高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版第十一章課后習(xí)題答案解析

第十一章

曲線積分與曲面積分

習(xí)題11-對(duì)弧長的曲線積分

&H?設(shè)在xOy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧J在點(diǎn)（”?川處它的線密度為1（、?1）.

用對(duì)弧K的曲線積分分別衣達(dá)：

（1）這曲線弧對(duì)》軸、對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣W；

（2）這曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)

解（I）設(shè)想將/,分成〃個(gè)小弧段,取出其中任意一段記作?。↘K度也記

作?。?㈠.y）為為上?點(diǎn).則ds對(duì)x軸和對(duì)）軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣1ft近似等于

d/,=/從（x.y）ds.（1/?=x'fJL（x,y）（h.

以此作為轉(zhuǎn)動(dòng)慣址元素并積分.即得L對(duì)x軸、對(duì)）軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣W:

/,=J'"（x.y）d3,/,=|v:/x（x.））dx.

（2）人對(duì)*軸和對(duì)y軸的靜矩近似等于

dAf,=y/x（JC,y）ds,dM.=w（x.1）ds.

以此作為靜矩元素并枳分.即得A對(duì)，軸,對(duì)）軸的靜矩:

W,=卜〃（x.y）ds,W,=卜〃

Lt

從而/，的質(zhì)心坐標(biāo)為

VU（x,））d5hit（x.v）d.<

”，1一W.J.

x=-j-=----------------,y=—■=----------------?

pL（x,y）d5'

&i

a2.利用對(duì)弧氏的曲線積分的定義證明性質(zhì)3.

證設(shè)對(duì)積分弧段L任意分割成〃個(gè)小瓠段.第/個(gè)小弧IQ的K度為As.

（￡，〃）為第i個(gè)小弧段上住意取定的點(diǎn).按假設(shè).4

/（￡,〃）&*W3=I?

rrr.f

令A(yù)=max|AsJ川.I式網(wǎng)端同時(shí)取微限?即得

J/（M1）（I.CW.?）］、.

It

乂/（*」）W|./（.,.,）|.W|/（\.、）］.利川葭I《果.得

第十一章曲線積分與曲面積分165

Ii

-//(*,.、)dsWJ|/(xty)|ds.

it

即

J/(r,y)d5WJ|/(xO)|d5.

.3?計(jì)算下列對(duì)弧長的曲線積分:

(1)^(x2+/)"人.其中/,為例周="cos=asin，(0W2W2p);

t

(2)J(.r+r)ds,其中/.為連接(1.0)及(0.1)兩點(diǎn)的直線段；

I

(3)#ds,凡中〃為由在線y=*及拋物線〉=/所圍成的區(qū)域的整個(gè)

邊界；

(4),不廣出其中L為例周/+/=/，直線).=X及X軸在第一象限內(nèi)所

I

?成的扇形的整個(gè)邊界;

(5)f--------------^小.其中廠為曲線X=efrost,y=e'sin/,z=e'上相應(yīng)于[從

Jxl+y￡+zr

。變到2的這段?。?/p>

(6)12Hs,其中r為折線48CU.這里4.8,C,。依次為點(diǎn)(0,0,0)J0,0?2),

r

(I,0,2).(1.3,2)；

(7)|y2rhJt?pL為接線的-拱x=?(/-sinl),y=<i(1-cos/)(0W/W2n);

i

(8)J(x2+y2)d.<,Jt中〃為曲線x="(cnst+fsin，).>=?(sin/-H*ost)

(0/C2TT).

解(I)j(x2+/),<!*

I.

=J(?2cos2/+fl2sin2l)"yT-asinl)2+(oros/尸山

=「產(chǎn)”力=24?].

(2)在線/，的方程為)=1-x(0-Wl).

((x+y)d,<=J[x+(I-x)}>/\+(-1)2<lx=1y/2dx=Ji.

