高等數(shù)學課后習題及參考答案(第七章)

.@;高等數(shù)學課后習題及參考答案（第七章）習題7-11設uab2cva3bc試用a、b、c表示2u3v解2u3v2(ab2c)3(a3bc)2a2b4c3a9b3c5a11b7c2如果平面上一個四邊形的對角線互相平分試用向量證明這是平行四邊形證而所以這說明四邊形ABCD的對邊ABCD且AB//CD從而四邊形ABCD是平行四邊形3把ABC的BC邊五等分設分點依次為D1、D2、D3、D4再把各分點與點A連接試以、表示向量、、、解4已知兩點M1(012)和M2(110)試用坐標表示式表示向量及解5求平行于向量a(676)的單位向量解平行于向量a(676)的單位向量為或6在空間直角坐標系中指出下列各點在哪個卦限？A(123)B(234)C(234)D(231)解A在第四卦限B在第五卦限C在第八卦限D(zhuǎn)在第三卦限7在坐標面上和坐標軸上的點的坐標各有什么特征？指出下列各點的位置A(340)B(043)C(300)D(010)解在xOy面上點的坐標為(xy0)在yOz面上點的坐標為(0yz)在zOx面上點的坐標為(x0z)在x軸上點的坐標為(x00)在y軸上點的坐標為(0y0)在z軸上點的坐標為(00z)A在xOy面上B在yOz面上C在x軸上D在y軸上8求點(abc)關于(1)各坐標面(2)各坐標軸(3)坐標原點的對稱點的坐標解(1)點(abc)關于xOy面的對稱點為(abc)點(abc)關于yOz面的對稱點為(abc)點(abc)關于zOx面的對稱點為(abc)(2)點(abc)關于x軸的對稱點為(abc)點(abc)關于y軸的對稱點為(abc)點(abc)關于z軸的對稱點為(abc)(3)點(abc)關于坐標原點的對稱點為(abc)9自點P0(x0y0z0)分別作各坐標面和各坐標軸的垂線寫出各垂足的坐標解在xOy面、yOz面和zOx面上垂足的坐標分別為(x0y00)、(0y0z0)和(x00z0)在x軸、y軸和z軸上垂足的坐標分別為(x000)(0y00)和(00z0)10過點P0(x0y0z0)分別作平行于z軸的直線和平行于xOy面的平面問在它們上面的點的坐標各有什么特點？解在所作的平行于z軸的直線上點的坐標為(x0y0z)在所作的平行于xOy面的平面上點的坐標為(xyz0)11一邊長為a的立方體放置在xOy面上其底面的中心在坐標原點底面的頂點在x軸和y軸上求它各頂點的坐標解因為底面的對角線的長為所以立方體各頂點的坐標分別為12求點M(435)到各坐標軸的距離解點M到x軸的距離就是點(435)與點(400)之間的距離即點M到y(tǒng)軸的距離就是點(435)與點(030)之間的距離即點M到z軸的距離就是點(435)與點(005)之間的距離即13在yOz面上求與三點A(312)、B(422)和C(051)等距離的點解設所求的點為P(0yz)與A、B、C等距離則由題意有即解之得y1z2故所求點為(012)14試證明以三點A(419)、B(1016)、C(243)為頂點的三角形是等腰三角直角三角形解因為所以因此ABC是等腰直角三角形15設已知兩點和M2(302)計算向量的模、方向余弦和方向角解16設向量的方向余弦分別滿足(1)cos0(2)cos1(3)coscos0問這些向量與坐標軸或坐標面的關系如何？解(1)當cos0時向量垂直于x軸或者說是平行于yOz面(2)當cos1時向量的方向與y軸的正向一致垂直于zOx面(3)當coscos0時向量垂直于x軸和y軸平行于z軸垂直于xOy面17設向量r的模是4它與軸u的夾角是60求r在軸u上的投影解18一向量的終點在點B(217)它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為447求這向量的起點A的坐標解設點A的坐標為(xyz)由已知得解得x2y3z0點A的坐標為A(230)19設m3i5j8kn2i4j7k和p5ij4k求向量a4m3np在x軸上的投影及在y軸上的分向量解因為a4m3np4(3i5j8k)3(2i4j7k)(5ij4k)13i7j15k所以a4m3np在x軸上的投影為13在y軸上的分向量7j習題721設a3ij2kbi2jk求(1)ab及ab(2)(2a)3b及a2b(3)a、b夾角的余弦解(1)ab31(1)2(2)(1)3(2)(2a)3b6ab6318a2b2(ab)2(5ij7k)10i2j14k(3)2設a、b、c為單位向量且滿足abc0求abbcca解因為abc0所以(abc)(abc)0即aabbcc2ab2ac2ca0于是3已知M1(112)、M2(331)和M3(313)求與、同時垂直的單位向量解為所求向量4設質(zhì)量為100kg的物體從點M1(318)沿直線稱動到點M2(142)計算重力所作的功(長度單位為m重力方向為z軸負方向)解F(0010098)(00980)WFS(00980)(236)5880(焦耳)5在杠桿上支點O的一側(cè)與點O的距離為x1的點P1處有一與成角1的力F1作用著在O的另一側(cè)與點O的距離為x2的點P2處有一與成角1的力F1作用著問1、2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？