濕度長(zhǎng)期存活非長(zhǎng)期存活濕度40%以上15a濕度40%及以下b45（1）以頻率估計(jì)概率，若在這100株病毒樣本中隨機(jī)抽取1株，該株病毒為“長(zhǎng)期存活”的概率為，求a，b；（2）是否有95%把握認(rèn)為病毒“長(zhǎng)期存活”與濕度有關(guān).附：；0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）若在這100株病毒樣本中隨機(jī)抽取1株，該株病毒為“長(zhǎng)期存活”的概率為，則，所以，解得.又，解得，所以，.（2）得到列聯(lián)表如下存活株數(shù)濕度長(zhǎng)期存活非長(zhǎng)期存活合計(jì)濕度40%以上153550濕度40%及以下54550合計(jì)2080100根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得.所以有95%以上的把握認(rèn)為病毒“長(zhǎng)期存活”與濕度有關(guān).18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,，,且當(dāng)時(shí),.（1）求；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.（1）解：由，，得，當(dāng)時(shí)，，故，即，所以，，，，…，，將各等式左、右兩邊分別相加得，.，符合上式，所以.（2）證明：由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，所?得證.19.如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）求點(diǎn)A到平面SBC的距離.（1）證明：取CD中點(diǎn)E，連接SE，AE，BE，易得，，因?yàn)椋?，所以，，，故，又，，所以，故，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍿CD，所以平面平面ABCD.（2）解：由（1）知平面ABCD，且，在中，，所以，故.在中，，，所以SB邊上的高，所以.設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為d，則，即，解得，所以點(diǎn)A到平面SBC的距離為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，（）.①求實(shí)數(shù)b的取值范圍；②證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?.令，得.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）①解：，.因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以方程有兩個(gè)不等正根，，所以，解得.則實(shí)數(shù)b的取值范圍為.②證明：.所以.令，下面證明，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，且在上連續(xù)，所