(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)5.4《平面向量中的綜合問(wèn)題培優(yōu)課》(原卷版)

第第頁(yè)§5.4平面向量中的綜合問(wèn)題題型一平面向量在幾何中的應(yīng)用例1(1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D點(diǎn)滿足eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，AD＝eq\r(37)，則BC的長(zhǎng)為()A．3eq\r(7) B．3eq\r(6)C．3eq\r(3) D．6(2)已知平行四邊形ABCD，證明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．思維升華用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟平面幾何問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(設(shè)向量))向量問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(計(jì)算))解決向量問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(還原))解決幾何問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練1(1)在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，則點(diǎn)C的軌跡為()A．圓 B．橢圓C．拋物線 D．直線(2)(多選)在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，則下列結(jié)論成立的是()A．四邊形ABCD為菱形B．∠BAD＝120°C．|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝10eq\r(3)D．|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝10eq\r(3)題型二和向量有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題命題點(diǎn)1與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例2如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則eq\f(2－3x,4y2＋1)的最大值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C．1 D．2命題點(diǎn)2與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例3已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．(﹣2,6) B．(﹣6,2)C．(﹣2,4) D．(﹣4,6)命題點(diǎn)3與模有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例4已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(﹣eq\r(3)，1)，則|2a﹣b|的最大值為_(kāi)_______．思維升華向量求最值(范圍)的常用方法(1)利用三角函數(shù)求最值(范圍)．(2)利用基本不等式求最值(范圍)．(3)建立坐標(biāo)系，設(shè)變量構(gòu)造函數(shù)求最值(范圍)．(4)數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)求最值．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2，△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足|eq\o(AP,\s\up6(→))﹣eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最小值為()A.eq\r(3)﹣1B．2eq\r(2)﹣1C．2eq\r(3)﹣1D.eq\r(7)﹣1(2)如圖，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)(不含端點(diǎn))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(λ,μ)＝________，λ2﹣2μ的最小值是________．課時(shí)精練1．邊長(zhǎng)為2的正△ABC內(nèi)一點(diǎn)M(包括邊界)滿足：eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))(λ∈R)，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(4,3))) D．[﹣2,2]2．設(shè)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))，λ∈[0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．垂心 D．重心3．已知△ABC是頂角A為120°，腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．﹣eq\f(1,2)B．﹣eq\f(3,2)C．﹣eq\f(1,4)D．﹣14.如圖是某一自行車(chē)的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A(前輪)，圓D(后輪)的半徑均為eq\r(3)，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車(chē)的過(guò)程中，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最大值為()A．18B．24C．36D．485．P為雙曲線x2﹣y2＝1左支上任意一點(diǎn)，EF為圓C：(x﹣2)2＋y2＝4的任意一條直徑，則eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的最小值為()A．3B．4C．5D．96．已知在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在以D為圓心、以1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))的取值范圍為()A．[0,2] B．[1﹣eq\r(2)，2]C．[0，eq\r(2)＋1] D．[1﹣eq\r(2)，1＋eq\r(2)]7．(多選)如圖，點(diǎn)A，B在圓C上，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值()A．與圓C的半徑有關(guān)B．與圓C的半徑無(wú)關(guān)C．與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)D．與點(diǎn)A，B的位置有關(guān)8．(多選)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中有這樣一個(gè)定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心間的距離是垂心和重心間的距離的一半．這個(gè)定理就是著名的歐拉線定理．設(shè)△ABC中，點(diǎn)O，H，G分別是外心、垂心、重心．下列四個(gè)選項(xiàng)中結(jié)論正確的是()A.eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(OG,\s\up6(→))B.eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0C．設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，則有eq\o(AH,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))D.eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))9．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a＋b＋c|＝________.10．已知點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0)，O為原點(diǎn)，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值為_(kāi)_______．11．已知在面積為eq\r(3)的△ABC中，sin2C＝sin2A＋sin2B﹣sinAsinB，eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，P為AD上一點(diǎn)，且滿足eq\o(CP,\s\up6(→))