七年級數(shù)學(xué)下冊第01課 相交線垂線（學(xué)生版）

第01課相交線，垂線目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對頂角概念，掌握對頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡單的計(jì)算.知識精講知識精講知識點(diǎn)01鄰補(bǔ)角與對頂角1．鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條，并且它們的另一邊互為，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．注意：(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了關(guān)系，又包含了關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為．(2)鄰補(bǔ)角是出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角．(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角．(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有；②有；另一邊互為.2.對頂角及性質(zhì)：（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有沒有(相對)的兩個(gè)角，互為對頂角．（2）性質(zhì)：對頂角．注意：(1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對頂角．(2)對頂角滿足的條件：①的兩個(gè)角；②有且一角的兩邊是另一角兩邊的.3.鄰補(bǔ)角與對頂角的關(guān)系角的名稱特征性質(zhì)相同點(diǎn)不同點(diǎn)對頂角①兩條直線相交形成的角；②有一個(gè)；③沒有.對頂角.①都是兩條直線相交而成的角；②都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③都是成對出現(xiàn)的.①有無公共邊；②兩直線相交時(shí)，對頂角只有2對；鄰補(bǔ)角有4對.鄰補(bǔ)角①兩條直線相交而成；②有一個(gè)；③有一條.鄰補(bǔ)角.注意：兩直線相交，一個(gè)角的對頂角有個(gè)，但一個(gè)角與它相等的角有個(gè)，鄰補(bǔ)角最多有個(gè)，而補(bǔ)角則可以有個(gè)；即對頂角和鄰補(bǔ)角，不僅包含數(shù)量關(guān)系，而且包含位置關(guān)系。知識點(diǎn)02垂線1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的，它們的交點(diǎn)叫．注意：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫法：過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是：①使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合；②沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)；③沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．注意：(1)如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．(2)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，最短．簡稱：．注意：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的，叫做點(diǎn)到直線的距離．注意：點(diǎn)到直線的距離是，是一個(gè)，不能說垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的．能力拓展能力拓展考法01概念辨析【典例1】判斷正誤：（1）如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對頂角（）（2）如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角（）（3）有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角（）（4）如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互補(bǔ)（）（5）有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角（）【即學(xué)即練】下列說法中正確的有_________________．①如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角．②如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對頂角．③有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角．④如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互為補(bǔ)角．⑤有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角．【典例2】點(diǎn)到直線的距離是指（）A．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段 B．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線，C．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長 D．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線的長【即學(xué)即練】有下列說法：①兩條直線相交成四個(gè)角，如果兩個(gè)角相等，那么這兩條直線垂直；②兩條直線相交成四個(gè)角，如果三個(gè)角相等，那么這兩條直線垂直；③在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與已知直線垂直；④直線外一點(diǎn)到這條的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離．其中正確的說法有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)考法02鄰補(bǔ)角與對頂角的應(yīng)用【典例3】如圖所示，直線和相交于點(diǎn)是一條射線．（1）寫出的鄰補(bǔ)角：__________________；（2）寫出的鄰補(bǔ)角：__________________；（3）寫出的鄰補(bǔ)角：__________________；（4）寫出的對頂角：___________________．【典例4】如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說出所量的角是____度，你的根據(jù)是____________．【即學(xué)即練】如圖，A、B、C為直線l上的點(diǎn)，D為直線l外一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為______．【即學(xué)即練】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＋∠BOC＝240°，則∠BOC的度數(shù)為__________°．【即學(xué)即練】如圖，過直線AB上一點(diǎn)O作射線OC、OD，并且OD是∠AOC的平分線，∠BOC=29°18′，則∠BOD的度數(shù)為___________．

