2023-2024學(xué)年湖北省黃岡市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年湖北省黃岡市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知直線/：(“+l)x-3ay+“+4=0與V軸垂直，則。為()

A.-1B.0C.-4D.-1或0

【正確答案】A

【分析】由直線與V軸垂直得到方程和不等式，求出。的值.

【詳解】因?yàn)?：(a+l)x-3砂+。+4=0與y軸垂直，

所以直線/的斜率為0,

所以a+1=0,且—3a二0,解得a=—1.

故選：A.

2.已知等比數(shù)列｛對(duì)｝的前"項(xiàng)和為，，$2=4,且邑=4%+q，則S$=()

A.40B.120C.121D.363

【正確答案】C

【分析】由題目條件求出公比和首項(xiàng)，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.

【詳解】設(shè)公比為夕,由53=402+。1,可得4+%+%=4%+。1，

所以%=3%，所以4=2=3,

a2

由S2=4,可得％+/夕=4,即4%=4,所以4=1,

4(1-01-35

所以§5==121.

1-4

故選：C.

3.2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了李生素?cái)?shù)(注：素?cái)?shù)也叫做質(zhì)數(shù))猜想的一個(gè)弱化形式,

攣生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題之一，可以這樣描述：存在無(wú)窮多個(gè)素

數(shù)P使得P+2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)(p,p+2)稱為攣生素?cái)?shù).從10以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取兩個(gè)，其中能

構(gòu)成攣生素?cái)?shù)的概率為()

1112

A.6-B.3-2-D.3-

【正確答案】B

【分析】列舉出10以內(nèi)的素?cái)?shù)，以及任取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)構(gòu)成的數(shù)對(duì)，確定攣生素?cái)?shù)的個(gè)

數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】10以內(nèi)的素?cái)?shù)有2、3、5、7,

任取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)有（2,3）、（2,5）、（2,7）、（3,5）、（3,7）、（5,7）,共6個(gè)，

71

其中攣生素?cái)?shù)有（3,5）、（5,7）,共2個(gè)，故所求概率為尸

故選：B.

4.如圖，已知空間四邊形O/8C,M,N分別是邊OZ,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)G滿足話=2麗,

設(shè)總=不，礪=B，oc^c＜貝|J5S=（）

O

1111

一

1--一--

C力-D4hC

6-66-6-6-

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算一步步將向量加化為關(guān)于萬(wàn)，OB，0C，即可整理得出答

案.

【詳解】而=而+礪=上為礪=一方+4礪+方+麗）,

2323、）

=-04+-1-04+0^-04+]-BC\,

23（22）

=那+翡E+麗樂(lè)+厚一利,

1—1—1—

=一。4+—。8+—。。，

633

1-1-1-

=—。+—匕+—c.

633

故選：B.

5.已知/（TO）,8（1,0）,若直線＞y=%（x-2）上存在點(diǎn)P,使得乙4P8=90。，則實(shí)數(shù)上的

取值范圍為（）

「"PT

c13可

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意分析可得直線丁=%（》-2）與圓O：x2+/=i有公共點(diǎn)（公共點(diǎn)不能是A、

5）,結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析運(yùn)算.

【詳解】若乙4尸8=90。，則點(diǎn)P在以4（7,0）,8（1,0）為直徑的圓上（點(diǎn)P不能是A、B）,

?.?以/（-1,0）,8（1,0）為直徑的圓的圓心為0（0,0）,半徑r=l,則圓。的方程為一+/=1,

即直線y=Mx-2）與圓。：》2+/=1有公共點(diǎn)（公共點(diǎn)不能是A、B）,

當(dāng)直線y=M*-2）與圓O：f+y2=i有公共點(diǎn)時(shí)，則4I解得h-y,y；

當(dāng)直線y=Mx-2）與圓。：/+/=1的公共點(diǎn)為4或8時(shí)，則直線y=Mx-2）即為x軸,

即左=0；

綜上所述：實(shí)數(shù)人的取值范圍為一與0ujo,中.

_7\.

故選：B.

6.已知P是雙曲線捺-￡=1（“>0,6>0）右支上一點(diǎn)，記P到雙曲線左焦點(diǎn)耳的距離為4,

p到雙曲線一條漸近線的距離為W，若4+4的最小值等于雙曲線的焦距長(zhǎng)，則雙曲線的漸

近線方程為（）

4,354

A.y=±—xB.y-±-xC.y=±-xD.y=±—x

3435

【正確答案】A

【分析】由雙曲線定義得到4=1尸用+2a,故4+4=1尸閭+4+2。,數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)點(diǎn)P

為線段入”與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)|PK|+W取得最小值，從而列出方程，求出4“=36,

得到漸近線方程.

