第7講 導數(shù)中的5種同構(gòu)函數(shù)問題 （解析版）-2024高考數(shù)學?？碱}型

第7講導數(shù)中的5種同構(gòu)函數(shù)問題【考點分析】考點一：常見的同構(gòu)函數(shù)圖像八大同構(gòu)函數(shù)分別是：，，，，，，，我們通過基本的求導來看看這六大同構(gòu)函數(shù)的圖像，再分析單調(diào)區(qū)間及極值，以及它們之間的本質(zhì)聯(lián)系．圖1圖2圖3圖4圖5圖6圖7圖8考點二：常見同構(gòu)方法（1）（2）（3）（4）【題型目錄】題型一：利用同構(gòu)解決不等式問題題型二：利用同構(gòu)求函數(shù)最值題型三：利用同構(gòu)解決函數(shù)的零點問題題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題題型五：利用同構(gòu)證明不等式【典例例題】題型一：利用同構(gòu)解決不等式問題【例1】（2022·河南·模擬預測（理））不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】結(jié)合不等式特點，構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，從而求出解集.【詳解】設，則，當時，；當時，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．原不等式可化為，即，結(jié)合，可得，所以原不等式的解集為．故選：B【例2】（2022·陜西寶雞·一模（理））已知，，則下列關(guān)系式不可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性可判斷AB；構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)判斷單調(diào)性可判斷CD.【詳解】對于，兩邊取對數(shù)得，即，構(gòu)造函數(shù)，，當時，，是單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，是單調(diào)遞減函數(shù)，若，則，即，故A正確；若，則，，故B正確；構(gòu)造函數(shù)，，，當時，，單調(diào)遞增，所以，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，，所以時，即，所以成立，不可能成立，故C正確D錯誤.故選：D.【點睛】思路點睛：雙變量的不等式的大小比較，應該根據(jù)不等式的特征合理構(gòu)建函數(shù)，并利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷不等式成立與否.【例3】（2022·陜西·長安一中高二期末（理））已知，且，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列選項中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及式子的結(jié)構(gòu)特征進行分析.【詳解】因為，所以，令，所以，對函數(shù)求導：，