解因為有固定轉(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零再注意到對力矩正負的規(guī)定可得使杠桿保持平衡的條件為x1|F1|sin1x2|F2|sin20即x1|F1|sin1x2|F2|sin26求向量a(434)在向量b(221)上的投影解7設a(352)b(214)問與有怎樣的關系能使得ab與z軸垂直?解ab(32524)ab與z軸垂abk(32524)(001)0即240所以2當2時ab與z軸垂直8試用向量證明直徑所對的圓周角是直角證明設AB是圓O的直徑C點在圓周上則因為所以∠C909設已知向量a2i3jkbij3k和ci2j計算(1)(ab)c(ac)b(2)(ab)(bc)(3)(ab)c解(1)ab21(3)(1)138ac21(3)(2)8(ab)c(ac)b8c8b8(cb)8[(i2j)(ij3k)]8j24k(2)ab3i4j4kbc2i3j3k(3)(ab)c81(5)(2)10210已知求OAB的面積解根據(jù)向量積的幾何意義表示以和為鄰邊的平行四邊形的面積于是OAB的面積為因為所以三角形OAB的面積為12試用向量證明不等式其中a1、a2、a3、b1、b2、b3為任意實數(shù)并指出等號成立的條件解設a(a1a2a3)b(b1b2b3)則有于是其中當1時即a與b平行是等號成立習題731一動點與兩定點(231)和(456)等距離求這動點的軌跡方程解設動點為M(xyz)依題意有(x2)2(y3)2(z1)2(x4)2(y5)2(z6)2即4x4y10z6302建立以點(132)為球心且通過坐標原點的球面方程解球的半徑球面方程為(x1)2(y3)2(z2)214即x2y2z22x6y4z03方程x2y2z22x4y2z0表示什么曲面?解由已知方程得(x22x1)(y24y4)(z22z1)141即所以此方程表示以(121)為球心以為半徑的球面4求與坐標原點O及點(234)的距離之比為12的點的全體所組成的曲面的方程它表示怎樣曲面？解設點(xyz)滿足題意依題意有化簡整理得它表示以為球心以為半徑的球面5將zOx坐標面上的拋物線z25x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的z換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程y2z25x6將zOx坐標面上的圓x2z29繞z軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的x換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程x2y2z297將xOy坐標面上的雙曲線4x29y236分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x29y29z236雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x24z29y2368畫出下列方程所表示的曲面(1)(2)(3)(4)y2z0(5)z2x29指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形(1)x2解在平面解析幾何中x2表示平行于y軸的一條直線在空間解析幾何中x2表示一張平行于yOz面的平面(2)yx1解在平面解析幾何中yx1表示一條斜率是1在y軸上的截距也是1的直線在空間解析幾何中，yx1表示一張平行于z軸的平面(3)x2y24解在平面解析幾何中x2y24表示中心在原點半徑是4的圓在空間解析幾何中x2y24表示母線平行于z軸準線為x2y24的圓柱面(4)x2y21解在平面解析幾何中x2y21表示雙曲線在空間解析幾何中x2y21表示母線平行于z軸的雙曲面10說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的(1)解這是xOy面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是zOx面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的(2)解這是xOy面上的雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是yOz面上的雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