江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高一年級下冊3月階段性測試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江蘇省蘇州市張家港市沙洲中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期

3月階段性測試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.式子sin25°cos350-cosl55°cos55°=()

V3

A.|B.—C.--nu.-----

2222

2.已知向量7=(1,2),b=(-2,t),^a//b,則歸+2N=()

A.y/5B.2A/5C.36D.5A/3

3.已知非零向量a3的夾角余弦值為g,且（3"可”，則M皿「

同

23

A.2B.-C.-D.1

32

4.在“BC中，設(shè)市=Z,AC=b>~BD=2DC>AE=4ED-則屜=（）

6.已知函數(shù)/(%)=2百sinx+acosx圖象的一條對稱軸為x=(/(^)+/(^2)=0,且

函數(shù)/（x）在區(qū)間（演,乙）上具有單調(diào)性，則|項+目的最小值是（）

7171542%

A.B.一C.D.

~63-6~T

7.如圖，在平行四邊形4BCD中，48=4,40=3,點E是48的中點，點尸滿足麗=2京,

且=V13，貝！1萬.礪=（）

7V13

D.4V14

2

8.如圖，在A48C中，。是線段3C上的一點，且比=4而，過點。的直線分別交直

線48,ZC于點N,若A加=4在，AN=juAC(A>0,>0),則2----的最小值

A

試卷第1頁，共4頁

是（）

A

C.273-4D.2百+2

二、多選題

9.已知函數(shù)/（X）=2-3COS2：,則下列說法正確的有（）

A.函數(shù)〃x）的最大值為2

B.函數(shù)/（x）在區(qū)間-鼻，-［上單調(diào)遞增

C.函數(shù)“X）圖像的一個對稱中心為卜￡|

D.將函數(shù)/（x）的圖像向左平移1個單位長度得到函數(shù)y=］（3sinx+l）的圖像

10.設(shè)Z，B是互相垂直的單位向量，AB^Aa+2bAC=a+（A-l）b,下列選項正確

的是（）

A.若點。在線段N5上，則2=2

2

B.若AB_LAC,則4=—

3

C.當4=1時，均荏共線的單位向量是好￡+型石

55

1-2一

D.當丸=-1時，Q在4C上的投影向量為

11.直角中，斜邊/5=2,。為所在平面內(nèi)一點，

―?1.—_?c—>

AP=-sin2O-AB+cos20-AC（其中。ER）,貝ij（）

2

LIULUUUW

A.N8./C的取值范圍是（0,4）

B.點尸經(jīng)過“3C的外心

C.點尸所在軌跡的長度為2

D.京?（刀+而）的取值范圍是-g,0

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.在四邊形/BCD中，E,尸分別是邊4D,2C的中點，4B=①，EF=1,。。=百,

貝1萬麗=.

13.等邊△4BC的外接圓的半徑為1,M是△/BC的邊/C的中點，P是該外接圓上的

動點，則旃.~PM的最大值為.

14.記函數(shù)〃x)=cos(g+3+“o＞0)的最小正周期為7,若兀＜7＜技，且(兀,2)是

了=/(無)圖象的一個最高點，則.

四、解答題

15.已知向量Z與B的夾角為。=今，且同=3,忖=2行.

(1)若左￡+2］與32+45共線，求左；

(2)求￡與￡+刃的夾角的余弦值.

16.如圖，在A48C中，刀.就=0，|萬|=8,|%卜6,￡為線段3C的垂直平分線，L

與8C交與點為￡上異于。的任意一點.

(1)求Z5.赤的值;

(2)判斷荏.屈的值是否為一個常數(shù)，并說明理由.

UL±

17.已知向量加=cos2x,——sinx——cosx,設(shè)函數(shù)f(X)=m?n.

22

(1)求函數(shù)/(%)的最大值，及取得最大值時工取值的集合;

⑵求函數(shù)/⑸的單調(diào)減區(qū)間;

a1

(3)設(shè)A,B,C為銳角三角形/8C的三個內(nèi)角，若COS8=E，/(C)=--,求co/的值.

3x.3x

18.已知向量。=一,sin—/=c—sin—函數(shù)/(%)=〃力—加卜+“+1,

22

試卷第3頁，共4頁

兀兀D

XG—,meR.

34

兀

(1)當加=0時，求/的值;

(2)若/(x)的最小值為-1,求實數(shù)m的值;

yAjrjr

⑶是否存在實數(shù)加，使函數(shù)g(x)=/(x)+:小，xe有四個不同的零點？若存

在，求出機的取值范圍；若不存在，說明理由.