由有：，由有：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因為，由有：，故A錯誤；因為，所以，由有：，故D錯誤；因為，所以，因為，所以，所以，故C正確；令有：=，當，.所以在單調(diào)遞增，當時，，即，又，所以，因為，所以，因為在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，故B錯誤.故選：C.【例4】（2022·江蘇蘇州·模擬預測）若x，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用可得，再利用同構(gòu)可判斷的大小關(guān)系，從而可得正確的選項.【詳解】設，則（不恒為零），故在上為增函數(shù)，故，所以，故在上恒成立，所以，但為上為增函數(shù)，故即，所以C成立，D錯誤.取，考慮的解，若，則，矛盾，故即，此時，故B錯誤.取，考慮，若，則，矛盾，故，此時，此時，故A錯誤，故選：C.【點睛】思路點睛：多元方程隱含的不等式關(guān)系，往往需要把方程放縮為不等式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷，注意利用同構(gòu)來構(gòu)建新函數(shù).【例5】（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學模擬預測（理））已知、，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由可得出，構(gòu)造函數(shù)可得出，可得出，由可得出，構(gòu)造函數(shù)可得出，然后構(gòu)造函數(shù)可得出，再對所得等式進行變形后可得出合適的選項.【詳解】由可得，由題意可知，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，所以，，由可得，則，且，①由可得，則，由題意可知，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，即，可得，所以，，由可得，且，則，②令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由①②可得，所以，，可得，由可得，則，因為，則，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查指對同構(gòu)問題，需要對等式進行變形，根據(jù)等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造合適的函數(shù)，并利用函數(shù)的單調(diào)性得出相應的等式，進而求解.【題型專練】1.（2022·陜西·涇陽縣教育局教學研究室高二期中（理））已知，且滿足，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】解：因為在上單調(diào)增，，所以，故A、D錯誤；構(gòu)造函數(shù)，則，，當時，，單調(diào)增，當時，，單調(diào)減，因為，，即，又，所以，，，，所以，所以，，，即，所以，故B正確.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習（理））設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由于，所以構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其為減函數(shù)，從而可比較出，進而可比較出的大小，同理可比較出的大小，即可得答案【詳解】∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，∴在上單減，∴，∴∴.∴，同理可得，，故，故選：A3．（2022·廣東·中山市迪茵公學高二階段練習）已知，下列不等式，成立的一個是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】在時，構(gòu)造函數(shù)，探討它們的單調(diào)性即可分別判斷選項A，B，C，D作答.【詳解】因，則令，，，顯然函數(shù)在上遞減，在上遞增，即函數(shù)在上不單調(diào)，而，則不能比較與的大小，A不是；因，則令，，，顯然函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上不單調(diào)，而，則不能比較與的大小，B不是；因，則令，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，即，C不是；因，則令，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，即，D是.故選：D【點睛】思路點睛：某些涉及數(shù)或式大小關(guān)系問題，細心探求變量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.4．（2022·全國·高三專題）已知滿足，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】對兩邊取對數(shù)，得,再與相加整理得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】解：,兩邊取對數(shù)得：，又，兩式相加得：，即，令，故上式變?yōu)?，易知在上單調(diào)遞增，故，故，故選：A5.（2022·四川·廣安二中模擬預測（理））已知，且，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列選項中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造，，求導研究其單調(diào)性，判斷出D選項，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到AB選項，構(gòu)造差函數(shù)，得到，從而判斷出C選項.【詳解】構(gòu)造，，則恒成立，則，當時，，，當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因為，所以，，又，所以，D錯誤，因為，所以，，所以，所以，A錯誤，B正確.令，則，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當時，，即，因為，所以因為，所以，因為在在單調(diào)遞減，所以，即因為在上單調(diào)遞減，所以，C錯誤故選：B【點睛】結(jié)合題目特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，是比較大小很重要的方法，本題中構(gòu)造進行求解.6.（2022·福建·三明一中模擬預測）己知e為自然對數(shù)的底數(shù)，a，b均為大于1的實數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意化簡得到，設，得到，結(jié)合題意和函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由，可得，即，設，可得，因為，可得，又因為，所以，即，所以，當時，，可得函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即.故選：B.題型二：利用同構(gòu)求函數(shù)最值【例1】（2022·四川省通江中學高二期中（文））已知函數(shù)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求得的取值范圍，然后化簡，結(jié)合導數(shù)求得的取值范圍.【詳解】由于，即，所以，當時，遞增，所以有唯一解.當時，遞增，所以有唯一解.由得，所以.令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，所以的取值范圍為.故選：D【點睛】本題要求的取值范圍，主要的解題思路是轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的表達式，然后利用導數(shù)來求得取值范圍.在轉(zhuǎn)化的過程中，主要利用了對數(shù)、指數(shù)的運算.【例2】（2022·江西·臨川一中模擬預測（文））已知函數(shù)，，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】通過、解析式，的值求得關(guān)于的表達式，結(jié)合導數(shù)求得所求的最小值.【詳解】的定義域為，所以，..，，則，又因為，所以，令，則，，當時，，遞增，所以，則，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以的最小值為，即B選項正確.故選：B【點睛】含參數(shù)的多變量的題目，結(jié)合方法是建立變量、參數(shù)之間的關(guān)系式，主要方法是觀察法，根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)來進行求解.【例3】（2022·全國·高三專題練習（理））設大于1的兩個實數(shù)a，b滿足，則正整數(shù)n的最大值為（

）．A．7 B．9 C．11 D．12【答案】B【解析】【分析】將已知條件變形為，構(gòu)造兩個函數(shù)，對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可.【詳解】解：易知等價于．令，則．令得．當時；當時．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有最大值．令，則．當時不符合，舍去，所以．則，．當時；當時．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有最小值．若成立，只需，即，即．兩邊取自然對數(shù)可得．當時等式成立；當時有．令，本題即求的最大的正整數(shù)．恒成立，則在上單調(diào)遞減．因為，，，所以的最大正整數(shù)為9．故選：B．【題型專練】1.（2022·四川綿陽·高二期末（理））已知函數(shù)，，若，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先通過中間量找到的關(guān)系，然后反帶回去，將代求表達式表示成關(guān)于的函數(shù)來求解.【詳解】依題意得，，，于是，設，顯然在上單調(diào)，于是，根據(jù)單調(diào)性可知，故，于是，故，在令，，于是遞減，遞增，故，取得最小值.故選：A