的(3)x2y2z21解這是xOy面上的雙曲線x2y21繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是zOx面上的雙曲線x2z21繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的(4)(za)2x2y2解這是zOx面上的曲線(za)2x2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是yOz面上的曲線(za)2y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的11畫出下列方程所表示的曲面(1)4x2y2z24(2)x2y24z24(3)習題741畫出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形(1)(2)(3)2指出下方程組在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形(1)解在平面解析幾何中表示直線y5x1與y2x3的交點在空間解析幾何中表示平面y5x1與y2x3的交線它表示過點并且行于z軸(2)解在平面解析幾何中表示橢圓與其切線y3的交點(03)在空間解析幾何中表示橢圓柱面與其切平面y3的交線3分別求母線平行于x軸及y軸而且通過曲線的柱面方程解把方程組中的x消去得方程3y2z216這就是母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程把方程組中的y消去得方程3x22z216這就是母線平行于y軸且通過曲線的柱面方程4求球面x2y2z29與平面xz1的交線在xOy面上的投影的方程解由xz1得z1x代入x2y2z29得方程2x22xy28這是母線平行于z軸準線為球面x2y2z29與平面xz1的交線的柱面方程于是所求的投影方程為5將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程(1)解將yx代入x2y2z29得2x2z29即令則z3sint故所求參數(shù)方程為z3sint(2)解將z0代入(x1)2y2(z1)24得(x1)2y23令則于是所求參數(shù)方程為z06求螺旋線在三個坐標面上的投影曲線的直角坐標方程解由前兩個方程得x2y2a2于是螺旋線在xOy面上的投影曲線的直角坐標方程為由第三個方程得代入第一個方程得即于是螺旋線在zOx面上的投影曲線的直角坐標方程為由第三個方程得代入第二個方程得即于是螺旋線在yOz面上的投影曲線的直角坐標方程為7求上半球與圓柱體x2y2ax(a>0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投影解圓柱體x2y2ax在xOy面上的投影為x2y2ax它含在半球在xOy面上的投影x2y2a2內(nèi)所以半球與圓柱體的公共部分在xOy面上的投影為x2y2ax為求半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影由圓柱面方程x2y2ax得y2axx2代入半球面方程得(0xa)于是半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影為(0xa)即z2axa20xaz08求旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2(0z4)在三坐標面上的投影解令z4得x2y24于是旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2(0z4)在xOy面上的投影為x2y24令x0得zy2于是旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2(0z4)在yOz面上的投影為y2z4令y0得zx2于是旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2(0z4)在zOx面上的投影為x2z4習題751求過點(301)且與平面3x7y5z120平行的平面方程解所求平面的法線向量為n(375)所求平面的方程為3(x3)7(y0)5(z1)0即3x7y5z402求過點M0(296)且與連接坐標原點及點M0的線段OM0垂直的平面方程解所求平面的法線向量為n(296)所求平面的方程為2(x2)9(y9)6(z6)0即2x9y6z12103求過(111)、(222)、(112)三點的平面方程解n1(112)(111)(023)n1(112)(222)(310)所求平面的法線向量為所求平面的方程為3(x1)9(y1)6(z1)0即x3y2z04指出下列各平面的特殊