【詳解】由雙曲線定義可知：歸用-|產(chǎn)目=2"，

故4=1*+2。,故4+4=附|+&+2。,

當(dāng)點(diǎn)P為線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)|尸乙|+出取得最小值,

最小值即為EM，

兩邊平方得：b2+4ab+4a2=4c2,

又/+/=。2,

所以4a=36,

b4

漸近線方程為》=±-x=士；x.

a3

故選：A

jr

7.已知在大小為§的二面角a一/-4中，Aea,/Cl/于點(diǎn)C,BD人I于點(diǎn)、D,

且。=O8=2/C=2,則直線48與CO所成角的余弦為（）

A亞B.mc.叵D.；

11772

【正確答案】B

【分析】以C。、80為鄰邊作平行四邊形C08E,連接/E,計(jì)算出/E、5E的長(zhǎng)，證明

出8E_L4E,利用勾股定理可求得力8的長(zhǎng)，即可求解

【詳解】如下圖所示，以CD、5。為鄰邊作平行四邊形C05E,連接4E,

因?yàn)?DJ.CD,CE//BD,則CE_LCZ),

又因?yàn)?CLC。，/Cua,CEu。,故二面角a-/-￡的平面角為44CE=；,

因?yàn)樗倪呅蜟D8E為平行四邊形，則CE=8O=2,BE=CD=2,

所以在/VICE中，AE2=AC2+CE2-2ACCEcosy,則/E=5

BE//CD,則8EJ_CE,BEA.AC,-：AC^CE=C,ZC,CEu平面/CE,

故8E_L平面/CE,

因?yàn)?Eu平面/CE,則BE_LRE,故=《AE?+BE。=".

vBEHCD,所以直線ZB與CD所成角相當(dāng)于直線48與5E所成角，即/Z8E,

所以cos/Z8E=4==空，

V77

故選：B

r2v2

8.已知橢圓0:]+方=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過(guò)馬的直線交橢圓于/,

_________科

8兩點(diǎn)，AF2=AF2B,且4耳/5=0,橢圓。的離心率為手，則實(shí)數(shù)4=()

A.|B.2C.-D.3

【正確答案】D

【分析】設(shè)|麗|叫所卜P>0),根據(jù)橢圓的定義求出|陽(yáng)=2"f,阿|=2"/利用

AF,，/5即可求解.

【詳解】因?yàn)橛?彳瓦瓦設(shè)R同叫冗耳=9>0),由橢圓的定義可得：|淚+|/周=2°,

則|"K|=2"f,因?yàn)樗?存=0,所以陽(yáng)_L4^,

所以6「+|/周2=|打工『，即(2°—)2+/=4°2,又因?yàn)闄E圓C的離心率為自，

所以〃=缶，則有(2a-r)2+*=4/=2/,

所以/=&,則4所卜叫貝川郎=:，

由忸周+忸周=2%所以忸用=2”?，因?yàn)槲?正=0,所以“百上/巴，

A

所以M與「+網(wǎng)2=忸耳|2,即〃2+2+；)2

a(1=(2a--)2,解得：4=3,

A

故選.D

二、多選題

9.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件4="第一次出現(xiàn)3點(diǎn)”，

8="第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，C="兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)“，力="兩次點(diǎn)數(shù)之和為10”,則

下列說(shuō)法正確的有()

A.4與8不互斥且相互獨(dú)立B.4與。互斥且不相互獨(dú)立

C.8與C不互斥且相互獨(dú)立D.8與?；コ馇也幌嗷オ?dú)立

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)給定條件，求出事件4,B,C,。的概率，再利用互斥事件、相互獨(dú)立事件

的定義判斷作答.

