專題03 三角函數(shù)與解三角形-【考前3刷】（1刷真題2刷?？?刷預(yù)測）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考前3刷定天下（解析版）

第第頁專題03三角函數(shù)與解三角形一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，而，因此，則，所以.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．2．（2023·全國·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因?yàn)?，而為銳角，解得：．故選：D．3．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A4．（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.5．（2021·全國·高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項(xiàng)均不滿足條件.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．6．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．二、多選題7．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．8．（2021·全國·高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題9．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.10．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

【答案】【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)?，所以，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．四、解答題11．（2023·全國·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.12．（2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.13．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為．14．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.15．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)椋鐖D，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)椋?，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)椋?，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)椋裕韵蛄繛榛祝校裕?，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.16．（2021·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.一、單選題1．（2024·湖南·一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：，若，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定圖形求出圓心角，再利用扇形面積公式計(jì)算即得.【詳解】顯然為等腰三角形，，則，，又，所以，于是，所以璜身的面積近似為.故選：C2．（2024·浙江·二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦兩角和公式將展開成角與的兩角和形式與與的兩角和形式，建立等式關(guān)系結(jié)合已知等式即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，又，所以，因?yàn)椋瑒t.故選：B.3．（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用輔助角公式得到，再利用的圖象與性質(zhì)，得到的單調(diào)增區(qū)間，再根據(jù)條件，可得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，由，得到，所以函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，依題有，則，得到，故選：B.4．（2024·黑龍江·二模）在銳角三角形中，角，，所對的邊分別為，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等變換與正弦定理的邊角變換，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，從而利用銳角三角形的性質(zhì)得到的范圍，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化所求即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t由正弦定理得，又，所以，則，因?yàn)槭卿J角三角形，則，則，所以，即，則，所以，解得，則，所以.故選：B.5．（2024·浙江·二模）古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)，正矢函數(shù)，余矢函數(shù).如圖角始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊與單位圓交點(diǎn)，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義可知，，，然后結(jié)合新定義簡單計(jì)算可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意，易得，對于A，因?yàn)?，即，故A錯(cuò)誤；對于B，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題屬于新定義題，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義，利用三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比求解，注意有向線段.二、多選題6．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，，定義，，則（