19.如圖，點尸，。分別是正方形ZBCD的邊DC、C8上兩點，AB=\,ZPAQ=3,記

點。為△/尸。的外心.

(1)若麗=力比，CQ=ACB,0W/W1,求萬.質(zhì)的值;

⑵若6=45。，求方?通的取值范圍;

(3)若6=60。，若前=d?+y而，求3x+6y的最大值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解.

【詳解】W：sin25ocos35o-cosl55osin35°,

=sin25°cos350+cos25°sin35°,

=sin（25。+35。）=sin60。二5-.

故選：B

2.C

【分析】根據(jù)向量平行的坐標運算列式解出乙即可得出5+23的坐標，即可根據(jù)向量的模

的坐標運算得出答案.

【詳解】若2〃坂，

則lx，—2x（—2）=0,解得/=—4,

則a+2b=（—3,—6）,

則B+2可=卜3）2+（一9『=3x/5,

故選：C.

3.A

【分析】根據(jù)垂直向量數(shù)量積為0,結(jié)合數(shù)量積的公式求解可得同=忖，進而求解即可.

【詳解】由題意，（3S-b）-b=Q,即3灑廬=0，3同柩卜［卅=0,

因為|*0,故時明，則普忖=需=2.

故選：A

4.D

【分析】根據(jù)向量的線性運算法則求解.

—?—?—?4—A一4/->—?'一4—?1-?

【詳解】由題意8E=-By-=：「+卜=,D~：

=芻品」［當（就一次卜匕=>匕=曉「匕.

15515';515";51515

故選：D.

答案第1頁，共13頁

1+tana3,1

【詳解】解得tana=一一,故

1-tana47

其中

.sinacosatana7.,19

sinacosa=——--------------=------=----,故一+sinacosa=—.

sina+cosatana+\50225

點睛：本題駐澳考查三角恒等變換，考查兩角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式,

考查利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解齊次方程.首先先根據(jù)兩角和的正切公式求得tana,然后利

用降次公式和誘導(dǎo)公式化簡要求解的式子，再利用齊次方程來求出結(jié)果.最突出的是選項的

設(shè)置，如果記錯降次公式或者誘導(dǎo)公式，則會計算出4c選項.

6.B

【分析】根據(jù)輔助角公式得出f(x)=2V3siiix+acosx=>J12+a2sin(x+0),即可根據(jù)對稱軸

列式得出。的值，即可得出=4sin[+小，根據(jù)已知得出(占J(xJ)與&J(馬))關(guān)于

TT

對稱中心對稱，即可列式得出國+%=21b后eZ,即可得出答案.

【詳解】/(x)=2V3sinx+acosx=712+a2sin(x+0),其中tan0=,

函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸為x=2，

則/[耳]=sin?+acos7=±\/12+/,解得：a=2,

則標不=4，tanO=",即0=2，

36

故〃x)=4sin[x+7],

?.■/(x1)+/(x2)=o,且函數(shù)〃x)在區(qū)間(X”xj上具有單調(diào)性,

???(尤1J(占))與仁,/仁))關(guān)于對稱中心對稱,

答案第2頁，共13頁

,Xl+~6+X1+6_，,7,解得西+%=2左萬一/水€2,

..—KTlL3

則上=0時,|西+馬扁=一?=1^,

故選：B.

7.A

【分析】用刀,7萬分別表示出麗，麗，結(jié)合已知。尸=而，可得益.五5=6，然后進行

數(shù)量積的運算即可得出而.而.

【詳解】因為而=反+而=萬一1而，

3

-----2(?1>\2------，22--------?1----?2

所以Z)尸=AB——AD=AB——ABAD+-AD，

\--------3------)3--------------9

2—??一

即13=16—]/瓦4。+1,解得/瓦/。=6,

又而二麗+而二一萬+-通,

23

所以

EF-DF=AB--AD]-]-AB+，2^AD\=]-AB+^ABAD-2

{3JU3J229

=-X42+-X6--X32=9,

229

故選：A.

8.C

31

【分析】根據(jù)平面向量基本定理，以及三點共線，可確定4〃的關(guān)系，即77+丁=1，可

4244

13

得丸——=2+--4,再利用基本不等式求最值即可.

【詳解】由條件可得益=方+而=通+'前二方+L閑一方上法+尢，

44、744

AM=A^AB,~AN=juAC,A>0,//>0,

—?3——?1—?