166一、《高等數(shù)學(xué)”第七版）下冊(cè)習(xí)遨全解

（3）/,由。和&兩段組成，JI：中％：.）=1（（）-W1）.G：1:/（OWxWI）.「足

=956+6々-1).

(4)L由線段OA：v=0(0WxWu)，陰弧18：&=</cos/,1=(ismf(0W/W；)和代

段08：〉="OW#W三組成（圖H-l）.

第十一章曲線積分與曲面積分167

-6)rillH線段\R,HC和C〃組成，其中

\H：\=0,?=0.z=/(0這/W2)；AC：x=/,y=0.:=2(0w?Wl)；

CD：x=I..U=2(OW/W3).

「足j.t2yzd.i=ji,yzds+Jx2yzds+J.r2yzck

lIMHl'.Clt

=I0(1/+]：0山+I：2/山=9.

⑺…J(如+(如〃

"I<??>/!?，/、”廠/<!/=J2av/l-cosz(lz,

27T

J、=('/(I-cos/)',Jiay/f-cos/<1/

f

=J2〃'((1-(心，)‘出=(2sin?j)d'

i

u=-

===16〃']sin5i/dn

r3/si「io3422563

3

=32"'Ismi/<h/=32/r?—,—=-T-A.

5315

⑻小=j(，)2+(￥)"

=yT^i/cosI)2+(olsin/)2<l/=alill.

J(x?+J)(I.、=J“2(cos/+/sin/)2+",(sin/-/<,<>?t)：,??/<!/

=J"3(I+r)nl;=2M“'(1+2ir2).

△4.求T行為〃中心用為2<的均勻冏弧(線密度從=I)的質(zhì)心.

儲(chǔ)取中標(biāo)系如圖11-2所小,則由對(duì)稱性知

)=0.

乂V=|“小==2.,（也可由1川弧的弧K公式也接得出）.

上陶用UI冊(cè)格八小小”例12

168一、《高等數(shù)學(xué)》(第七版)下冊(cè)習(xí)題全解

所求I期弧的質(zhì)心的位置為(空".0).

圖II_2

之5.設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為—os/.)=asin，,z=卜.其中0W1W2TT,它的線密

度p(x,y,j)=x2+>2+z，求：

(1)它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣fit(

(2)它的質(zhì)心.

解(1)/：=1(/+/)p(x,y,z)d5：=l(.r2+/)(/+/+J)d.、

i

</cos

Jo

=yir?2+好(3a2+4jr2k2).

(2)設(shè)質(zhì)心位置為(7.，,E).

M=Jp(*,).z)ds=|(x2+y2+z2)d、

it.

r21r

7("2+k2t2)>/a2+A2<l/

=；宣/“2-卜k2(3a2+4TT?A?).

x=—pp(V.).1)(lx=jyJ.V(,V?+/+：")<l>

11

=；J<ic<>st(ai2+P/2)?y<r+A?d/

_z(+A?rn

(<f?+k2r)<???>/<b.

M

f2w

illF[(<i*+k2l2)r<?s/<1/=|1(+卜廠)sin/-1sin/?2A,/?!/

第十一章曲線積分與曲面積分169

=[2A-2ZCOSr]QW2k2costdt=47rA?,

-_ay/a2+_6n/r2

因此

."TF(302.田)-3/+4卡戶

類似的.

2222

=J>(x+y+z)ds=J卜((a+爐產(chǎn))§加汕

t

_ax/a2+k2?(-4宣2左2)-6irak2

-3『+4/爐

2222

z-+/(y+y+J)ds=/(?+kt)dt

*I

_ky/a2-￥k2(2(i2TT2+4代IT4)3TT/T(a2+2TT2k2)

~~M-3a2+―,

曼Ef匿4對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

-1.設(shè)L為x（）y面內(nèi)在線x=〃上的一段，證明：

Jp（4,＞）ch=0.

證將/，的方程表達(dá)為如F的參數(shù)心式：

X=fl.

t從a變到p.