【詳解】連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次的試驗(yàn)結(jié)果有：(1,果(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36個(gè)不同結(jié)果，

事件4所含的結(jié)果有:(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),共6個(gè)，

事件8所含的結(jié)果有24個(gè)，事件C所含的結(jié)果有18個(gè)，事件。所含的結(jié)果有：

(4,6),(5,5),(6,4),共3個(gè)，

因此P⑷=裊如⑻=普=|?，尸(C)=詈=白尸(0=Z,

3oOJo3362Jo12

對(duì)于A,事件4與8都含有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共4個(gè)結(jié)果，即事件/與8可以同時(shí)發(fā)

生，

41

而打/㈤二0二彳二口⑷尸出)，/與8不互斥且相互獨(dú)立，A正確；

369

對(duì)于B,事件4與。不能同時(shí)發(fā)生，P(AD)=0^P(A)P(D),/與?；コ馇也幌嗷オ?dú)立，B

正確；

對(duì)于C,事件8與C都含有(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3),

共12個(gè)結(jié)果，

121

即事件8與C可以同時(shí)發(fā)生，P(BC)=-=-=P(B)P(C),8與C不互斥且相互獨(dú)立，C

363

正確;

121

對(duì)于D,事件8與。都含有(6,4),即8與?？梢酝瑫r(shí)發(fā)生，P(BD)=-^-x—=P(B)P(D),

36312

因此8與。不互斥且不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤.

故選：ABC

10.已知等差數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)和為S,,且56<幾<<，4,=---,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)

anan+\an+2

和為兀則下列說(shuō)法正確的有()

A.%<0，%>0B.當(dāng)且僅當(dāng)"=9時(shí)，5“取得最小值

C.當(dāng)S“<0時(shí)，〃的最大值為17D.當(dāng)且僅當(dāng)"=8時(shí)，7；取得最大值

【正確答案】ABD

【分析】由S6<，3<S5結(jié)合等差數(shù)列的角標(biāo)性質(zhì)判斷ABC；由裂項(xiàng)相消求和法判斷D.

【詳解】對(duì)于A：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,因?yàn)镾6<S”<Ss，所以S$-$5=4<。，

因?yàn)镾I3-&=%+%+a9+aio+aU+《2+ai3=>0，所以《0>0.

因?yàn)镾|3_Ss=43+42+41+40+%+〃8改7乜=4(?0也)<°，所以％<)+為<0.

由Ko〉。，al0+a9<0'nJ^a9<0,(/>0,因?yàn)間=。9-〃<0，所以仇=------>。，故A正

。8a9%o

確；

對(duì)于B：因?yàn)榈?lt;0,d>0,a,0>0,所以當(dāng)且僅當(dāng)”=9時(shí)?，S,,取得最小值，故B正確；

對(duì)于C：臬<0,即當(dāng)號(hào)<0時(shí)，〃的最大值不是17,故C錯(cuò)誤;

樂(lè)見(jiàn)+口“+22d(a“q向a,l+la?+2J

因?yàn)閐>0,所以當(dāng)一--最小時(shí)，最大.

當(dāng)〃=8時(shí)，出<0,?,0>0,止匕時(shí)一--最小，即當(dāng)"=8時(shí)，。取得最大值，故D正確；

an+\an+2

故選：ABD

11.如圖，直四棱柱N8CD-43CQ的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，CC1=f,點(diǎn)。是棱CG的

中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面/5CO內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包括邊界)，則下列說(shuō)法正確的有()

A.存在點(diǎn)P使得4P〃平面8CGA

B.當(dāng)f=2時(shí)，存在點(diǎn)P使得直線4尸與平面/8CZ）所成的角為自JT

6

c.當(dāng)，=2時(shí)，滿足4尸，尸。的點(diǎn)P有且僅有兩個(gè)

D.當(dāng)/=氈時(shí)，滿足4尸，P。的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為邁

39

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)直棱柱的性質(zhì)及面面平行的性質(zhì)判斷A,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量

判斷B、C、D.

【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-肛z,則4（2,0/）,gl0,2,-I,￡＞（0,0,0）,8（2,2,0）,

對(duì)于A：由直棱柱的性質(zhì)可知平面4。。/〃平面當(dāng)時(shí)4P〃平面BCG%

故A正確;

對(duì)于B：當(dāng)f=2時(shí)，設(shè)尸(x,y,0),x,y&[0,2],則福=(x-2,%-2),

顯然平面/8CZ）的法向量可以為〃=（0,0,1）,

\A,P-n\

設(shè)直線4P與平面/8C。所成的角為0,則sin。=標(biāo)謂［=1==2

廣+/+4

21

若直線4P與平面N8C。所成的角為聿，則s'°=了不號(hào)::=5,即

^(x-2)-+y2+4=4,

所以(X-2)“2=12,因?yàn)閤,yw[0,2],所以(x-Z7.0,4],/e[0,4],

所以(x-2)2+Ve[o,8],故不存在x/e[0,2]使得(X-2)2+J?=12,

JT

即不存在點(diǎn)P使得直線4P與平面力88所成的角為￡,故B錯(cuò)誤;

