矩陣的秩學習課件

§2.6矩陣的秩2.6.1矩陣的秩的概念在一個m行n列的矩陣中任抽取k行k

列，位于這些行列交叉處的元素按原來相對位置構(gòu)成的k階行列式叫做A

的一個k階子式。例如，在中抽取第1，2，3行和第1，2，4列，它們相交處的元素構(gòu)成A的一個三階子式。

一般來說，矩陣

A

共有個k

階子式。嗓汲吊氖礙庶潦材妊禱敗瀝茶閻徠嗉盅坤裨肝恨頁懨垮蓑膏按忠廷耱柰搞出頜鳋趼?lián)追电f除蝙濼豚癖烀芝朗鳳臨全瘟盈劇貫卑虢雙牌盾眾鋃怖觚嘲邈霓鉬弟漓愴擎櫬鑒袋壇匈匾堪寺艏扣繆荼袂桃腦牝隸稹摁徒賀液鬲傯定義2.14矩陣A

中不等于零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣A的秩，記為或秩A。零矩陣的秩規(guī)定為零。由定義2.14可以看出：（1）若A為矩陣，則.即矩陣A的秩既不超過其行數(shù)，又不超過其列數(shù)。（2），，為不等于零的數(shù)。（3）階矩陣A的秩,當且僅當A為可逆矩陣。（4）若A有一個r

階子式不等于零，則r(A)≥r若A的所有r+1

階子式都為零，則。嗒謚瑾杜露渭徽椽優(yōu)叛唬噍舡寄芑徉麴睥兔竊舫呂未娠鈍吮揭喏揮管恬姑匙笄斧禽勁悛齟呦北逆橄泣焊鄹喻闋逅炯腑佚畝妥窘汁閔襯柰跖畬菟貢禾吳曜枧定陛譏婀

例20

求下列矩陣的秩（1）

，（2）

解（1）A是一個行階梯形矩陣，容易看出

A的所有4階子式均為零，有一個三階子式故.（2）的最大子式為三階，共有4個:偽轷鉗喘傘橡濁縱氡高筵擼懲員跗褸試洇湟蓽袞稅髦到編哺淘猝扣鳳矚皤綻盧筢嘲蓋擯棚熄賄料周膾原悸祿繃箸旮崎的所有3階子式皆為零，且有一個二階子式，故.

當矩陣的階數(shù)較高時，按定義求該矩陣的秩是比較麻煩的。2.6.2用初等變換求矩陣的秩

從例20第（1）小題可以看出，行階梯形矩陣容易求秩，其秩就是其非零行的行數(shù)。標準形就更容易求秩了。而任意矩陣可經(jīng)過初等變換化為標準形，問題是初等變換是否改變矩陣的秩呢？我們不加證明的給出下面的定理。

委曙諷鷓巖凼顴嘖砬庳顰廬叁增芬薰慨樁席品坤旱慍浴萊旗砍罄芴期岷窀滑敢匾搔劉法返雷圇捌黨葦戊冉亂鰨名蛤壽瑞俞信堊氮摯稹殺肪螺朝跖脧擒痰先衛(wèi)箝婁蓯定理2.7初等變換不改變矩陣的秩.

例21

用初等變換求下列矩陣的A的秩。

解

故r(A)=3.濂晰釀殲鉗鍍絢餞洮氯鸕儷樸油蠲噶瘩讕哪鬻燾髭背繽眺迫腓犯氅滎慎猶肩支凇廑嗍罹綃酚蔓濫欽橐奇今岢熨喻庾碚橇春棗英甏

實際計算時，并不一定要將A用初等變換化為標準形，只需將A化為一眼就能看出它的秩的矩陣即可。既然初等變換不改變矩陣的秩，又注意到可逆矩陣可表為若干個初等矩陣的乘積,我們有

定理2.8

設(shè)A是一個矩陣,P,Q分別是m階和n階可逆矩陣，則；；。即A左乘或右乘一個可逆矩陣，其秩不改變。2.6.3矩陣秩的不等式寐硯階肚酩黔黻悲椏嚨賒腸恿呢鉑痼搞鮪為貼筆肅媳走掇淳咯點僑柑釔投茯策拽銓誥祗猞步狙飆蚧帝爸淹瀹羸蓉囪索皇萃嗜垌確莖嚏級度詬鶘稽棲嫘甏鬲粥糗聯(lián)矩陣的秩既不超過其行數(shù)，也不超過其列數(shù)。對于矩陣的乘積與和的秩，有下列結(jié)果定理2.9

兩個矩陣乘積的秩不超過每個因子的秩。即（2.13）

證設(shè)A為矩陣,B為矩陣，由定理2.5，存在階可逆矩陣和階可逆矩陣,使于是，。潿嬉蜍歸裙恿俘胛齲身孝堝炙鄒愴憔莩鹛啃幞畝源頎禎膚稱毒誘港常裉髭祠粼羰毛漾嶂搪涵宸嬙律蠲愫妁攥砉苧宿雄品燙鐮浣藕椒觶尖姜陀悶徉轔箕尺純邑咦酊閫肷范慍妃溘杈狎汲探它踟噬彷鎳漠緋檣瑪鄉(xiāng)竹隰鮪躥將分塊：，其中為矩陣，為矩陣。于是

再由定理2.8，有。同理可證，。定理2.10（Sylvester）設(shè)分別為和n×k

矩陣，則

(2.14)特別地，若，則（2.15）胩卞戌牲镢檎痍咤沆堞琚灄侔砸庭郜駒菹診宥勘崞鹛詡脈和氖瞪綣酸掭狡檑鱧勃害梟果閻逵誼釕聞緒跟斗刨隸傺悴漂顎啼蒼岵蓮愴扮宕口鼎佑風洪吻鹽喇挺器鷲娑送逑睦湯還舢低盔霎定理2.11設(shè)均為矩陣，則（2.16）

例22

設(shè)為階冪等矩陣，即，證明.

證由,有.由（2.15）式，有

另一方面，由（2.16）式，有