{…，

J是由第二類曲線積分的計(jì)算公式,得

Jp（x,））dx=J/）（〃，《）?0山=0.

i

注本題給出了第一類曲線積分的一個(gè)幣:要性質(zhì):

如果/.為垂在「X軸的有向線段,則,（x.y）h=0;如果/，為垂自于〉軸的行

I

向線段.則/。（*,））/=（）.這一性質(zhì)常被川來簡化第：類曲線積分的計(jì)算?

I

&2.設(shè)/.為x"y血內(nèi)x軸］：從點(diǎn)（".0）到點(diǎn)（從。）的一段直線,證明：

j/"x,y）dx=j/?（x.0）dr.

I

證將L的力稗&達(dá)為如卜?的參數(shù)形式：

「二、’x從〃變到心

170一、《高等數(shù)學(xué)》(第七版)下冊(cè)習(xí)題全解

于是|P(x,y)dx=/〃(x,0)<h.

%3.計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分:

(I)|(.v2-/)4.片中/是拋物線、=?上從點(diǎn)(0.0)到點(diǎn)(2.4)的一段??；

t

(2)>d.t.JI：中/,為帆|Jn］(A-?)2+y2=〃，“>0)及.r軸所用成的在第?彖限

內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界(按逆時(shí)fI-方向繞行);

(3)Jvdx+.vch,其中L為［員］周x=Rros/.)=K>in/卜一對(duì)應(yīng)/從0到:的?段弧；

i.

(4),(*+)"：(產(chǎn)力”.其中I.為圓周J+/="，按逆時(shí)針方向繞行)：

(5)Jx2(lx+zdy-)dz,其中r為曲線x=k8.'=(irosH.:=Hsin81對(duì)應(yīng)8從0

r

到711的?段??；

(6)|.td.r+例>+(x+)-I)心,其中/.是從點(diǎn)(11，1)到點(diǎn)(2.3.4)的一段仃線；

r

(7)j,dx-<1>+“1:.其中「為有向閉折線WG1.這里的T.4.C依次為點(diǎn)(1.0.0).

r

(0.1.0).(0.0.1)；

(8)/(/-2.”)心+(/-2.V、)小.其中L是拋物線j=.v2上從點(diǎn)(-1.1)到總

(1,1)的一段弧.

1

解(1)J(x2-y2)dx=^(x2-.r4)(lx

i

56

=-I?

(2)如圖II-3,AIII/.1和一所組成.其中匕為行向半倒瓠:

I從0噌刑n;

1=HsinI.

第十一章曲線積分與曲面積分171

/.：為仃向線段'=0.x從0變到2a.于是

=Jxydx+J.vyd.v

ti,ti

“(I+cos/),rtsin/,(-asin/)d/+0

一“'([*加04，+sin2Zcos/(lfj

=K:Jcos2/(1/=0.

(4)/.的參數(shù)方程為x=acosi,y=asintj從0變到27r.于是

原式=—Ja(cosI+sin/),(-risin/)-?(cos/-sint),ncost]dt

=(-a2)<1/=-2IT.

(5)J.v2<Lt+zi\y-y(k

/?

fit

=I夕2?k+asin"?(-risin0)-?c<>s〃?(?cos3)d〃

=J(k^32-"2)(㈤=-yA'TT'-fl2IT.

(6)日線，的參數(shù)方程為：x=l—+3J從。變到I.于是

原式=([(|+/)?I+(I+2,)?2+(I+/+1+2/-I)-31<l/

=j'(6+14，)出=13.

(7)/山/向線段依次連接而成，乂中

Mi：x=I-/,y=/,z=U，，從。變到I;

HC：x=O,i=1-/,z=IJ從()變到I;

CA：x=/,>=O.z=I一/從。變到I.