考法03垂線的應(yīng)用【典例5】過點(diǎn)B畫線段AC所在直線的垂線段，其中正確的是（）A． B．C． D．【典例6】如圖，計(jì)劃把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足為B，然后沿AB開渠，則能使所開的渠最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是（）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．兩點(diǎn)之間，直線最短【即學(xué)即練】如圖所示，點(diǎn)P到直線l的距離是（）A．線段PA的長度 B．線段PB的長度 C．線段PC的長度 D．線段PD的長度【即學(xué)即練】點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，、、為直線上的三點(diǎn)，，，，則點(diǎn)到直線的距離（）A．小于 B．等于 C．不大于 D．等于【典例7】如圖，下列說法不正確的是（）A．點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB B．點(diǎn)C到AB的垂線段是線段ACC．線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段 D．線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段【即學(xué)即練】如圖，，，表示點(diǎn)到直線距離的是線段（）的長度A． B． C． D．考法04綜合應(yīng)用【典例8】如圖，已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，則∠BOD的大小為_____．【即學(xué)即練】如圖，已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝27°，則∠BOD的大小為_____．【典例9】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，∠2=2∠1，求∠AOC的度數(shù)．解：∵OE⊥AB（已知）∴∠BOE（）即∠1+∠2又∵∠2=2∠1（已知）∴∠1=______度∴∠2=______度（等式性質(zhì)）∵∠2與∠AOC是對頂角（已知）∴∠2=∠AOC（）∵∠2=_______度（已證）∴∠AOC=_________度（）【即學(xué)即練】給下面命題的說理過程填寫依據(jù)．已知：如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O，OF平分∠BOD，對∠EOF＝∠BOC說明理由．理由：因?yàn)椤螦OC＝∠BOD()，∠BOF＝∠BOD()，所以∠BOF＝∠AOC()．因?yàn)椤螦OC＝180°－∠BOC()，所以∠BOF＝90°－∠BOC．因?yàn)镋O⊥CD()，所以∠COE＝90°()因?yàn)椤螧OE＋∠COE＝∠BOC()，所以∠BOE＝∠BOC－∠COE.所以∠BOE＝∠BOC－90°()因?yàn)椤螮OF＝∠BOE＋∠BOF()所以∠EOF＝(∠BOC－90°)＋(90°∠BOC)（）所以∠EOF＝∠BOC．【典例10】如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度數(shù)；(2)若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度數(shù)．【即學(xué)即練】如圖：已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COE=90°（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度數(shù)．【即學(xué)即練】如圖，已知直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OE把∠AOC分成兩部分．（1）寫出圖中∠AOC的對頂角，∠COE的補(bǔ)角是；（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度數(shù)．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．圖中的∠1、∠2可以是對頂角的是()A． B．C． D．2．下列說法正確的有()．①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對頂角；④若兩個(gè)角不是對頂角，則這兩個(gè)角不相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，在線段、、、中，長度最小的是（）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段4．如圖，經(jīng)過直線l外一點(diǎn)A作l的垂線，能畫出（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條5．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，若∠1＋∠2＝100°，則∠BOC等于（）A．130° B．140° C．150° D．160°6．如圖，三條直線相交于點(diǎn)O．若CO⊥AB，∠1=56°，則∠2等于()A．30° B．34° C．45° D．56°7．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠DOB．若∠COB=35°，則∠AOD等于().A．35° B．70°C．110° D．145°8．如圖所示，已知直線AB、CD相較于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．20 B．25° C．30° D．70°題組B能力提升練1．如圖，與是對頂角，，，則______．2．兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有兩個(gè)角分別是(2x－10)°和(110－x)°，則x＝_____．3．如圖，直線AD與BE相交于點(diǎn)O，∠COD=90°，∠COE=70°，則∠AOB=_______．4．如圖，直線相交于點(diǎn)O，，且，則______．5．如圖，計(jì)劃在河邊建一水廠，可過C點(diǎn)作CD⊥AB于D點(diǎn)．在D點(diǎn)建水廠，可使水廠到村莊C的路程最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是________．6．如圖，直線AB，AB相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC.若∠EOA∶∠EOD＝1∶3，則∠BOD＝______°.7．如圖，已知直線和相交于點(diǎn)，是直角，平分，，則的大小為__________．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，兩直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11，（1）求∠COE；（2）若OF⊥OE，求∠COF．2．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE（1）判斷OF與OD的位置關(guān)系，并進(jìn)行證明．（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數(shù)．3．如圖，與交于點(diǎn)，，，若，求的度數(shù)．解：，，，又，