江蘇常熟中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

江蘇常熟中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有成立，則的最小值為（）A．4 B．1 C． D．22．在平面四邊形，，，則四邊形的面積為（）A． B． C．15 D．3．已知隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)的值分別為()A．4，0.6 B．12，0.4 C．8，0.3 D．24，0.24．已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%5．直線與相切,實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．6．將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）A．30種 B．90種 C．180種 D．270種7．將兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表所示：根據(jù)上述數(shù)據(jù)，得到的回歸直線方程為，則可以判斷（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則()A．-2 B．0 C．2 D．49．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．10．對(duì)于一個(gè)數(shù)的三次方，我們可以分解為若干個(gè)數(shù)字的和如下所示：…，根據(jù)上述規(guī)律，的分解式中，等號(hào)右邊的所有數(shù)的個(gè)位數(shù)之和為（）A．71 B．75 C．83 D．8811．同學(xué)聚會(huì)上，某同學(xué)從《愛(ài)你一萬(wàn)年》，《十年》，《父親》，《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演，則《愛(ài)你一萬(wàn)年》未選取的概率為（）A．B．C．D．12．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．120，168的最大公約數(shù)是__________．14．的展開(kāi)式中的系數(shù)為.15．將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為，則該圓柱的側(cè)面積為_(kāi)_____．16．不等式＜恒成立，則a的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在中，，D是AE的中點(diǎn)，C是線段BE上的一點(diǎn)，且，，將沿AB折起使得二面角是直二面角．（l）求證：CD平面PAB；（2）求直線PE與平面PCD所成角的正切值．18．（12分）(A)在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的坐標(biāo)方程；(2)若射線與曲線異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與曲線異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，求.(B)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）球O的半徑為R,A﹑B﹑C在球面上，A與B,A與C的球面距離都為，B與C的球面距離為，求球O在二面角B-OA-C內(nèi)的部分的體積．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，是的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線和所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）21．（12分）在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)記為a，在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)記為b．若a，，求直線的斜率為的概率；若a，，求直線的斜率為的概率．22．（10分）已知函數(shù)（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）若函數(shù)無(wú)極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題意得出的一個(gè)最大值為，一個(gè)最小值為，于此得出的最小值為函數(shù)的半個(gè)周期，于此得出答案．【題目詳解】對(duì)任意的，成立.所以，，所以，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查正余弦型函數(shù)的周期性，根據(jù)題中條件得出函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，另外就是靈活利用正余弦型函數(shù)的周期公式，考查分析問(wèn)題的能力，屬于中等題．2、C【解題分析】

首先根據(jù)得到，再求四邊形的面積即可.【題目詳解】因?yàn)椋裕运倪呅蔚拿娣e.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.3、B【解題分析】

由，可得，由此列出關(guān)于的方程組，從而得出結(jié)果?！绢}目詳解】解：據(jù)題意，得,解得，故選B。【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差，熟記離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)是關(guān)鍵。4、B【解題分析】試題分析：由題意故選B．考點(diǎn)：正態(tài)分布5、B【解題分析】

利用切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值可求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得結(jié)果.【題目詳解】由得：與相切切點(diǎn)橫坐標(biāo)為：切點(diǎn)縱坐標(biāo)為：，即切點(diǎn)坐標(biāo)為：，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用切線斜率求得切點(diǎn)坐標(biāo).6、B【解題分析】

對(duì)三個(gè)盒子進(jìn)行編號(hào)1，2，3，則每個(gè)盒子裝球的情況可分為三類(lèi)：1，2，2；2，1，2；2，2，1；且每一類(lèi)的放法種數(shù)相同.【題目詳解】先考慮第一類(lèi)，即3個(gè)盒子放球的個(gè)數(shù)為：1，2，2，則第1個(gè)盒子有：，第2個(gè)盒子有：，第3個(gè)盒子有：，第一類(lèi)放法種數(shù)為，不同的放法種數(shù)有.【題目點(diǎn)撥】考查分類(lèi)與分步計(jì)算原理，明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)是解決問(wèn)題的突破口.7、C【解題分析】

根據(jù)最小二乘法，求出相關(guān)量，，即可求得的值。【題目詳解】因?yàn)?，，，所以，，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查利用最小二乘法求線性回歸方程，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。8、D【解題分析】令，則，據(jù)此可得：本題選擇D選項(xiàng).9、B【解題分析】

由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又由函數(shù)是定義上的偶函數(shù)，得到函數(shù)在單調(diào)遞增，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【題目詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則由，得，即，即在上恒成立，則，解得，即的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中利用函數(shù)的基本性質(zhì)，把不等式轉(zhuǎn)化為求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.10、C【解題分析】