）A． B．C．若，則 D．是周期函數(shù)【答案】ACD【分析】根據(jù)題意分別求出，，則，，從而可對A判斷求解，利用換元法令可對B判斷求解，由求出，并結(jié)合從而可對C判斷求解，由可對D判斷求解.【詳解】由題意得在角的終邊上，且，所以，，則，，對A：，故A正確；對B：，令，所以，故B錯(cuò)誤；對C：，解得，又由，故C正確；對D：，因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)，故D正確.故選：ACD.7．（2024·遼寧丹東·一模）已知函數(shù)（，）滿足，且在上單調(diào)遞減，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．的對稱軸為， D．在上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【分析】先通過條件推知是的對稱中心，以及是的的對稱軸，然后結(jié)合在上單調(diào)遞減得出，在上單調(diào)遞減，再推知，至此可直接驗(yàn)證A正確，而驗(yàn)證是否為0即可判斷B，分別解方程和即可判斷C和D.【詳解】由于在上單調(diào)遞減，，故對應(yīng)的點(diǎn)是的對稱中心，即.同樣地由于在上單調(diào)遞減，故最小正周期.同時(shí)，由于對任意的實(shí)數(shù)，方程在一個(gè)形如的區(qū)間上至多有兩個(gè)根，且在有兩個(gè)根的情況下，這兩個(gè)根的平均值對應(yīng)的直線一定是的的對稱軸，而，，從而，故對應(yīng)的直線一定是的的對稱軸.現(xiàn)在，由于是的對稱中心，是的的對稱軸，故是的對稱軸.而在上單調(diào)遞減，，故，在上單調(diào)遞減.再由是的對稱中心，就知道，所以，故.此時(shí)得到，代入得，即.從而，由知，所以，即.經(jīng)驗(yàn)證，滿足條件.然后逐一驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)：我們已經(jīng)推出，故A正確；由，知函數(shù)在處有定義但不過原點(diǎn)，從而不可能是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；由于當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，故的對稱軸是，C正確；由于當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，故在上的全部零點(diǎn)是，只有2個(gè)，D錯(cuò)誤.故選：AC.8．（2024·廣東·二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由偶函數(shù)的定義判斷奇偶性，由給定的區(qū)間，去掉絕對值，化簡選項(xiàng)中的函數(shù)式，在由正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷區(qū)間是否符合函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到答案.【詳解】對于A：，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B：，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C：，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D：，所以為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.9．（2024·山西呂梁·二模）下列對函數(shù)的判斷中，正確的有（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)的最大值為C．函數(shù)的最小正周期為D．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸【答案】BCD【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再通過平方去掉絕對值符號逐一比對答案即可.【詳解】因?yàn)?，且定義域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；因?yàn)椋匀≈捣秶鸀?，故的最大值為，最小正周期為，函?shù)圖象的對稱軸為，故選項(xiàng)B、C、D正確.故選：BCD..10．（2024·湖南常德·三模）若函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的定義可得，，在同一直角坐標(biāo)系中作出，，，，，的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得，，即可判斷；由，，即可判斷；由，即可判斷；由余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】令得，令得，在同一直角坐標(biāo)系中作出，，，，，的函數(shù)圖象，、、在上分別遞增、遞減、遞減，且在上遞減速率，先慢后快，先快后慢，由，且，，所以，所以，故不正確；由，故，由，故，因?yàn)樯虾瘮?shù)，關(guān)于直線對稱，所以，即，又，所以，故正確；由，所以，故正確；由，所以，由，得，又，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，所以，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合即可得到，的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解.三、填空題11．（2024·山東煙臺·一模）若函數(shù)在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【詳解】依題意，函數(shù)，由，得，則或，由，得，由在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，得，解得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，且，解得，所以正實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，可把看成一個(gè)整體，由求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，由求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．12．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)滿足恒成立，且在區(qū)間上無最小值，則．【答案】/【分析】首先由條件確定是函數(shù)的最大值，再結(jié)合函數(shù)的周期的范圍，聯(lián)立后即可求解.【詳解】由題意可知，是函數(shù)的最大值，則，，得，且在區(qū)間上無最小值，所以，所以，所以.故答案為：13．（2024·遼寧遼陽·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的最小值為.【答案】【分析】由正弦定理及條件可得，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為.故答案為：.14．（2024·山西朔州·一模）若，則．【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，利用正切差角公式得到，從而求出答案.【詳解】由題意得，又，解得，，.故答案為：15．（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則可以為.（寫出一個(gè)符合條件的即可）【答案】.（答案不唯一）【分析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，只需根據(jù)三角函數(shù)圖象讓也為的對稱軸即可.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則只要的圖象關(guān)于直線對稱即可，所以，所以，如令，可以取.故答案為：四、解答題16．（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對的邊，點(diǎn)在邊上，且滿足，．(1)求的值；(2)若，求．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換得到，再利用三角恒等變換得到，從而利用余弦定理列出關(guān)系式即可得解.（2）在中，確定三邊的長度關(guān)系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求.【詳解】（1）如圖，在中，由正弦定理知，所以，所以，因?yàn)?，所以，則①，由，則，因?yàn)椋?，則，在中，由余弦定理知，則②，由①②得，．（2）因?yàn)?，所以，，在中，由余弦定理知同理在中，，因?yàn)?，所以，則，由（1）知，，所以，在中，由余弦定理知，所以．17．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點(diǎn)，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合面積公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，進(jìn)而求解即可；（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，進(jìn)而得到，結(jié)合三角恒等變化公式化簡可得，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.【詳解】（1），，即，由正弦定理得，，，，，，由，得.（2）由（1）知，，因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，即，在中，，，?，，，，所以的取值范圍為.

