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第05課平行線與相交線全章復(fù)習(xí)與鞏固目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.熟練掌握對(duì)頂角,鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì),了解點(diǎn)到直線的距離與兩平行線間的距離的概念;2.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì),并能靈活運(yùn)用;3.了解命題的概念及構(gòu)成,并能通過證明或舉反例判定命題的真假;4.了解平移的概念及性質(zhì).知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01相交線1.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系,它們的概念及性質(zhì)如下表:圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條公共邊,另一邊互為反向延長線.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即∠3+∠4=180°注意:⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的,對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.對(duì)頂角的特征:有公共頂點(diǎn),角的兩邊互為反向延長線.⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角.⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角,則一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征:有公共頂點(diǎn),有一條公共邊,另一邊互為反向延長線.⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中,每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè),而對(duì)頂角只有一個(gè).2.垂線及性質(zhì)、距離(1)垂線的定義:當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中,有一個(gè)角是直角時(shí),就說這兩條直線互相垂直,其中的一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示,符號(hào)語言記作:AB⊥CD,垂足為O.注意:要判斷兩條直線是否垂直,只需看它們相交所成的四個(gè)角中,是否有一個(gè)角是直角,兩條線段垂直,是指這兩條線段所在的直線垂直.(2)垂線的性質(zhì):垂線性質(zhì)1:在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2:連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短.簡稱:垂線段最短.(3)點(diǎn)到直線的距離:直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度,叫做點(diǎn)到直線的距離,如圖2:PO⊥AB,點(diǎn)P到直線AB的距離是垂線段PO的長.注意:垂線段PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.知識(shí)點(diǎn)02平行線1.平行線判定判定方法1:同位角相等,兩直線平行.判定方法2:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.判定方法3:同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.注意:根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論,平行線的判定方法還有:(1)平行線的定義:在同一平面內(nèi),如果兩條直線沒有交點(diǎn)(不相交),那么兩直線平行.(2)如果兩條直線都平行于第三條直線,那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性).(3)在同一平面內(nèi),垂直于同一直線的兩條直線平行.(4)平行公理:經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行.2.平行線的性質(zhì)性質(zhì)1:兩直線平行,同位角相等;性質(zhì)2:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;性質(zhì)3:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).注意:根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論,平行線的性質(zhì)還有:(1)若兩條直線平行,則這兩條直線在同一平面內(nèi),且沒有公共點(diǎn).(2)如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直,那么它必與另一條直線垂直.3.兩條平行線間的距離如圖3,直線AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離.注意:(1)兩條平行線之間的距離處處相等.(2)初中階級(jí)學(xué)習(xí)了三種距離,分別是兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同點(diǎn)在于都是線段的長度,它們的區(qū)別是兩點(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)的線段的長度,點(diǎn)到直線距離是直線外一點(diǎn)引已知直線的垂線段的長度,平行線間的距離是一條直線上的一點(diǎn)到與之平行的另一直線的距離.(3)如何理解“垂線段”與“距離”的關(guān)系:垂線段是一個(gè)圖形,距離是線段的長度,是一個(gè)量,它們之間不能等同.知識(shí)點(diǎn)03命題及平移1.命題:判斷一件事情的語句,叫做命題.每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng);結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).2.平移:在平面內(nèi),將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離,圖形的這種移動(dòng)叫做平移.