2.（2022·全國·高二期末）已知函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知條件可推得，即有，結(jié)合目標式化簡可得，令，利用導函數(shù)研究其單調(diào)性并確定區(qū)間最小值，即為的最小值．【詳解】，所以，則．于是．所以．構(gòu)造函數(shù)，易知當時，單調(diào)遞增．所以，．于是，令，則．在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以，即．故選：A題型三：利用同構(gòu)解決函數(shù)的零點問題【例1】（2022·海南華僑中學模擬預測）已知函數(shù)（且）有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】解法一：令，得，進而得到．令，由其單調(diào)性得到，即，進而轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)法判斷；解法二：令，得，進而得到．令，由其單調(diào)性得到，即，然后利用導數(shù)的幾何意義求解判斷.【詳解】解法一：通過選項判斷可知，令，得，由，得，所以．令，則，且在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，令，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又時，，且，畫出大致圖像，可知，則．故選：A．解法二：通過選項判斷可知，令，得，由，得，所以．令，則，且在上單調(diào)遞增，所以，即，當直線與圖像相切時，設切點為，由，則有，故，則．又，即，則，∴．要使得直線與圖像有兩個交點，則，故選：A．【例2】（2022·全國·高三專題）已知函數(shù)有兩個零點，則a的最小整數(shù)值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】先將函數(shù)化為，令，進而只需說明在R上有兩個零點，然后對函數(shù)求導，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，最后通過放縮法解決問題.【詳解】，設，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易得，于是問題等價于函數(shù)在R上有兩個零點，，若，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多有1個零點，不合題意，舍去；若，則時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.因為函數(shù)在R上有兩個零點，所以，而，限定，記，，即在上單調(diào)遞增，于是，則時，，此時，因為，所以，于是時，.綜上：當時，有兩個交點，a的最小整數(shù)值為2.故選：C.【題型專練】1.（2021·全國·模擬預測）在數(shù)學中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應的方程稱為同構(gòu)方程，相應的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程（）可化為同構(gòu)方程，則________，________．【答案】

3

8【解析】【分析】兩個方程分別取自然對數(shù)，轉(zhuǎn)化后由同構(gòu)的定義求得，然后利用新函數(shù)的單調(diào)性得關(guān)系，從而求得的值．【詳解】對兩邊取自然對數(shù)得