172一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）下冊(cè)習(xí)題全解

Jdx-dy+ydz=J(I-0+0)<k=1,

Ci

因此,dx-dy+yds=-2++1=-y-.

r

(8)J(x2-2xy)d.r+(y2-2xy)dy

\

=Ir[(x2-2x?x2)+(x4-2x?x2)?2x,dx

=「(2--4/-2/+x2)dx

=2((-4J+x2)dx=-

24.計(jì)算l(x+y)dx+(y-x)dy,其中/，是：

L

(1)拋物線J="上從點(diǎn)(1.1)到點(diǎn)(4,2)的段??；

(2)從點(diǎn)(1.1)到點(diǎn)(4,2)的直線段；

(3)先沿直線從點(diǎn)(1.1)到點(diǎn)(1,2),然后再沿直線到點(diǎn)(4.2)的折線；

(4)曲線x=2*+，+l,y=a*1上從點(diǎn)(1.1)到點(diǎn)(4.2)的一段弧.

解(】)化為對(duì)〉的定積分.L-x=y2.y從1變到2.

原式=J'(),2+y)?2)+(y-?3),I,<1>

=((2/+y2+y)dy=3

2-I

(2)//的方程為y-1=，4(4-1),即、=3'一2」從I變到2.化為對(duì)、的定枳

4-I

分計(jì)算,有

原式二J：(3y-2+y)?3+(>-3y+2)?I小

=J(10y-4)dy=11.

(3)記匕為從點(diǎn)為，1)到點(diǎn)(I,2)的有向線段向,為從點(diǎn)(1.2)到點(diǎn)(4.2)的■

向線段.則匕：工

d>=0.于是

因此

第十一章曲線積分與曲面積分173

tlr+/+!=1.rlt2+/+1=4,

（4）由，可得/=0;由，可得，=1.因此

I/2+1=1Id+1=2

原式:（；（2/+/+I+r+1）?（4/+1）+（i2+1-2r-/-1）?24山

=['（lOr,+51+9,+2）dz=苧.

-5.一力場山沿橫軸正方向的恒力F所構(gòu)成.試求當(dāng)一質(zhì)13為m的質(zhì)點(diǎn)沿圓周

V+『=/按逆時(shí)針方向移過位于第一象限的那一段弧時(shí)場力所作的功.

解依題意.F=（|川，0）./.：x=Rcos，,y=Ksin，4從0變到今，因此

卜=j尸?dr=j|F|dx+Ody

/.i.

=尸|[（-Rain/）df=-|尸|兄

?6.設(shè)z軸與通力的方向一致,求質(zhì)址為m的質(zhì)點(diǎn)從位置（勺，力，Z1）沿直線移到

（x202,勺）時(shí)重力所作的功?

解瑕力尸=（0.0,〃嘈）.質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的直線路徑〃的方程為

rX=Xl+(盯一勺)G

y=)i+(%-7)，,，從。變到I.

=2|+(z2-Zj)G

于是W=1/?，?dr=Jodx+Ody+mgdz

=(z2-Z|)<iz=mg(z2-Z)).

J

-7.把時(shí)坐標(biāo)的曲紋枳分/（x,y）（lx+（＞（x,y）dy化成時(shí)弧長的曲線積分,其中/,為:

I)在而內(nèi)沿力:線從點(diǎn)（0,（））到點(diǎn)（I.1）;

2)沿拋物線y=?從點(diǎn)（0,o）到點(diǎn)（M）；

⑶沿1TM同J+/=2x從點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（1.1）.

解（1）/?為從點(diǎn)（0,0）到（I.I）的有向線段,其上任一點(diǎn)處的切向成的方向余

TTI

弦滿足<,osa=<<>、B-COM=廠，卜是

4J2

x

IP(z,y)<lx?〃(=/〔〃()<，osa+Q(*.y)<，nsPk卜

1?■

〃(i,1)?0(i,1)小

=1J2

一,.?山小到大地從。變到.故〃的切

（2）L|1|如卜的參數(shù)））程給出：＜=*.y?