位置并畫出各平面(1)x0解x0是yOz平面(2)3y10解3y10是垂直于y軸的平面它通過y軸上的點(3)2x3y60解2x3y60是平行于z軸的平面它在x軸、y軸上的截距分別是3和2(4)解是通過z軸的平面它在xOy面上的投影的斜率為(5)yz1解yz1是平行于x軸的平面它在y軸、z軸上的截距均為1(6)x2z0解x2z0是通過y軸的平面(7)6x5z0解6x5z0是通過原點的平面5求平面2x2yz50與各坐標面的夾角的余弦解此平面的法線向量為n(221)此平面與yOz面的夾角的余弦為此平面與zOx面的夾角的余弦為此平面與xOy面的夾角的余弦為6一平面過點(101)且平行于向量a(211)和b(110)試求這平面方程解所求平面的法線向量可取為所求平面的方程為(x1)(y0)3(z1)0即xy3z407求三平面x3yz12xyz0x2y2z3的交點解解線性方程組得x1y1z3三個平面的交點的坐標為(113)8分別按下列條件求平面方程(1)平行于zOx面且經(jīng)過點(253)解所求平面的法線向量為j(010)于是所求的平面為0(x2)5(y5)0(z3)0即y5(2)通過z軸和點(312)解所求平面可設為AxBy0因為點(312)在此平面上所以3AB0將B3A代入所設方程得Ax3Ay0所以所求的平面的方程為x3y0(3)平行于x軸且經(jīng)過兩點(402)和(517)解所求平面的法線向量可設為n(0bc)因為點(402)和(517)都在所求平面上所以向量n1(517)(402)(119)與n是垂直的即b9c0b9c于是n(09cc)c(091)所求平面的方程為9(y0)(z2)0即9yz209求點(121)到平面x2y2z100的距離解點(121)到平面x2y2z100的距離為習題761求過點(413)且平行于直線的直線方程解所求直線的方向向量為s(215)所求的直線方程為2求過兩點M1(321)和M2(102)的直線方程解所求直線的方向向量為s(102)(321)(421)所求的直線方程為3用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線解平面xyz1和2xyz4的法線向量為n1(111)n2(211)所求直線的方向向量為在方程組中令y0得解得x3z2于是點(302)為所求直線上的點所求直線的對稱式方程為參數(shù)方程為x32tytz23t4求過點(203)且與直線垂直的平面方程解所求平面的法線向量n可取為已知直線的方向向量即所平面的方程為16(x2)14(y0)11(z3)0即16x14y11z6505求直線與直線的夾角的余弦解兩直線的方向向量分別為兩直線之間的夾角的余弦為6證明直線與直線平行解兩直線的方向向量分別為因為s23s1所以這兩個直線是平行的7求過點(024)且與兩平面x2z1和y3z2平行的直線方程解因為兩平面的法線向量n1(102)與n2(013)不平行所以兩平面相交于一直線此直線的方向向量可作為所求直線的方向向量s即所求直線的方程為8求過點(312)且通過直線的平面方程解所求平面的法線向量與直線的方向向量s1(521)垂直因為點(312)和(430)都在所求的平面上也是垂直的因此所求平面的法線向量可取為所求平面的方程為8(x3)9(y1)22(z2)0即8x9y22z5909求直線與平面xyz10的夾角解已知直線的方向向量為已知平面的法線向量為n(111)因為sn214(1)(2)(1)0所以sn從而直線與平面xyz10的夾角為010試確定下列各組中的直線和平面間的關系(1)和4x2y2z3解所給直線的方向向量為s(273)所給平面的法線向量為n(422)因為sn(2)4(7)(2)3(2)0所以sn從而所給直線與所給平面平行又因為直線上的點(340)不滿足平面方程4x2y2z3所以所給直線不在所給平面上(2)和3x2y7z8解所給直線的方向向量為s(327)所給平面的法線向量為n(327)因為sn所以所給直線與所給平面是垂直的(3)和xyz3解所給直線的方向向量為s(314)所給平面的法線向量為n(111)解已知直線的方向向量分別為所求平面的法線向量可取為所求平面的方程為(x1)(y2)(z1)0即xyz012求點(120)在平面x2yz10上的投影解平面的法線向量為n(121)過點(120)并且垂直于已知平面的直線方程為將此方程化為參數(shù)方程x1ty22tzt代入平面方程x2yz10中得(1t)2(22t)(t)10解得再將代入直線的參數(shù)方程得于是點(120)在平面x2yz10上的投影為點13求點P(312)到直線的距離解已知直線的方向向量為過點P且與已知直線垂直的平面的方程為3(y1)3(z2)0即yz10解線性方程組得x1點P(312)到直線的距離就是點P(312)與點間的距離即14設M0是直線L外一點M是直線L上任意一點且直線的方向向量為s試證點M0到直線L的距離解設點M0到直