AD=——AM+——AN,

444〃

因為三點共線，

——十——

4A4〃

答案第3頁，共13頁

13

?.，丸〉0,4>0,——4—>0,

JLIZ

A>-,貝|4_工=4_（4_3]=；1+1_42275_4；

4//yAJ2

當且僅當％==,即2=6時取等號，

A

故丸-，的最小值是2百-4;

故選：C.

9.AD

【分析】先用三角恒等變換得到/（X）=-：QCOSX+11,進而求出函數(shù)最大值，得到“X）在

27171

上單調(diào)遞減，判斷出AB選項，》=幾為對稱軸，判斷C選項；以及平移后的解

36

析式，判斷D選項.

X331

【詳解】/（x）=2-3cos2—=2--（cosx+1）=--cosx+—,

所以函數(shù)/（%）的最大值為2,所以A選項正確.

因為函數(shù)kcosx在區(qū)間-g/7T-巳7T上單調(diào)遞增，所以函數(shù)“X）在-g/7T-7巳T上單調(diào)遞減,

所以B選項不正確.

當X=7t時，/（7t）=2,所以X=7T為對稱軸，所以C選項不正確.

函數(shù)“X）的圖像向左平移g個單位長度得到函數(shù)昨-：cosH+；=；（3sinx+1）的圖

像，所以D選項正確.

故選：AD.

10.ABD

【分析】對A：根據(jù)向量共線分析運算；對B：根據(jù)向量垂直運算求解；對C：根據(jù)單位向

量分析運算；對D：根據(jù)投影向量分析運算.

r?r?rr

【詳解】由題意可得：a-b=l,a'b=0?

uuuinum

對A：若點。在線段45上，則="。，左e[l,+8）,則

Xa+2b=k^a+^-\）b^=ka+k^X-\）b,

\k=X

可得彳上（丸_]）_2，解得左=丸=2或左=丸=一1（舍去），故A正確；

答案第4頁，共13頁

對B：由4glzC,可得

uuruuurzrrrrnr2rrr2

4B2C=(；IQ+町［a+(4—1》卜加+02_2+2卜b+24—18=32-2=0,

2

解得4=5,故B正確；

對C：當4=1時，則圈=5+斗J"如2=$2+D+#=6,

與商共線的單位向量是土故c錯誤;

對D：當4=-1時，可得

ruurr/rr、r2rriuuurfrirnrr7

AC=a-(a-2b\=a-2a-b=\AACa-4。力+46

則Z在/上的投影向量為

UUULIUUULUUULInum

/|r.ruuuraACAC5;IUUDTirN

,

ILzcos<a,AC>jr?7-r［i匚ri|||UUioU|i|iUuUunUrTi|==,UUUTi：-AC=-a-

「％］網(wǎng)網(wǎng)明555故D正確.

故選：ABD.

11.ABD

【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義有益.戈=泥2,結(jié)合已知即可判斷A；若。為中點,

根據(jù)已知有。，尸，。共線，即可判斷B、C；利用向量加法的幾何意義及數(shù)量積的運算律可得

PC(PA+PB)=-2\PC\\Pd\,結(jié)合基本不等式求范圍判斷D.

1111T1TUITUUIToLILlUlLILUL1LIUI

【詳解】由/BZC=/C，又斜邊N3=2,貝lJ|/C|e(0,2),則48.4Ce(0,4),A正確；

uur]uur

若。為中點，則/。=:48,故N?=sin2。.而+cos2。.就，又sin?O+cos?0=1,

2

所以O(shè),尸,C共線，故P在線段OC上，軌跡長為1,又。是“3C的外心，B正確，C錯誤;

由上萬+麗=2而，則京?(西+麗)=2定?麗=-2]定||麗

X|PC|+|PO|=|OC|=1,HlJIPCIIPO|<(|fC|+|fQ|)2=^,當且僅當斥|=|南=；等號成立,

242

答案第5頁，共13頁

所以立必+面=-2西||而歸-g,0],D正確.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：若。為N5中點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，及向量線性運算的幾何意義、數(shù)

量積的幾何意義和運算律判斷尸軌跡，求關(guān).關(guān)、PC(PA+PB).

12.一/0.5

2

【分析】利用圖象，結(jié)合向量的線性運算法則確定向量礪，而，麗的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的

性質(zhì)由條件求布?瓦.

