北京中地學(xué)校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

北京中地學(xué)校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b2B.lga>lgbＣ.D.參考答案：解析：從認(rèn)知已知不等式入手：,其中a,b可異號(hào)或其中一個(gè)為0，由此否定A,B,C，應(yīng)選D2.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，PA=，那么二面角A﹣BD﹣P的大為（）A．30° B．45° C．60° D．75°參考答案：A【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【分析】由已知中PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，AG⊥BD于G，連接PG后，易根據(jù)三垂線定理得到∠PGA等于所求的二面角A﹣BD﹣P，解三角形PGA即可得到答案．【解答】解：在平面ABCD，作AG⊥BD于G∵PA⊥平面ABCD，則PA⊥BD，PA⊥AG，又AG⊥BD∴BD⊥平面PAG，則BD⊥PG所以∠PGA等于所求的二面角A﹣BD﹣P．因?yàn)閳D形ABCD是矩形，AD=4，AB=3，AG垂直BD，所以AG=在直角三角形PGA中，∠A=90°，PA=，AG=則tan∠PGA=÷=∴∠PGA=30°故選A3.過不共面的4個(gè)點(diǎn)的3個(gè)的平面共有幾個(gè)

（

）

A、0

B、3

C、4

D、無數(shù)個(gè)

參考答案：C略4.已知是直線，是平面，且，則“”是“”的(

)A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A5.拋物線的焦點(diǎn)為（

）（A）（0,1） （B）（1,0）

（C）

（D）參考答案：B6.用0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A．24個(gè) B．30個(gè) C．52個(gè) D．60個(gè)參考答案：C【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，按照個(gè)位數(shù)字的不同，分2種情況討論：①、個(gè)位數(shù)字為0，在1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，安排在十位、百位，由排列數(shù)公式可得其情況數(shù)目，②、個(gè)位數(shù)字為2或4，分析百位、十位數(shù)字的取法數(shù)目，由乘法原理可得此時(shí)的情況數(shù)目，進(jìn)而由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求組成三位偶數(shù)，其個(gè)位數(shù)字為0、2、4，則分2種情況討論：①、個(gè)位數(shù)字為0，在1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，安排在十位、百位，有A52=20種情況，②、個(gè)位數(shù)字為2或4，有2種情況，由于0不能在百位，百位數(shù)字在其余4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種情況，十位數(shù)字在剩下的4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種情況，則有2×4×4=32種情況，則有20+32=52種情況，即其中偶數(shù)有52個(gè)；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的應(yīng)用，需要注意特殊數(shù)位上的數(shù)，比如，最高位不能是0，偶數(shù)的個(gè)位必須是，0、2、4這些數(shù)，再根據(jù)乘法原理解答即可7.給出以下一個(gè)算法的程序框圖（如圖所示），該程序框圖的功能是(

)A.求輸出a,b,c三數(shù)的最大數(shù)B.求輸出a,b,c三數(shù)的最小數(shù)C.將a,b,c按從小到大排列

D.將a,b,c按從大到小排列參考答案：B略8.已知集合M={a|∈N+，且a∈Z}，則M等于(

)A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{﹣1，2，3，4}參考答案：D【考點(diǎn)】集合的表示法．【專題】集合．【分析】由已知，5﹣a應(yīng)該是6的正因數(shù)，所以5﹣a可能為1，2，3，6，又a∈Z，得到M．【解答】解：因?yàn)榧螹={a|∈N+，且a∈Z}，所以5﹣a可能為1，2，3，6，所以M={﹣1，2，3，4}；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合元素的屬性；注意元素的約束條件是解答的關(guān)鍵．9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是：（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.在等差數(shù)列{an}中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176參考答案：B考點(diǎn);等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題;計(jì)算題．分析;根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=運(yùn)算求得結(jié)果．解答;解：∵在等差數(shù)列{an}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故選B．點(diǎn)評(píng);本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的展開式中含的整數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為

（用數(shù)字作答）。參考答案：12.△ABC內(nèi)有任意三點(diǎn)都不共線的2014個(gè)點(diǎn)，加上A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)，共2017個(gè)點(diǎn)，把這2017個(gè)點(diǎn)連線形成互不重疊的小三角形，則一共可以形成小三角形的個(gè)數(shù)為

▲

．參考答案：4029

略13.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象如圖，令an=f（），則a1+a2+a3+…+a2014=