①．對兩邊取自然對數(shù)得，即

②．因為方程①，②為兩個同構(gòu)方程，所以，解得．設（），則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個，所以，所以，故．故答案為：3；8．2.（2022·遼寧·大連市普蘭店區(qū)高級中學模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為(2)【解析】【分析】（1）求定義域，求導，由導函數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）同構(gòu)處理，為設函數(shù)，則，結(jié)合的單調(diào)性得到有兩個根，結(jié)合第一問中的結(jié)論，列出不等關(guān)系，求出a的取值范圍.(1)函數(shù)的定義域為，．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為．(2)要使函數(shù)有兩個零點，即有兩個實根，即有兩個實根．即．整理為，設函數(shù)，則上式為，因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以．所以只需使有兩個根，設．由（1）可知，函數(shù)）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為，故函數(shù)在處取得極大值，．當時，；當時，，要想有兩個根，只需，解得：．所以a的取值范圍是．題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題【例1】（2022·廣東廣州·三模）對于任意都有，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】，由導數(shù)的單調(diào)性求出，所以轉(zhuǎn)化為：任意恒成立，令，分類討論值，求出，即可求出答案.【詳解】，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以轉(zhuǎn)化為：，令，，①當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.②當時，您，所以，（i）當即時，，所以在上單調(diào)遞增，，所以.(ii)當即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，所以.綜上，的取值范圍為：.故選：B.【例2】（2022·全國·高三專題練習（文））已知e是自然對數(shù)的底數(shù).若，使，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先討論時，不等式成立；時，不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性得到，參變分離后構(gòu)造函數(shù)，求出最大值即可求解.【詳解】當時，，顯然成立，符合題意；當時，由，，可得，即，，令，，在上單增，又，故，即，即，，即使成立，令，則，當時，單增，當時，單減，故，故；綜上：.故選：B【點睛】本題關(guān)鍵點在于當時，將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，借助其單調(diào)性得到，再參變分離構(gòu)造函數(shù)，求出其最大值，即可求解.【例3】（2022·寧夏中衛(wèi)·三模（理））不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】將變?yōu)榧矗瑯?gòu)造新函數(shù)，利用其單調(diào)性得到，繼而求得答案.【詳解】當時，不等式在上恒成立不會成立，故，當時，，此時不等式恒成立；不等式在上恒成立,即在上恒成立,而即，設，當時，，故是增函數(shù)，則即，故，設，當時，，遞增，當時，，遞減，故，則，綜合以上，實數(shù)的取值范圍是，故選：B【點睛】本題考查了不等式的恒成立問題，解答時要注意導數(shù)的應用，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求最值等，解答的關(guān)鍵是對原不等式進行變形，并構(gòu)造新函數(shù),這一點解題的突破點.【例4】（2022·陜西渭南·二模（文））設實數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則λ的最小值為（