【詳解】因為瓦尸分別是邊的中點，

所以羽=麗，CF=FB，

y-AB=AE+EF+FB?CD=CF+FE+~ED?

所以益-麗=麗-麗=2萬，

所以(莉-麗0麗/，

所以罰?萬一2萬?麗+麗?麗=4麗?麗，

又AB=C,，EF=\,CZ)=V3,

所以同=收，同=1,|西=5

所以2-2萬0+3=4，

—.—.1

所以4氏。。=—,

2

故答案為：y.

13.1

答案第6頁，共13頁

【分析】設(shè)等邊“8C的外心為。，由題意得到8、。、M三點共線，且8。=20M=1,再

^PBPM=(OB-OP)-(OM-OP),利用數(shù)量積的運算求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)等邊“3C的外心為O,又半徑為1,且“是“3C的邊NC的中點,

:.B、0、M三點共線，S.BO=2OM=1,

PBPM=(OB-OP)-(OM-OP)=OB-OM-OP(OB+OM)+OP2=lx|x(-l)-O?-(O5-1oS)+l,

=---OPOB=---cos<OPX)B>

2222

又〈曲面＞e[0/],

.,.當(而，礪＞=z時，~PB-~PM的最大值為:-；x(-l)=l.

故答案為：1

14.1—正

2

兀

【分析】由周期范圍求得。的范圍，由圖像最高點求解。與b值，可得函數(shù)解析式，則/

可求.

JT

【詳解】函數(shù)/(1)=3(如+§)+儀0>0)的最小正周期為7,

27r327r34

則7=——,由兀<T<一兀，得兀<——<—71,:.—<a)<2

02。23f

因為(兀,2)是y=/(x)圖象的一個最高點，則b=l

且cos[河+]]+1=2,貝I]0兀+1=2左兀,左￡Z

co-...F2k,左￡Z,取k=\,可得。,

33

所以/(x)=cos[x+m)+l,

rmi,1兀、(5兀兀[361

貝U/—=cos—X—+—+l=cos—兀+1=----F1.

[4[34342

答案第7頁，共13頁

故答案為：1-變

2

15.（1）-；（2）—.

25

【分析】（1）可設(shè)〃+2否=2囚+行），可得出關(guān)于2、左的方程組，解出這兩個未知數(shù)即

可得解；

（2）計算出＞（。+可、|。+陷的值，利用平面向量的數(shù)量積可求得Z與2+5的夾角的余弦

值.

【詳解】（1）若《Z+2B與弓+而共線，則存在幾，使得左￡+2[=力（3"+?。?/p>

艮(上一32)2+(2-42)3=6,

一一九一34二0?3

又因為向量q與b不共線，所以。二八，解得；，所以左

z-4Z=0732

iK=—

[2

(2)a-Z>=|fl|-|^|cos0=3X2A/2—彳=-6,

|a+Z>|=a+2a-b+b=-9-12+8=y/~5,

—7a-{a+b\a+a-b9-6y/5

cos<a,a+b>-尸廠產(chǎn)一^r=產(chǎn)|百~k==——

<7'?+b\a<7+/?3jr55

16.(1)14；(2)是.

【分析】法一：（1）由題意及圖形，可把向量而用兩個向量靜，衣的表示出來，再利用數(shù)

量積的公式求出數(shù)量積;

（2）將向量荏用石與瓦表示出來，再由向量的數(shù)量積公式求數(shù)量積，根據(jù)其值的情況確

定是否是一個常數(shù);

法二：（1）由題意可以以BC所在直線為x軸，DE所在直線為y軸建立坐標系，得出各點的

坐標，由向量坐標的定義式求出茄,3的坐標表示，由向量的數(shù)量積公式求數(shù)量積;

（2）設(shè)E點坐標為（0,耳5/0）,表示出向量次的坐標再由向量的數(shù)量積坐標表示公式求數(shù)

量積即可.

答案第8頁，共13頁

【詳解】法1：（1）由已知可得五5萬+就），CB=AB-AC>

.?.而旗=:（萬+可.用一硝=共存一就2）=；（64-36）=14,

（2）次?赤的值為一個常數(shù)為線段BC的垂直平分線，L與BC交與點D,E為L上異于

D的任意一點,

:.DECB^O>

故：AE-CB=^AD+~DE^-CB=AD-CB+75E-CB=AD-CB'=14

解法2：（1）以D點為原點，BC所在直線為x軸，L所在直線為y軸建立直角坐標系，可求

此時=(，-甘］,赤=(-10,0),ZD-C3=-1X(-10)+|-yjxO=14

（2）設(shè)E點坐標為（0,了乂了w0）,

724

AE=『一彳

24

...2E-CS=-1X(-IO)+Kx0=14(常數(shù)).