注意:平移的性質(zhì):(1)平移后,對(duì)應(yīng)線段平行(或共線)且相等;(2)平移后,對(duì)應(yīng)角相等;(3)平移后,對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行(或共線)且相等;知識(shí)點(diǎn)04數(shù)學(xué)思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想【思想解讀】轉(zhuǎn)化思想是把一種待解決的問題經(jīng)過某種轉(zhuǎn)化,歸類到已經(jīng)解決的問題中去.轉(zhuǎn)化思想在解數(shù)學(xué)題時(shí),所給條件往往不能直接應(yīng)用,此時(shí)需要將所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,在解題中經(jīng)常用到,它包括未知向已知的轉(zhuǎn)化,陌生向熟悉的轉(zhuǎn)化,復(fù)雜向簡單的轉(zhuǎn)化,抽象向具體的轉(zhuǎn)化;數(shù)與形的轉(zhuǎn)化等.【應(yīng)用鏈接】在證明線的位置關(guān)系或有關(guān)角度計(jì)算時(shí),常利用平行線的性質(zhì)把沒有關(guān)聯(lián)的角轉(zhuǎn)化為對(duì)頂角或鄰補(bǔ)角之間的關(guān)系進(jìn)行處理,反之把具有對(duì)頂角或鄰補(bǔ)角關(guān)系轉(zhuǎn)化為在同一個(gè)“三線八角”圖形結(jié)構(gòu)中進(jìn)行處理.【典例1】如圖,已知AB∥CD,BC∥DE.若∠A=20°,∠C=120°,則∠AED的度數(shù)是________.【詳解】如圖,延長AE交BC于點(diǎn)F,因?yàn)锳B∥CD,∠C=120°,所以∠B=60°,又因?yàn)锽C∥DE,所以∠AED=∠AFC=∠B+∠A=60°+20°=80°.答案:80°【即學(xué)即練1】如圖,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,你能判斷∠C與∠AED的大小關(guān)系嗎?并說明理由.【解析】∠C與∠AED相等,理由為:∵∠1+∠2=180°(已知),∠1+∠DFE=180°(鄰補(bǔ)角定義),∴∠2=∠DFE(同角的補(bǔ)角相等),∴AB∥EF(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行),∴∠3=∠ADE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),又∠B=∠3(已知),∴∠B=∠ADE(等量代換),∴DE∥BC(同位角相等,兩直線平行),∴∠C=∠AED(兩直線平行,同位角相等).二、分類討論思想【思想解讀】分類討論思想是一種常見的數(shù)學(xué)思想方法.具體來說,就是把包含多種可能情況的問題,按照某一標(biāo)準(zhǔn)分成若干類,然后對(duì)每一類分別進(jìn)行解決.【應(yīng)用鏈接】在幾何問題中,涉及到圖形之間的位置關(guān)系不定時(shí),需要應(yīng)用分情況討論問題的方法.【典例2】如圖,AD∥BC,當(dāng)點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,O三點(diǎn)不重合),∠ADP=∠α,∠BCP=∠β,求∠CPD與∠α,∠β之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)91904134【詳解】分三種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)點(diǎn)P在A,B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),∠CPD=∠α+∠β.理由如下:如圖(1),過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E.∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.②當(dāng)點(diǎn)P在BA延長線上時(shí),∠CPD=∠β-∠α.理由如下:如圖(2),過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E.同①可知∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠β-∠α.③當(dāng)點(diǎn)P在AB延長線上時(shí),∠CPD=∠α-∠β.理由如下:如圖(3),過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E.同②可知∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠α-∠β.【即學(xué)即練2】如圖,在Rt△AOB和Rt△COD中,∠AOB=∠COD=90°,∠B=40°,∠C=60°,點(diǎn)D在邊OA上,將圖中的△COD繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,在第________秒時(shí),邊CD恰好與邊AB平行.【解析】①兩三角形在點(diǎn)O的同側(cè)時(shí),如圖1,設(shè)CD與OB相交于點(diǎn)E,∵AB∥CD,∴∠CEO=∠B=40°,∵∠C=60°,∠COD=90°,∴∠D=90°-60°=30°,∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°,∴旋轉(zhuǎn)角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°.∵每秒旋轉(zhuǎn)10°,∴時(shí)間為100°÷10°=10(秒).②兩三角形在點(diǎn)O的異側(cè)時(shí),如圖2,延長BO與CD相交于點(diǎn)E,∵AB∥CD,∴∠CEO=∠B=40°,∵∠C=60°,∠COD=90°,∴∠D=90°-60°=30°,∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°,∴旋轉(zhuǎn)角為270°+10°=280°,∵每秒旋轉(zhuǎn)10°,∴時(shí)間為280°÷10°=28(秒),綜上所述,在第10或28秒時(shí),邊CD恰好與邊AB平行.答案:10或28三、方程思想【思想解讀】方程思想,是從問題的數(shù)量關(guān)系入手,運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立起方程(組),然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解的思維方式.【應(yīng)用鏈接】在應(yīng)用垂直、角平分線或角度之間的比值進(jìn)行角度的計(jì)算時(shí),常用方程的思想,構(gòu)建方程解決問題.【典例3】如
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