6

對(duì)于C：由芾=(x-2,y,-2),PQ=(-x,2-y,1),

因?yàn)?P_LP。，所以羽?而=T(X-2)+M2-9-2=0,

，工一1

所以（x-iy+（y-i）2=o,所以f二]，即「a1,。），所以滿足4P，尸。的點(diǎn)尸有且僅有1個(gè),

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，42,0,2^,4P=PQ=f2-乃孚），

因?yàn)?尸J-PQ,所以4戶.PQ=-x（x-2）+y（2-j）-28x^-=0，即（》-1）~+（3一1）2=：,

333

由

又x/e[0,2],則圓心E（l,l）,半徑為2叵的圓與x軸、y軸分別交于點(diǎn)、

3I，，

過(guò)點(diǎn)E作E產(chǎn)工ZZ）交/。于點(diǎn)尸，則心=@,所以sin/ME尸=如=,，則/旌/=二,

3ME26

7T

又4DEF=一，

4

7T71

所以N.MED=NDEF—NMEF=—,所以NMEN=2NMED=-,

126

圓弧MN的長(zhǎng)度/=巴、2叵=叵，所以點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為迫，故D正確；

6399

12.已知拋物線/=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線/與拋物線交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)7（2,0）,直

線17,87與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C,。，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.直線C。過(guò)定點(diǎn)（3,0）

B.與△C7。的面積之比為1:4

C.若直線CD斜率都存在，且分別為尢，k2,則

KI乙

D.7尸與△C77）的面積之和的最小值為4后

【正確答案】BCD

【分析】可通過(guò)特殊情況，直線/斜率不存在時(shí)求得直線不過(guò)定點(diǎn)（3,0）,排除A,也可

以通過(guò)設(shè)出/C,8。,工3的方程與拋物線方程聯(lián)立，求得4鳳C,?？v坐標(biāo)關(guān)系，兩點(diǎn)式寫(xiě)出

CO方程，化簡(jiǎn)整理可得方程過(guò)定點(diǎn)（4,0）,用4B,C,O縱坐標(biāo)表示兩個(gè)三角形面積之比，

直線CO斜率化簡(jiǎn)可判斷B,C正確，△4TF與△C7D的面積之和用48,C,?？v坐標(biāo)

表示，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得最小值.

【詳解】當(dāng)/與x垂直時(shí)，1（1,2）,8（1,-2）,又?.?7（2,0）,

AT:y=-2x+4,BT：y=2x-4,

[y=-2x+4

/T與拋物線方程聯(lián)立2,，得C（4,-4）,

[y=4x

fy=2x-4

87與拋物線方程聯(lián)立1,，得。（4,4）,

[y=4x

:.CD,x=4,不過(guò)定點(diǎn)（3,0）,所以A錯(cuò)誤.

如圖:

設(shè)4（國(guó),乂）,3（程巧網(wǎng)工3，%）。（工4，%），CD交X軸于E,

|x=/y+2、

設(shè)4C：x=ty+2,zJ2_4X，得歹—4卬_8=0,

則JM=一8,乂=—,

%

[x=my+2,,

設(shè)8。：x=w+2,「.jy2―彳工，得y—4次y-8=0,

c-8

則歹2居=-8,歹2=一

x=肛+16

設(shè)：

IBx=ny+1,.,.y2=4x'得y-4^-4=0,

則乂力=-4,必=」，

%

-8-864

?*-y]y2=(—)(—)=—=—4,%居=-16,

必居為筋

x-x4=(%-%)(x-X4)=4(X-X4)

直線—一；(義_用)一%+居

4（4-4）?y=4卜-乙）+居優(yōu)+兒）_4kf%一力+筋2

%+乂4%+幾為+乂

4(X-X4)-16+4X4_4x-16_4(x-4)

%+乂8+居%+乂

所以直線CD過(guò)定點(diǎn)（4,0）

88

m上2?口(Z-!)，!-8(%一%).]