）A．e B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題設有，構(gòu)造并利用導數(shù)研究單調(diào)性即可得上恒成立，再構(gòu)造，并應用導數(shù)求最值，即可得λ的最小值.【詳解】由題設，，令，則在，所以單調(diào)遞增，又，即上，即恒成立，令，，則，所以，上，則遞增；上，則遞減；則，故.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)同構(gòu)形式結(jié)合導數(shù)研究的單調(diào)性，進而將問題轉(zhuǎn)化為上恒成立，再次構(gòu)造函數(shù)求最值，確定參數(shù)范圍.【例5】（2022·遼寧·高二期中）已知，若在上存在x使得不等式成立，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】【分析】先利用將不等式轉(zhuǎn)化為，借助單調(diào)性得到，參變分離后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性求出最小值即可.【詳解】∵，∴不等式即為：由且，∴，設，則，故在上是增函數(shù)，∴，即，即存在，使，∴，設，則；；∴在上遞減，在上遞增，∴，∴．故選：D.【例6】（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值即可【詳解】不等式對任意的實數(shù)恒成立令對任意的實數(shù)恒成立，，令令，解得當時，，函數(shù)單調(diào)遞增當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，所以實數(shù)的最大值為故選：B【題型專練】1.（2022·遼寧葫蘆島·高二期末）已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先不等式同構(gòu)變形為，引入函數(shù)，由導數(shù)確定單調(diào)性得，分離參數(shù)變形為，再引入函數(shù)，由導數(shù)求得其最小值，從而得的范圍，得最小值．【詳解】不等式可化為，即，，，則，，設，則，時，，是增函數(shù)，所以由得，，，所以時，恒成立．設，則，時，，遞減，時，，遞增，所以，所以，．所以的最小值是．故選：B．【點睛】難點點睛：本題考查用導數(shù)研究不等式恒成立問題，難點在于不等式的同構(gòu)變形，然后引入新函數(shù)，由新函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式，從而再由變量分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．2.（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先將不等式進行恒等變形，然后構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意可得：，，，令，易得在上單調(diào)遞增，，記，則,故當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，故，故只需故實數(shù)的取值范圍為．故選：A3.（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期末）若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】【分析】由得，令，利用的單調(diào)性可得，轉(zhuǎn)化為對任意時恒成立，令，利用導數(shù)求出的最值可得答案.【詳解】由得，令，因為都是單調(diào)遞增函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即對任意時恒成立，令，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，即.故選：A.4.（2022·湖北·高二期末）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先利用特值縮小實數(shù)a的范圍，再利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最小值，進而構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)判斷單調(diào)性，從而得到實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當時，，不滿足題意，舍去，所以．令，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，又，，則，所以存在唯一使得，即，則當時，，則，則單調(diào)遞減，當時，，則，則單調(diào)遞增，所以恒成立．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，所以．又因為，且在上單調(diào)遞減，所以．故選：A．5.（2023·河南·洛寧縣第一高級中學一模（理））對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】不等式可轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，構(gòu)造利用導數(shù)求出的最小值即可.【詳解】由，則，因為在上為增函數(shù)，所以，即對任意恒成立，設函數(shù)，則，由可得，由可得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，因為對任意的恒成立，所以，所以.故選：B．題型五：利用同構(gòu)證明不等式【例1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，且，若，求證：.【答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)證明見解析【解析】【分析】（1）對求導，注意到，研究的分子，最終求出的單調(diào)性；（2）先對同除以，變形為，再構(gòu)造差函數(shù)解決極值點偏移問題(1)，令，則，∴在單調(diào)遞增，注意到∴當時，，此時，單調(diào)遞減，當時，，此時，單調(diào)遞增∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)等價于，等式兩邊同除以得：，即由（1）知：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增∴，一正一負，不妨設構(gòu)造新函數(shù)，則∴令，則當時，顯然恒成立，所以又對恒成立，所以在時，，即單調(diào)遞減∵∴，即∵∴其中，，且在單調(diào)遞減∴，即【點睛】方法點睛：構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效【例2】（2022·海南中學高三階段練習）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值.（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大優(yōu)值，無極小值；（2）證明見解析.【解析】【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)和單調(diào)性，極值點的關(guān)系，即可求解；（2）首先由條件變形為，即，通過構(gòu)造函數(shù)，，轉(zhuǎn)化為極值點偏移問題，即可求解.【詳解】（1）解：的定義域為，.當時，；當時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.故在處取得極大值，且極大值為，無極小值.（2）證明：易知，，即，.不妨設，，.（1）可知，，當時，，當時，，設，，則，因為，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，又因為，，所以，即，故.【例3】（2022·河北·高三階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【解析】【分析】（1）直接求導確定的單調(diào)性即可；（2）令，先證，構(gòu)造函數(shù)，求導確定的單調(diào)性進而證得；再證，構(gòu)造函數(shù)，求導確定單調(diào)性進而證得.(1)，定義域為，由，解得，由，解得，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)∵a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，∴，即，由（1）可知，且，時，，則令，則為的兩根，且，不妨設，則，先證，即證，即證，令，即證在上，，則，在上單調(diào)遞增，即，∴在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，，∴，即可得；再證，即證，由（1）單調(diào)性可得證，令，，在上單調(diào)遞增，∴，且當，所以存在使得，即當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，又有，且，所以恒成立，∴，則，即可證得．【點睛】本題關(guān)鍵點在于先令，再將轉(zhuǎn)化為兩個極值點偏移問題，先構(gòu)造函數(shù)，求導確定在上，即可證明；再構(gòu)造函數(shù)，求導得恒成立，即可證得，即可證得.【例4】（2022·河南鄭州·二模（文））已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)當x>0時，證明：【答案】(1)極大值為，無極小值(2)證明見解析【解析】【分析】（1）首先確定定義域為求導可得，根據(jù)導數(shù)的應用，分和時，兩種情況討即可得解；（2）要證即證，令，求導利用隱零點問題的解決方法求得即可.(1)定義域為，則，時，，在單調(diào)遞增，時，，在單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值為，無極小值(2)證明等價證明（），即.令，令，則在上單調(diào)遞增，而，故在上存在唯一零點，且，時，，在上單調(diào)遞減；時，，在上單調(diào)遞增，故，又因為即，所以，從而，即【點睛】本題考查了導數(shù)的應用，導函數(shù)則原函數(shù)為增函數(shù)，原函數(shù)為減函數(shù)，同時考查了極值的概念.本題的關(guān)鍵點如下：（1）極值點在何處取得；（2）隱零點問題在求最值中的運用.【題型專練】1．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導函數(shù)的解析式，由導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當時，；當時；當時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設，則，從而，得，①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導數(shù)問題的常見方法，其中利用