174一、《高等數(shù)學(xué)》(第七版)下冊(cè)習(xí)題全解

向胸為7=(1J(1))=(I,2"),其方向余弦為

1IC/⑺2r

<??>?=-----------------=--.<<?Sp=?，=-----.

f2，2

v/|+y(x)Jl+41Jl+)(x)/1+4.r

工口fv.八/3f+2xQ(x.y).

于是〃n/(x,])dx+〃(*?,)小=----一心.

，I+4.v"

(3)L由如下的參數(shù)方程給出:x=*.>=J2.-2,x由小到大地從0變到I,故/

的切向址的方向余弦為

于是

)d,=JJlx-x2P(i.))+(I-t)〃(K.\)

ti

-8.設(shè)r為曲線*=，.y=〃,？=/上相應(yīng)于，從。變到1的曲線弧.把討里標(biāo)的

積分，,■+。小+吊卜化成對(duì)弧長的曲線積分.

r

解9L*=2,=2工.：=3/=3>,注意到參數(shù)，由小變到大.因此/■的I7J問

ht的方向余弦為

*'(，)I

(“、n=一一二:…一：

y/x，2(l)+)，2(/)+：，2(1)\]+4「+9」

,、

COXp="……)'(?，”)”"=一._…2X,,—?.

>/x,2(t)+/1+4A2+91

<,<)、y=二------=---

y/x，2(i)+y，2(i)+z*2(/),1+4.v??*??

從而f/M.r+Qdv+?,l;=f++3'"小.

:

I\vI+4.r+9v-

格林公式及其應(yīng)用

EaI-iI0卜列曲線枳分.格林公式Mil做fl：

(I)^(2.i)-i!),h+(?+.|l.'|i/￡山|也物我、=」和、'='1"川，|或的4Mi

f

的小向邊界曲線；

第十一章曲線積分與曲面積分175

（2）-2xy）d>,其中〃是四個(gè)頂點(diǎn)分別為（0,0）,（2.0）,

I

（2.2）和（0.2）的正方形區(qū)域的正向邊界.

解（1）先按曲線積分的il算公式由接計(jì)6記從。變到］;

一=/」從1變到0（圖II-4）.于是

城式=J(2xy-x2)(lx+(x+y2)dy+J(2xy-x2)dx+(x+y2)dy

=J(l-2x)dx<ly

b

=J(I-2x)d*.<ly=J(I-2x)(/r-x2)dx

(x-2xT-x*2x')<lx=

nf見lx?Qdy=~—jckdy.

(2)b\\^II-5.A|ll仃向線段〃4tMiJU：filCO組成.

|(x2-xy')<k+(1-2xy)<1y=x2ilx=寺,

ol

2K

f(x2-xy')<l,r+(/-2xy)<l>=((y?-4y)<l>=-K.

IN

176一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）下冊(cè)習(xí)題全解

((X2-xy3)dx+(y2-2x>)d>=￡(X2-8.1)dx=16-y.

4TC

j(x2-xy3)dx+(/-2xy)dv=(/dy=-y,

CO

于是

原式=寺+(>8)+(16-撲(-撲8.

又

=(dx((-2]+3.v)2)(h

=j(8#-4)dx=8.

可見,Pdx+Ody=膘一沙d,.

lit2.利用曲線積分，求下列曲線所圍成的圖形的面積：

(I)星形線x=ac"s",.v=asin);

(2)橢|M]9?+16y2=144；

2

(3)IHIx+>2=2ax.

解(1)正向星形線的參數(shù)方程中的參數(shù)，從0變到2■.閃此

A=-y(l.v

；(mtos'r(3<isin2/<,os/)-nsin'/()(-sinI)<1/

.1'

32<'<?s/sin*isin4/ros*/)<1/

第十一童曲線積分與曲面積分177

3-/T-產(chǎn)Isin2teas'，t」ai

3a：(1-cos4/)dr=

2oo

（2）正向橢網(wǎng)9/+16/=144的參數(shù)方程為

x=4cos/=3sintJ從0變到27r.

=6jdt=12TT.