S_--為------M-------=%乂=-----4--=---4-?zz—1

飛DTCg(y4-%>TE仇-九>2-----d-%>294-164

所以B正確.

g八一

xx

h=匕_*3=y4-y32-i=%-%4、--

k\%X4-X3y2fy2-yt

x,一再4

—8—8

---1---

%+X乂%=8=，,

乂+%”+%%.%2

所以C正確.

+S

SATFCTD=gxlx必+^-x2x(y4-%)

,1-8-16-20

=；+居一%=]X—+----8=-----%,

22%乃乃

-20)(-%)=4石,

乃<0,..SATF+SDD=%22

必

所以D正確.

故選：BCD

三、填空題

13.｛。,&c｝是空間向量的一組基底，OA^2a+mb+c>OB=a+2b>OC=a+b+c>已知

點(diǎn)。在平面/8C內(nèi)，則機(jī)=.

【正確答案】3

【分析】根據(jù)空間向量共面定理可得存在4與〃使得無(wú)=工而+〃礪,從而可求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)O在平面N8C內(nèi)，所以HLOB,反共面，

所以存在2與〃使得反=2萬(wàn)+〃礪，

即a+b+c=A^2a+mb+cj+〃(a+20=(2A+JLI)Am+2/^b+A),

22+〃=12=1

所以，力%+2〃=1,解得，〃=T.

2=1加=3

故加=3.

故答案為:3.

14.已知圓。被直線/所截得的兩段圓弧的弧長(zhǎng)之比為1:2,且圓。上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到

直線/的距離為1,則直線/被圓。所截得的弦長(zhǎng)為

【正確答案】2石

【分析】設(shè)圓c的半徑為「，作出圖形，計(jì)算出圓心c到直線/的距離為為;，根據(jù)題意可

得出關(guān)于，?的等式，解出，?的值，利用勾股定理可求得直線/被圓C所截得的弦長(zhǎng).

【詳解】設(shè)圓。的半徑為「，因?yàn)閳AC被直線/所截得的兩段圓弧的弧長(zhǎng)之比為1:2,

則劣弧所對(duì)的圓心角為120',所以，圓心C到直線/的距離為d=rcos也=2,

22

將直線/平移，使得平移后的直線與直線/之間的距離為1,如下圖所示:

假設(shè)平移后的直線為4、i2,則這兩條直線一條與圓c相切，一條與圓c相交，

不妨設(shè)直線4與圓c相切，則直線/與4之間的距離為一1=1,可得廠=2,

所以，直線/截圓C所得弦長(zhǎng)為2卜?=28

故答案為.26

15.已知￡,匕分別為橢圓［+4=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)，焦距為8,過(guò)耳的直線與

ab~

1Q

該橢圓交于陽(yáng)，N兩點(diǎn),若|MN|的最小值為］,則居"N周長(zhǎng)為.

【正確答案】20

1Q

【分析】根據(jù)焦距為8,|MN|的最小值為了可得：。=4,a=5,結(jié)合橢圓的定義進(jìn)而求解.

'2c=8

L2io

【詳解】由題意可知：一=?,解得：c=4,。=5,

a5

a2^b2+c2

由橢圓的定義可得：巴仰周長(zhǎng)為4“=20,

故答案為.20

16.已知｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，勺,+(T)竽氏=",S'。：600,則可+出=.

【正確答案】-12

【分析】根據(jù)題意令〃=4R+3,%eN和"=4%+4,%eN,代入整理可得

。軟+6+%*+5+4x+%川=81+7.利用并項(xiàng)求和結(jié)合等差數(shù)列求和運(yùn)算求解.

【詳解】當(dāng)〃=4%+3,%eN時(shí)，則當(dāng)辿=(4無(wú)+3乂2左+2)為偶數(shù)，

1————^=(24+2)(4左+5)為偶數(shù)，

—pze〃5+1)(〃+1)(〃+2)

2

可倚4+2+(-1)?！?%h5+4〃+3=4%+3,an+3+(-1)2an+]=a4M+a4M=4k+4^

兩式相加可得：。4人6+。必+5+。必+4+。4撲3=84+7,

故

S50=a\+°2+…+。50=(q+。2)+(〃3+4+〃5+6)+(%+〃8+〃9+〃10)+…+(%7+。48+。49+為0)

/\/\12(7+95)/、

=(67,+a2)+74-15+...+95=(a,+%)+~----=+a2)+612=600,

a

解得\+〃2=-12.