18．（2024·山東棗莊·一模）在中，角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若是邊上的高，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理邊化角，再切化弦由倍角公式化簡，得，可求的值.（2）以為基底，由，代入數(shù)據(jù)運(yùn)算得的關(guān)系；或利用余弦定理和勾股定理，求出，由平面向量基本定理求的值.【詳解】（1）中，，由正弦定理和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，得，由倍角公式得．又因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，，所以．所以，，則有，得．（2）方法一：，，，所以，由題意知，所以，即．所以，所以．方法二：中，由余弦定理得，所以．又因?yàn)椋裕?，．所以．由平面向量基本定理知，?/p>

所以．19．（2024·河北石家莊·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量，.(1)求函數(shù)的最大值;(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積與三角恒等變換知識計(jì)算可得，再結(jié)合三角函數(shù)的值域計(jì)算即可求得；（2）由題中條件計(jì)算可得，再由正弦定理得，由余弦定理可得，再由三角形的面積公式計(jì)算即可求得．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，有最大值；（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理得：，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，由余弦定理有：，即，所以，所以?0．（2024·湖北·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，，．(1)求A；(2)者，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助正弦定理、三角形內(nèi)角和與兩角差的正弦公式計(jì)算即可得；（2）借助向量的模長與平方的關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積公式計(jì)算可得，借助三角函數(shù)的性質(zhì)，可令，，結(jié)合余弦定理計(jì)算可得，即可得解.【詳解】（1）由正弦定理得，則，則，，．即或，解得或．因?yàn)?，所以，所以舍去，即；?）由得，則，則，則，則，即．令，，因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以，解得．由?）得，則，又因?yàn)椋?，所?，解得，所以，解得，所以．令，則，則．因?yàn)?，所以，即．一、單選題1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，且為偶函數(shù)，則的一個(gè)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用的最小正周期為π，可求，利用偶函數(shù)可求得，進(jìn)而可求得的單調(diào)區(qū)間，可得答案.【詳解】由的最小正周期為π，可得，解得，所以，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以又，所以，所以，由，可得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，可得.故選：D.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線是函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)可分別計(jì)算出、、，得到函數(shù)解析式，再代入的值即可得解.【詳解】由題意可知，所以．由，得，所以，因?yàn)?，且直線是函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸，所以，所以，由，得，所以，又，所以，所以，則．故選：D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用和（差）角公式計(jì)算可得.【詳解】．故選：A．二、多選題4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是偶函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象．若曲線的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離為，則（

）A．B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．若，則在區(qū)間上的最大值為【答案】BCD【分析】首先利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出和的關(guān)系，進(jìn)一步利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以，由于將的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，則，對于A，因?yàn)榍€的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離為，故，解得，故A不正確；所以函數(shù)，則或，，則或，對于B，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C,令，解得，所以當(dāng)時(shí)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，或，所以或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最大值為，故D正確；故選：BCD.5．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．若且，則C．若在上有且僅有2個(gè)不同的解，則的取值范圍為D．存在，使得的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【分析】由，選項(xiàng)A：利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；選項(xiàng)B：利用正弦函數(shù)的最值、周期判斷；選項(xiàng)C：利用正弦函數(shù)的圖象判斷；選項(xiàng)D：利用三角函數(shù)的圖象變換判斷.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，若且，則，故B不正確；對于C，若，則，若在上有且僅有2個(gè)不同的解，如圖所示：

可得，解得，也就是的取值范圍為，故C正確；對于D，，可知當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心為，且與此對稱中心相鄰的一條對稱軸為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的振幅為2，頻率為B．在上單調(diào)遞減C．在上只有一個(gè)零點(diǎn)D．若，則【答案】BC【分析】由對稱性得周期，從而可求得頻率及，判斷A，利用對稱軸求得參數(shù)，得函數(shù)解析式，由正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷B，由方程的解判斷C，利用函數(shù)性質(zhì)得，結(jié)合周期判斷D．【詳解】對于A，由題意，得，所以，所以函數(shù)的振幅為2，頻率為，故A不正確；對于B，，所以．由，得．又，所以，所以．當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，故B正確：對于C，令，得，解得，所以函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對于D，若，則，則，故D不正確，故選：BC．三、填空題7．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，則.【答案】/【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知條件求得，以及，，，再求結(jié)果即可.【詳解】由可得：，又，即，則，故，，則，故.故答案為：.8．（2024·江西·模擬預(yù)測）在三角形ABC中，，角A的平分線交于點(diǎn)D，若，則