(3)正向網(wǎng)周x2+y2=lux，即(x-a):y2=a2的參數(shù)方程為

x=a*fleos/,v=?sintJ從0變到2TT.

；(a+ricost)(icos/-asint(-asin/)]dz

(I+cost)dt=TT?2.

一3.計(jì)克曲線積分$'%-"?，其中/.為例周（*-1）2+r=2/的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.

T2（x2+/）

解在/.所圍的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（0,0）處，函數(shù)〃（X.＞）,。（X.））均無意義.現(xiàn)取r為適當(dāng)

小的正數(shù)，使廁周1（取逆時(shí)針向）:%=rcos/,y=rsinl（t從。變到2ir）位f〃所圍的區(qū)域

內(nèi).則在由/，和廠所闈成的復(fù)連通區(qū)域〃上（圖”-6）,可應(yīng)用格林公式,在。匕

|t|11-6

178一、《高等數(shù)學(xué)》(第七版)下冊(cè)習(xí)題全解

于是由格林公式得

L74=『(亞?江田小=0.

.2(叫.2+>少2)J2(x'+)?)Mdacdyl

從而

￡y<1.1-x小_￡、<L*-.rill

，2(才?+y2)，2(J+y2)

rn-rsm'/-r~(os"/,

=1>一^?—d/

=-a"小=~m

44.確定閉曲線C,使曲線積分

,(x+三卜”+(,+?-=')小

達(dá)到最大值.

解記I)為C所圍成的平面有界閉區(qū)域.C為D的正向邊界曲線,則由格林公式

，卜+；卜Lt+(y+.*一；J>1)=J(I-2x2)-rd.vilu

ct)

要使上式右端的二翥積分達(dá)到最大值，"應(yīng)包含所有使被積函數(shù)-23-J人

于零的點(diǎn)，而不包含使被枳函數(shù)小于零的點(diǎn).因此〃應(yīng)為由橢掰2v-hr=1所圍成

的閉區(qū)域.這就是說.當(dāng)C為取逆時(shí)針方向的橢12.F+v2=I時(shí)?所給的曲線枳分

達(dá)到最大值.

?5.設(shè)〃邊形的〃個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針向依次為明),1/八口.力)

試?yán)们€積分證明此n邊形的面枳為

4=y[一?“i)+(*2>3-x3)2)+…+一-“]”.1)+(L.”一“L)?

證〃邊修的正向邊界〃山仃向線段V(W2.W2V,,-)WnJ/ZjWt組成.

有向線段M|盟2的參數(shù)方程為*=々+(AS-.11)/.?=I1+()2->|/從0.

到I.于是

Jvdy-y(\x=(I[X)+(x2-Xj)/(y2-)))-|V)+(5-vt)/-i1)由

MV

=I，5(*-力)-%5-”)W，

=((A))2~tjV|)(1/='i-VU|.

同理可求f!J

j1<I)-\<1.1=A.?t-I,I?.…，

*W.

第十一章曲線積分與曲面積分179

因此〃邊形的面積

=yf（引力f力）+（叼力-*3/2）+…+（”I力-3??1）+（“I-?|/?）]?

6.證明?列曲線積分在整個(gè)工。)面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值:

「(2J)

(I)J]](k+j)dx+(X-))d>；

(3.4)

(2)Ir(6.ry*-y3)dx+(6x2y-3xy2)dy；

(3)])(2x)-y4+3)dx+(x2-4xy3)dy.

解(1)函數(shù)Odt+iWtx-y在整個(gè)面這個(gè)單連通區(qū)域內(nèi),具有一階連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù).且

迎=1=必,

dxdy

故曲線枳分在xOy面內(nèi)與路徑無關(guān).取折線枳分路徑MKN,其中M為(1.1),K為

(2.1)..V為(2,3),則存

原式=/(*+1)dx+f(2-y)Ay

5n5

=T+°=T-

(2)函數(shù)。=6工/_/，。=6jy_3*/在x〃)?而這個(gè)單連通K域內(nèi)具仃一階連

續(xù)偏守?cái)?shù)，且

HQ.a2”

—=I72x>-3y=-?