故答案為?-12

方法點(diǎn)睛：本題中出現(xiàn)(—1)竽，故應(yīng)討論當(dāng)由的奇偶性，根據(jù)題意把相鄰的四項(xiàng)合并

為一項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，再進(jìn)行求和運(yùn)算，同時(shí)注意對(duì)％+%的處理.

四、解答題

17.某公司招聘考試分筆試與面試兩部分進(jìn)行，每部分成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分

成績(jī)都合格者則被公司錄取.甲、乙、丙三人在筆試部分合格的概率分別為二4，彳2，;3，在

534

1?3

面試部分合格的概率分別為pP所有考試是否合格相互之間沒(méi)有影響.

(1)假設(shè)甲、乙、丙三人都同時(shí)參加了筆試和面試，誰(shuí)被錄取的可能性最大？

(2)當(dāng)甲、乙、丙三人都參加了筆試和面試之后，不考慮其它因素，求三人中至少有一人被

錄取的概率.

【正確答案】(1)丙

【分析】（1）記甲、乙、丙三人被錄取分別為事件/,B,C,且4,B,C相互獨(dú)立，甲、

乙、丙三人被錄取即三人即通過(guò)筆試部分又通過(guò)面試部分，由獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算

得出P（/）,P⑻,P（C）,比較概率的大小即可得出答案；

（2）記三人中至少有一人被錄取為事件。，則。與7n豆ne互為對(duì)立事件，從而根據(jù)對(duì)立

事件的計(jì)算公式與獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算得出答案.

【詳解】（1）記甲、乙、丙三人被錄取分別為事件B,C,則4B,C相互獨(dú)立，

?.?P(J)<P(5)<P(C),

，丙被錄取的可能性最大.

（2）記三人中至少有一人被錄取為事件。,

則。與7n5n6互為對(duì)立事件,

49

P(D)=i-p(^nBnc)==i-

60,

18.已知直線4：（2"2）x-y-2a=0,l2Ax-ay+a-\=Q,且乙〃以

⑴求4與4之間的距離；

（2）一束光線從62,3）出發(fā)經(jīng)人反射后平行于x軸射出，求入射光線所在的直線方程.

【正確答案】（1）祗

(2)4x+3y-17=0

【分析】（1）由平行條件得出。的值，再由距離公式求解；

（2）由尸（2,3）關(guān)于4的對(duì)稱點(diǎn)P1x。,外）得出反射光線的方程，并與直線4聯(lián)立得出入射點(diǎn),

進(jìn)而由兩點(diǎn)式寫(xiě)出方程.

【詳解】（1）由］〃，2可得:（2?-2）（-?）-（-1）-4=0,解得：。=2或-1

—

當(dāng)Q=-1時(shí)，—y+2=0,/2:4x+y—2=0,此時(shí)乙與4重合，舍去

當(dāng)a=2時(shí)，4：2x-y-4=0,/2:4x-2j^+1=0,此時(shí)/[〃如符合題意

_卜8-1|975

故4與4之間的距離為"

心+(-2『1F-

（2）設(shè)＞（2,3）關(guān)于4的對(duì)稱點(diǎn)為尸'（如”）,則

29

2x-y-4=0x=一

10

聯(lián)立9，解得：,，，入射點(diǎn)為

9

7=?

故入射光線所在的直線方程為匕1=^—

即4x+3y-17=0.

x-2絲_2

10

19.已知數(shù)列｛““｝的前〃項(xiàng)和為S“，且q=l,a2=|,數(shù)列｛4〃S,,+（2"+3”“｝是等差數(shù)列.

（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列：

（2）求E,.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

八、96〃+9n丫

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式整理可得5,=-與±%+g,由。,與s”的

4n4

關(guān)系整理得%=2?七■（"NZ）,根據(jù)等比數(shù)列的定義分析理解；

n3n-\

（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得見(jiàn)=言，法一：根據(jù)題意直接代入運(yùn)算；法二：利用錯(cuò)

位相減法求和：法三：整理可得%=歲+0[]〃+1川（『，利用裂項(xiàng)相消法

求和.