觀察可知，等式右邊的數(shù)為正奇數(shù)，故在之前，總共使用了個(gè)正奇數(shù)，因此，，故所有數(shù)的個(gè)位數(shù)之和為83.【題目詳解】觀察可知，等式右邊的數(shù)為正奇數(shù)，故在之前，總共使用了個(gè)正奇數(shù)，所以的分解式中第一個(gè)數(shù)為，最后一個(gè)是，因此，所有數(shù)的個(gè)位數(shù)之和為83，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的歸納推理能力。11、B【解題分析】,所以選B.12、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部．【題目詳解】，因此，該復(fù)數(shù)的虛部為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法，考查復(fù)數(shù)的虛部，對(duì)于復(fù)數(shù)問(wèn)題的求解，一般利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，明確復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解題分析】∵，∴120，168的最大公約數(shù)是24.答案：2414、70.【解題分析】試題分析：設(shè)的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為第項(xiàng)，則由通項(xiàng)知．令，解得，∴的展開(kāi)式中的系數(shù)為．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．15、【解題分析】將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，解得該圓柱的側(cè)面積為，故答案為.16、(－2,2)【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以得到一元二次不等式恒成立問(wèn)題，再根據(jù)判別式即可求得結(jié)果.【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知y＝x是減函數(shù)，因?yàn)椋己愠闪?，所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，即(a－2)(a－2＋4)＜0，即(a－2)(a＋2)＜0，故有－2＜a＜2，即a的取值范圍是(－2,2)．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式是本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析.（2）.【解題分析】分析：（1）推導(dǎo)出是的斜邊上的中線，從而是的中點(diǎn)，由此能證明平面；（2）三棱錐的體積為，由此能求出結(jié)果．詳解：（1）因?yàn)椋?，又，，所以，又因?yàn)椋允堑男边吷系闹芯€，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)．所以是的中位線，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）據(jù)題設(shè)分析知，，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，且，分別是，的中點(diǎn)，所以，，所以，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，所以，令，則，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則．故直線與平面所成角的正切值為．點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、(A)(1)(為參數(shù))，(2)(B)(1)；(2).【解題分析】試題分析：A(1)結(jié)合題意可得的極坐標(biāo)方程是(為參數(shù))，(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，結(jié)合極徑的定義可得B(1)由題意零點(diǎn)分段可得不等式的解集是；(2)由恒成立的條件得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，求解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.試題解析：(A)解：(1)設(shè)，則由條件知，由于點(diǎn)在曲線上，所以，即，從而的參數(shù)方程為(為參數(shù))，化為普通方程即，將，所以曲線后得到極坐標(biāo)方程為.(2)曲線的極坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，即，解得或，所以射線與的交點(diǎn)的極徑為，曲線的極坐標(biāo)方程為.同理可得射線與的交點(diǎn)的極徑為.所以.(B)解：(1)當(dāng)時(shí)，由解得.(2)因?yàn)榍?所以只需，解得.19、【解題分析】

先求出二面角B-AO-C的平面角，再根據(jù)比例關(guān)系求出球O在二面角B-OA-C內(nèi)的部分的體積?！绢}目詳解】解：A與B,A與C的球面距離都為，，BOC為二面角B-AO-C的平面角，又B與C的球面距離為，BOC=，球O夾在二面角B-AO-C的體積是球的六分之一即為【題目點(diǎn)撥】先求出二面角B-AO-C的平面角，再根據(jù)比例關(guān)系求出球O在二面角B-OA-C內(nèi)的部分的體積。20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；（2）由于，可得或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出【題目詳解】（1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故（2），或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，，，異面直線和所成的角是【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱錐體積公式的計(jì)算，異面直線所成的夾角，屬于基礎(chǔ)題21、（1）；（2）.【解題分析】

，2，3，4，1，6，，2，3，4，1，基本事件總數(shù)，再列出滿足條件的基本事件有6個(gè)，由古典概型概率計(jì)算公式求解；有序?qū)崝?shù)對(duì)滿足，而滿足直線的斜率為，即，畫(huà)出圖形，由測(cè)度比是面積比得答案．【題目詳解】解：在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)記為a，在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)記為b，a，，，2，3，4，1，6，，2，3，4，1．基本事件總數(shù)，直線的斜率為，即，也就是，滿足條件的基本事件有6個(gè)，分別是：，，，，，，直線的斜率為的概率；在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)記為a，在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)記為b，a，，有序?qū)崝?shù)對(duì)滿足，而滿足直線的斜率為，即，如圖：，．直線的斜率為的概率．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，注意列舉法和幾何概型的合理運(yùn)用，是中檔題．22、（1）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）見(jiàn)解析.【解題分析】分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)無(wú)極值，所以在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.即或在時(shí)恒成立，求導(dǎo)分析整理即可得到答案；（2）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即.欲證，只需證即可，構(gòu)造函數(shù)=（），求導(dǎo)分析整理即可.