Hxoy

故曲線積分作.M)向內(nèi)與路徑無關(guān).取折線枳分路徑MKM其中M為(l,2),R為

(3.2),\為(3,4),則外

原式=J(241-8)dx+^(54)-9/)dy

=80+156=236.

(3)函數(shù)〃=20->+3,0=#-4//Ex()y面這個(gè)單連通伏域內(nèi)具有,階連

紈偏H數(shù),”

W=、2xA-4X)=川,

ilxHy

故曲線積分住x〃y血內(nèi)與路竹無關(guān)取折線積分路/MRM其中”為(?,°)?“為

180一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）下冊(cè)習(xí)題全解

(2.0),N為(2,1).則

原式=J3dx+((4-8、')dy=3+2=5.

"利用格林公式，計(jì)竟下列曲線枳分:

(1)2x-y+4)d.r+(5.、+3x-6)6.其中/,為三頂點(diǎn)分別為(0.0).(3.0；

f.

和(3.2)的三角形正向邊界；

(2)，(x2yeosx+2Avsinx-\:e*)dx+(x*sinx-2ye*)小，及中/，為正向星影線

t

xT+yT=a~(a>0)；

(3)J(2xy3-y2cosx)d.r+(I-2ysinx+3x2'')d>.其中A為在拋物線2.t=

i.

iry2上由點(diǎn)(0.0)到(學(xué),1)的一段??；

(4)](6-y)dr-(r+sin2y)d>，其中/，是在圓周v=^2x-x2上由點(diǎn)(0.0)到

i.

點(diǎn)(1」)的一段弧.

解(I)設(shè)〃為〃所圍的三角形團(tuán)區(qū)域.則由格林公式.

2x-y+4)dx+(5y+3.r-6)dy=f

=J[3-(-l)：dxd)=41dx<l?=4x(〃的面積)=4x3=12.

bi>

(2)由于—=2xsin.、+.v2rosx-2ve1.

dx

HP2o、a

—=xcosx+2xsinv-2M*.

dy

故由格林公式得

原式=,（乎-給小=加）,小小=（）.

(3)由于。=2.n1-r<<>sA,(>=I-2\sini+3”、'仔i,八曲內(nèi)IL仃階4汽儲(chǔ)

導(dǎo)數(shù)，目

"=-2".,……M

故所給曲線積分與路徑無關(guān).r是將原積分路存/改安為川線路外a心.田中。為

（：,（）卜片為（；/）（圖II一）.得

（0.。）,〃為

、.TT?TT

朦式=(o?J*+((?-J\sill、?、?

24

第十一章曲線積分與曲面積分181

=1(1-2y+%2y2)d>=g

(4)由于/>=/->.Q=-(x+sin?>)在xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

乎=-I=".故所給曲線積分與路徑無關(guān).于是將原積分路徑改為折線路徑

Hxdy

ORA.其中0為(0,0),R為(1.0),N為(1,1)(圖11-8),得

原式=(-dx-((I+sin2y)dy

=2?+±sin2=_±+±sin2.

32464

.8.驗(yàn)證下列/，(x.>)d*+0(x.>)d>在整個(gè)*0>平面內(nèi)是某一函數(shù)u(x.y)的

全微分.并求這樣的一個(gè)“(*,>):

(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy；

(2)2xydx+x2dy;

(3)4sinisin3>cosxdx-3cos3ycos2xdy；

(4)(3x2)+8xy2)<lx+(J+8x2y+12ye,)dy；

(5)(2xcosy+y2cosx)<lx+(2ysinx-x2siny)dy.

解(I)在整個(gè)面內(nèi).函數(shù)"=*+2y,Q=2#+y具仃一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

""=2=因此所給我達(dá)式是某一函數(shù)"(*.y)的全微分.取(與，0)=(0.0).