線L的距離為dL的方向向量根據(jù)向量積的幾何意義以和為鄰邊的平行四邊形的面積為又以和為鄰邊的平行四邊形的面積為因此15求直線在平面4xyz1上的投影直線的方程解過已知直線的平面束方程為(23)x(4)y(12)z90為在平面束中找出與已知平面垂直的平面令(411)(23412)0即4(23)(1)(4)1(12)0解之得將代入平面束方程中得17x31y37z1170故投影直線的方程為16畫出下列各曲面所圍成的立體圖形(1)x0y0z0x2y13x4y2z120(2)x0z0x1y2(3)z0z3xy0x2y21(在第一卦限內(nèi))(4)x0y0z0x2y2R2y2z2R2(在第一卦限內(nèi))總習題七1填空(1)設在坐標系[Oijk]中點A和點M的坐標依次為(x0y0z0)和(xyz)則在[Aijk]坐標系中點M的坐標為___________向量的坐標為___________解M(xx0yy0zz0)提示自由向量與起點無關它在某一向量上的投影不會因起點的位置的不同而改變(2)設數(shù)1、2、3不全為0使1a2b3c0則a、b、c三個向量是__________的解共面(3)設a(212)b(4110)cba且ac則____________解3提示因為ac所以ac0又因為由acabaa241(1)210(221222)279所以3(4)設a、b、c都是單位向量且滿足abc0則abbcca____________解提示因為abc0所以(abc)(abc)0即aabbcc2ab2ac2ca0于是(5)設|a|3|b|4|c|5且滿足abc0則|abbcca|____________解36提示c(ab)abbccaabb(ab)(ab)aabbaba3ab|abbcca|3|ab|3|a||b|334362在y軸上求與點A(137)和點B(575)等距離的點解設所求點為M(0y0)則有12(y3)27252(y7)2(5)2即(y3)2(y7)2解得y2所求的點為M(020)3已知ABC的頂點為A(3,2,1)、B(5,4,7)和C(1,1,2)求從頂點C所引中線的長度解線段AB的中點的坐標為所求中線的長度為4設ABC的三邊、、三邊中點依次為D、E、F試用向量a、b、c表示、、并證明解5試用向量證明三角形兩邊中點的連線平行于第三邊且其長度等于第三邊長度的一半證明設DE分別為ABAC的中點則有所以從而DE//BC且6設|ab||ab|a(358)b(11z)求z解ab(248z)ab(468z)因為|ab||ab|所以解得z17設|b|1求向量ab與ab的夾角解|ab|2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a||b|cos(a^b)|ab|2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a||b|cos(a^b)設向量ab與ab的夾角為則8設a3b7a5ba4b7a2b求解因為a3b7a5ba4b7a2b所以(a3b)(7a5b)0(a4b)(7a2b)0即7|a|216ab15|b|207|a|230ab8|b|20又以上兩式可得于是9設a(212)b(11z)問z為何值時最??？并求出此最小值解因為當時為單調(diào)減函數(shù)求的最小值也就是求的最大值令得z4當z4時所以10設|a|4|b|3求以a2b和a3b為邊的平行四邊形的面積解(a2b)(a3b)3ab2ba5ba以a2b和a3b為邊的平行四邊形的面積為11設a(231)b(123)c(212)向量r滿足rarbPrjcr14求r解設r(xyz)因為rarb所以ra0rb0即2x3yz0x2y3z0又因為Prjcr14所以即2xy2z42解線性方程組得x14y10z2所以r(14102)另解因為rarb所以r與平行故可設r(751)又因為Prjcr14所以rc42即(725112)422所以r(14102)12設a(132)b(234)c(3126)證明三向量a、b、c共面并用a和b表示c證明向量a、b、c共面的充要條件是(ab)c0因為(ab)c(6)(3)012(3)60所以向量a、b、c共面設cab則有(23324)(3126)即有方程組解之得51所以c5ab13已知動點M(x,y,z)到xOy平面的距離與點M到點(1,1,2)的距離相等求點M的軌跡方程解根據(jù)題意有或z2(x1)2(y1)2(z2)2化簡得(x1)2(y1)24(z1)這就是點M的軌跡方程14指出下列旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線和旋轉(zhuǎn)軸(1)z2(x2y2)解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為zOx面上的曲線z2x2旋轉(zhuǎn)軸為z軸(2)