(新高考)高考數(shù)學一輪復習講義+鞏固練習7.8《空間距離及立體幾何中的探索性問題》(原卷版)

§7.8空間距離及立體幾何中的探索性問題考試要求1.會求空間中點到直線以及點到平面的距離.2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件．知識梳理1．點到直線的距離如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．點到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面α上不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β.()(2)點到直線的距離也就是該點與直線上任一點連線的長度．()(3)直線l平行于平面α，則直線l上各點到平面α的距離相等．()(4)直線l上兩點到平面α的距離相等，則l平行于平面α.()教材改編題1．已知平面α的一個法向量n＝(﹣2，﹣2,1)，點A(﹣1,3,0)在α內(nèi)，則P(﹣2,1,4)到α的距離為()A．10B．3C.eq\f(8,3)D.eq\f(10,3)2．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則A1A到平面B1D1DB的距離為()A.eq\r(2)B．2C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(3\r(2),2)3．已知直線l經(jīng)過點A(2,3,1)且向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(2),2)))為l的一個單位方向向量，則點P(4,3,2)到l的距離為________．題型一空間距離例1如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點．(1)求點N到直線AB的距離；(2)求點C1到平面ABN的距離．教師備選1.如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，則點P到直線BD的距離為________．2．如圖，已知△ABC為等邊三角形，D，E分別為AC，AB邊的中點，把△ADE沿DE折起，使點A到達點P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4.求直線DE到平面PBC的距離．思維升華點到直線的距離(1)設(shè)過點P的直線l的單位方向向量為n，A為直線l外一點，點A到直線l的距離d＝eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2－\o(PA,\s\up6(→))·n2).(2)若能求出點在直線上的射影坐標，可以直接利用兩點間距離公式求距離.跟蹤訓練1(1)(多選)已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點E，O分別是A1B1，A1C1的中點，P在正方體內(nèi)部且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，則下列說法正確的是()A．點A到直線BE的距離是eq\f(\r(5),5)B．點O到平面ABC1D1的距離為eq\f(\r(2),4)C．平面A1BD與平面B1CD1間的距離為eq\f(\r(3),3)D．點P到直線AB的距離為eq\f(25,36)(2)在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別是AB，CC1的中點，則△D1GF的面積為________．答案eq\f(\r(14),2)題型二立體幾何中的探索性問題例2已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點E為A1D1中點，直線B1C1交平面CDE于點F.(1)求證：點F為B1C1的中點；(2)若點M為棱A1B1上一點，且二面角M﹣CF﹣E的余弦值為eq\f(\r(5),3)，求eq\f(A1M,A1B1)的值．教師備選如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都為2，B1C＝eq\r(6)，AB⊥B1C.(1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)在棱BB1上是否存在點P，使直線CP與平面ACC1A1所成角的正弦值為eq\f(4,5)，若不存在，請說明理由；若存在，求BP的長．思維升華(1)對于存在判斷型問題的求解，應先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù)．跟蹤訓練2如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的eq\r(2)倍，P為側(cè)棱SD上的點．(1)求證：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC與平面DAC夾角的大??；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．課時精練1.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,3)AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝a，點F在AD上，且CF⊥PC.(1)求點A到平面PCF的距離；(2)求AD到平面PBC的距離．2．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E為PD的中點．(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求直線PC與平面ACE所成角的正弦值；(3)在線段BC上是否存在點F，使得點E到平面PAF的距離為eq\f(2\r(5),5)？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．3．如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，AA1＝A1B1＝eq\f(1,2)AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD.(1)若點M是AD的中點，求證：C1M⊥A1C；(2)棱BC上是否存在一點E，使得平面EAD1與平面DAD1夾角的余弦值為eq\f(1,3)？若存在，求線段CE的長；若不存在，請說明理由．4.(2022·濰坊模擬)如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正