．參考答案：0【考點(diǎn)】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；8E：數(shù)列的求和．【分析】先根據(jù)圖象確定ω，φ的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式，然后分別寫出數(shù)列an的各項(xiàng)，注意到各項(xiàng)的取值周期為6，從而可求a1+a2+a3+…+a2014的值．【解答】解：由圖象可知，T=，解得T=π，故有．函數(shù)的圖象過點(diǎn)（，1）故有1=sin（2×+φ），｜φ｜＜，故可解得φ=，從而有f（x）=sin（2x+）．a(chǎn)1=sin（2×+）=1a2=sin（2×+）=a3=sin（2×+）=﹣a4=sin（2×+）=﹣1a5=sin（2×+）=﹣a6=sin（2×+）=a7=sin（2×+）=1a8=sin（2×+）=…觀察規(guī)律可知an的取值以6為周期，且有一個(gè)周期內(nèi)的和為0，且2014=6×335+4，所以有：a2014=sin（2×+）=﹣1．則a1+a2+a3+…+a2014=a2011+a2012+a2013+a2014=1+=0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式和數(shù)列的求和，其中找出各項(xiàng)的取值規(guī)律是關(guān)鍵，屬于中檔題．14.拋物線的離心率是

參考答案：１略15.在直角坐標(biāo)系x0y中，以0為原點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ﹣）=1，M、N分別為C與x軸、y軸的交點(diǎn)．MN的中點(diǎn)為P，則直線OP的極坐標(biāo)方程為

．參考答案：θ=，ρ∈（﹣∞，+∞）【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】本題先根據(jù)曲線C的方程求出曲線C與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到直線OP的極坐標(biāo)方程．【解答】解：∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ﹣）=1，∴令θ=0，ρcos（﹣）=1，ρ=2，M點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，0）；令θ=，ρcos（﹣）=1，ρ=，N點(diǎn)的極坐標(biāo)為（，）．∵，∴點(diǎn)M、N的直角坐標(biāo)分別為（2，0），（0，）．∴MN的中點(diǎn)P的三角坐標(biāo)為P（1，）．∴直線OP的斜率為，．∴直線OP的極坐標(biāo)方程為．故答案為：．16.若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.參考答案：略17.設(shè)，，且，則的最小值為__________．參考答案：18當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極小值；

（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間.參考答案：（1）∵

∴

2分所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，

5分∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值

6分（2）由或

9分∴函數(shù)的遞增區(qū)間是，

10分.19.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于任意n∈N*，都有2+＜＜2+成立，且a2=4．（1）求a1，a3的值；（2）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并給出證明．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法．專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析：（1）直接利用已知條件，通過n=1，直接求a1，n=2，求解a3的值；（2）通過數(shù)列的前3項(xiàng)，猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明猜想即可．解答： 解：（1）因?yàn)?，a2=4當(dāng)n=1時(shí)，由，即有，解得．因?yàn)閍1為正整數(shù)，故a1=1．

…當(dāng)n=2時(shí)，由，解得8＜a3＜10，所以a3=9．

…（2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：…下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．1°當(dāng)n=1，2，3時(shí)，由（1）知均成立．…2°假設(shè)n=k（k≥3）成立，則，由條件得，所以，…所以

…因?yàn)閗≥3，，，又，所以．即n=k+1時(shí)，也成立．由1°，2°知，對(duì)任意n∈N*，．

…點(diǎn)評(píng)：本題考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．20.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線l的極坐標(biāo)方程為，曲線C的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）.（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，過M的直線與直線l平行，且與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，求a的值.參考答案：（1）直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為；（2）.【分析】（1）利用兩角和的余弦公式以及可將的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程；（2）求出直線的傾斜角為，可得出直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），并設(shè)點(diǎn)、的參數(shù)分別為、，將直線的參數(shù)方程與曲線普通方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由，代入韋達(dá)定理可求出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由，，得，即直線的直角坐標(biāo)方程為；因?yàn)橄ィ?，所以曲線的普通方程為；（2）因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，過的直線斜率為，可設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，將參數(shù)方程代入，得，則，.所以，解得.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)與普通方程的互化，同時(shí)也考查了直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用，求解時(shí)可將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21.（本小題滿分12分）已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是過的一條弦（、均在雙曲線的左支上）。（1）若的周長(zhǎng)為30，求.（2）若求的面積。參考答案：（1）由雙曲線定義知，故有

……4分周長(zhǎng)為,得.

……6分(2)在中，由余弦定理得

=

……9分,

……10分

……12分22.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)AP=1，AD=，三棱錐P﹣ABD的體積V=，求A到平面PBC的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連結(jié)EO，通過直線與平面平行的判定定理證明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通過AP=1，AD=，三棱