【詳解】（1）對(duì)于等差數(shù)列｛4〃邑+（2〃+3）對(duì)｝可得：

當(dāng)〃=1時(shí)，貝ij4百+5q=9；當(dāng)〃=2時(shí)，貝ij8s2+7。2=8。]+15%=18；

{4〃S.+（2〃+3”,}是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列,

貝ij4〃S〃+(2〃+3”〃=9+9(〃-1)=9〃，即S〃=一^^4+】①,

4〃4

2〃+19G

當(dāng)〃22時(shí)，加-----十:②，

4〃一44

2〃+32〃+1

①-②得：a“=—F%+n%

整理得：合;?若（〃溝，且卜山

是以;=1為首項(xiàng)，（為公比的等比數(shù)歹I.

（2）方法一：由（1）可知，?=卜（；），則4=擊

.02〃+392"+3〃992"+311Y-'

方法二：由（1）可知，%=1（1],則4=總

n⑶3

氐=11￡|+2.1)+3也+…/一嗚)+〃gj②,

①一②得:

3

方法三：由（1）可知，^=i-f-T1,則?！?磊，

n⑶3

設(shè)%=（'+呢）一兇〃+1）+喘）=臣〃+|?吟嗯）=叫

」

-A=34

a2

比較系數(shù)得:，解得:

-B--A=O

.334

調(diào)2俁+

96n+9pY

4--4~[3}

20.在如圖所示的多面體/8CDEF中，四邊形4BC。為菱形，在梯形N8EF中，AF//BE,

AFVAB,AB=BE=2AF=2,平面N5EFJ_平面Z8CD.

（1）證明：8。_1_平面/3；

（2）若直線DA與平面ACF所成的角為60°,求平面ACF與平面CEF所成角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）當(dāng)

4

【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，從而得到結(jié)合得到線面垂

直；

（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，得到直線D4與平面ZCF所成的角為ND40,故ND4O=60。，

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解兩平面夾角的余弦值.

【詳解】（1）證明：?.?平面NBEF_L平面/8CZ）,AF1AB,4Fu平面43EF,平面/BEFc

平面ABCD=AB,

/尸平面ABCD,又8。u平面ABCD,

二AFA.BD,

?.?四邊形N8CD為菱形,

BDLAC,

又n尸n/c=/,//,/。＜=平面力。9，

二8。_1平面/。下；

（2）設(shè)4Cn8O=O,由（1）可知，OOL平面/C尸，則直線在面/C尸內(nèi)的射影為。4,

故直線DA與平面ACF所成的角為ND/O,

二ZDAO=6Q0,

/C。和△4CB均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

以。為原點(diǎn)，OC,OB為x,N軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：

由平面ZCF,可得平面/CF的法向量為1=（0,1,0）,而“1,0,0）,F（-l,0,l）,

￡（0,73,2）,

ACF=（-2,0,1）,醞=（-1,百,2）,

uin^-CF=-2x+z=0

設(shè)平面CE尸的法向量〃2=（3,z）,貝叫二一廠，

一'n2-CE=-x+y/3y+^=0

取x=l,可得z=2,y=-VJ,故“2=（1'-6’2）,

平面ACF與平面CEF夾角的余弦值為卜os/，.一閩,=￡.

1

、/I|?l|-|n2|1J1+3+44

21.侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一

個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上.設(shè)外圍第一個(gè)

正方形的面積為q=l,往里第二個(gè)正方形4JGA的面積為《，…，往里第〃個(gè)

正方形48,C2的面積為明.

⑴求｛“,｝的通項(xiàng)公式；

（2）已知他,｝滿足4+殳+…+%=2/-M〃eN*）,問(wèn)他,｝是否存在最大項(xiàng)?若存在，求出最

a\a2an

大項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】⑴（weN,）

25

（2）存在，b2=b3=—

由圖形可得（向;丫=（；向，+（|阮）即％」=京”，則｛叫為等比數(shù)列,

【分析】（1）

結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；

（2）當(dāng)〃22時(shí)，豆+—+…+上=2（"-1）2結(jié)合題設(shè)條件可得%=4〃-3,從

%a2a?-i%

而得出"，然后利用數(shù)列的單調(diào)性求出結(jié)果.

【詳解】（1）由圖形可得：（苑二）2=（；?:+^向］,即。向=￡?！?/p>

???｛%｝是以1為首項(xiàng)，焉為公比的等比數(shù)列

5

9

Ab%=2"2_〃①

(2)—+—2+???+

a】a2

b

當(dāng)〃=1時(shí)，-L=1,/.4=1

4

當(dāng)“22時(shí)，—+-^-+---+—=2(〃-1)2-(?T)②

一qa2%

b