【點睛】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，本題采用了二種解法，一是基向量法，一是向量的

坐標表示，解題的關(guān)鍵是建立坐標系與設(shè)定其向量.

17.(1),+3,x\x=kji-^,keZ

22

7C,5兀J/1r\

(2)------FATT,-----Fku(kwZ)7

171212、

473-3

(3)cos/=

10

【分析】（1）由向量和三角函數(shù)公式可得/（X）=￥COS（2X+：）+5,可得最大值和x取值的

集合；

（2）42hi<2x+-<2A：7r+7i,解不等式即可得到單調(diào)減區(qū)間；

6

7T

（3）由題意以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinS,再由前面所求可得C=；,代入

cosA=cos（--B）=-^-cosB+^sinB，計算可得答案.

322

答案第9頁，共13頁

、、

【詳解】(1)因為向量加=cos2x,n=1,且如」a

22J22J

所以

/（X）=m-?=cos2x++-cos2x-^sinxcosx

442

1

=-cos2x-旦山+L

4422

故當cos(2x+R71=l時，函數(shù)/*)取最大值為'立jrjr

,止匕時2x+—=2E,解得x=E-----

I6；22612

k￡Z,

故函數(shù)/⑴的最大值為；+等,取得最大值時X取值的集合為=左ez1.

(2)由(1)知，/(x)=等[兀71）1TT

COS2xH-----H--------,令2kji<2x+—<Ikit+ji,

626

71571

解得-五+五+癡，所以函數(shù)八%)的單調(diào)減區(qū)間-—+fei,-+hr（左EZ）；

1212v）

3

(3)因為A,B,C為銳角三角形48c的三個內(nèi)角，且cos8=g,

4

所以sinB二.,

V3711

由〃c)=一;，可得cosf2C+—|+—=—,BPcosf2C+-^-一,

26242

,十C-71LLt、I兀兀7兀71571AT7/Q兀

由于0<。<彳，—<2C+—<,故2C+7=L，解得。=彳，

2666663

cosf--5=cos—cosS+sin—sin5=--cosB+—sin8=4^~3

所以cosA=

I3332210

即

10

3

18.⑴5

⑵亞

7A/27

(3)存在,

6’4

【分析】(1)利用向量數(shù)量積的公式化簡函數(shù)/(x)即可.

(2)求出函數(shù)/(x)的表達式,利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進行討論求解即可.

(3)由g(x)=0得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

答案第10頁，共13頁

【詳解】（1）

=cos(竽+5)=cos2x,

當機=0時，/(x)=(7?6+1=cos2x+1,

ri//兀、Ac兀11兀13

則,0=叫2x7J+l=cos§+l=5；

/、兀兀

(2)xe-y,—,

cosx>0,

.，?卜+B卜J2+2cos2x="cos2'=2cosx,

則/（x）=cos2x-2mcosx+1=2cos2x-2mcosx,

令，=cosx,貝!

2

ill

則y=2t2-2mt,對稱軸，=金,

①當5＜；，即加＜1時，

113

當％=5時，函數(shù)取得最小值，此時最小值y-冽=-1，得加=5（舍），

②當竺＜1,即IV加＜2時，

22

2

當;3時，函數(shù)取得最小值，止匕時最小值y=-工=-1,得"-友或-血（舍去）,

22

③當言＞1,即冽＞2時，

3

當，=1時，函數(shù)取得最小值，此時最小值歹=2-2冽=-1,得加=5（舍），

綜上：若/（x）的最小值為-1,則實數(shù)…行.

/「、人/\。2。242八,曰3m_p.4m

（3）令之x=2cosx-2mcosx+——m=0,得cosx=——或——,

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.??方程cosx=^或多在xe上有四個不同的實根，

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答案第11頁，共13頁

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即實數(shù)加的取值范圍是

~6~'4

19.(1)1

⑵方應(yīng)e[2拒-2,1]

⑶6一平

【分析】（1）建立平面直角坐標系，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求得萬?質(zhì)的值.

7T———

（2）設(shè)=0,-,求得力.而關(guān)于tanc的表達式，進而求得不.而的取值范

圍.

（3）設(shè)|萬卜。，|福卜6,將3x+6了表示為關(guān)于