解三角形-兩年（2020-2021）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

2020-2021真題匯編-解三角形

一、正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用

1.(2020?全國?高考真題(文))在AA8c中，cosC=y,AC=4,BC=3,則tan8=

()

A.逐B(yǎng).2逐C.475D.8石

..2

2.(2020?全國?高考真題(理))在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,則cos5=()

3.(2021?全國?高考真題(文))在AABC中，已知B=120。，AC=gAB=2,則BC=

()

A.1B.&C.75D.3

4.(202。?山東?高考真題)在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是“，b,c,若

a2+b2=(r+absmC>且“sin8cosc+csinBcosA=—Z??貝lItanA等于()

2

1-1-1

A.3B.--C.3或一1D.-3或§

5.(2021?山東?高考真題)在AABC中，ZA=105。，NC=45。，AB=2垃,BC等于

7.(2020?全國?高考真題(文))AA5C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

2/兀A\A

cos~(]+A)+cosA=—5.

(1)求A；

(2)若b-c=Ba,證明：AAAC是直角三角形.

3

8.（2020?海南?高考真題）在①四=6，②csinA=3,③c=J花這三個條件中任選一個，

補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求。?的值；若問題中的三角形不存在，說明

理由.

問題：是否存在AABC,它的內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,8,c,且sinA=^sin8,

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

二、解三角形.面積、周長問題

9.(2020?全國?高考真題(文))AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為h9c.已知

8=150。?

(1)若〃=6。，b=2幣,求AA4c的面積；

(2)若sinA+WsinC=,求C.

2

10.(2020?全國?高考真題(理))AABC中，sin2A—sin2B—sin2C=sin^sinC.

(1)求4

(2)若BC=3,求AA5c周長的最大值.

11.（2020?北京?高考真題）在“U3C中，a+h=\l,再從條件①、條件②這兩個條件中選

擇一個作為已知，求：

（Da的值：

（II）sinC和△ABC的面積.

條件①：c=7,cosA=-y-

19

條件②：cos,cos^=~?

816

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

12.（2021?北京?高考真題）在中，c=2bcosB,C=—.

（1）求D8；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使AABC存在且唯一

確定，求BC邊上中線的長.

條件①：c=6b;

條件②：△ABC的周長為4+26；

條件③：AABC的面積為氈；

4

13.(2021?全國?高考真題)在AA8C中，角A、8、C所對的邊長分別為。、b、c,

b=a+i9c=a+2??

(1)若2sinC=3sinA,求“VBC的面積;

(2)是否存在正整數(shù)使得AANC為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說

明理由.

三、解三角形的實(shí)際應(yīng)用

14.（2021?全國?高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著

作，其中第一題是測海島的高.如圖，息E,H,G在水平線AC上，OE和FG是兩個垂

直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和都稱為

“表目距”，GC與的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（）

、表高x表距表高x表距

A，表目距的差+表鬲,表目距的差一表1

表高X表距表高X表距美幽

表目距的差衣表目距的差衣

15.（2021?浙江?高考真題）在AABC中，NB=6（）o,AB=2,M是8c的中點(diǎn),

AM=2y/3,貝！|AC=,cosZMAC=.

16.（2020?全國?高考真題（理））如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=1,

AB=AD=BAB±AC,ABLAD,NC4E=30°,貝！|COSNFC5=.

〃2)

E(P)

尸(P)

17.(2021?湖南?高考真題)如圖，在AA8c中，NB=45°,點(diǎn)。在5c邊上,且8=2,

AD=3,cosZADC=-

3

(2)求sinZRW的值.

18.(2020?江蘇?高考真題)在AA8c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c已知

a=3,c=&,B=45。.

(1)求sinC的值；

4

(2)在邊BC上取一點(diǎn)0,使得cosZADC=-1，求tan/DAC的值.

19.(2021?全國?高考真題)記AA8C'是內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,J已知

b1=ac>點(diǎn)。在邊AC上，BDsmZABC=?sinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若A￡)=2DC,求cosNA3c.

四、三角部分的綜合問題

20.(2021?天津?高考真題)在AABC,角AB,C所對的邊分別為“力,c,已知

sinA:sin8:sinC=2:1:&，b=母?

(I)求a的值；

(II)求cosC的值；

(III)求sin(2C-￡j的值.

21.(2020?天津?高考真題)在AABC中，角A&C所對的邊分別為a,4c.已知

a=2^2,b=5,c=.

(I)求角。的大??；

(II)求sinA的值；

(HI)求sin(2A+?)的值.

22.（2020?浙江?高考真題）在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

2Z?sinA->/3t7=O.

(I)求角B的大??；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

23.(2021?江蘇?高考真題)已知向量〃=卜2相sinx,cos。)，否=(cosx,6),設(shè)函數(shù)

/(X)=ab-

(1)求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)在銳角AABC中，三個角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,若

f(B)=Qb=Jj,3sinA-2sinC=0,求AAZJC的面積.

2020-2021真題匯編-解三角形

解析版

一、正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用

2

1.(2020?全國?高考真題(文))在AA8C中，cosC=y,AC=4,BC=3,貝!ItanB=

()

A.逐B(yǎng).2逐C.475D.8逐

【答案】C

【分析】

先根據(jù)余弦定理求c,再根據(jù)余弦定理求cosB,最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求tanB.

【詳解】

設(shè)A8=c,3C=a,C4=b

2

c2=a2+Z?2-2izZ?cosC=9+16-2x3x4x—=9/.c=3

3

a2+c2-b24ftanB=4正

cos8=sinB=

2ac9

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

_2

2.(2020?全國?高考真題(理))在AA8C中，cosC=-,AC=4,BC=2>,則cos5=()

A-1B-17D-1

【答案】A

【分析】

根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得A3,再根據(jù)cosB=AB2+BC-—C2,即可求得答案.

2ABBC

【詳解】

2

?在中，cosC=-,AC=4,BC=3

根據(jù)余弦定理：AB2=AC'+BC2-2ACBC-cosC

2

AB2=42+32-2X4X3X-

3

可得AB?=9,即AB=3

4"+BC?-AC?9+9-161

由cos8==

2ABBC2x3x3~9

故cos8=j.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2021?全國?高考真題(文))在AABC中，已知B=120。，AC=MAB=2,則8C=

()

A.1B.42C.75D.3

【答案】D

【分析】

利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.

【詳解】

T^AB=c,AC=b,BC=a,

結(jié)合余弦定理：尸=/+/一2比0?8可得：19=4+4-2xaxcosl2(T，

即：a2+-15=0,解得：a=3(a=-5舍去)，

故3C=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

利用余弦定理及其推論解三角形的類型：

(1)已知三角形的三條邊求三個角；

(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；

(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形.

4.(2020?山東?高考真題)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是“，b,。，若

a2+b2=c2+ahsmC>且asin8cosc+csinBcosA=-b,貝!ItanA等于()

2

141/1

A.3B.——C.3或—§D.-3或］

【答案】A

【分析】

TT

利用余弦定理求出tanC=2,并進(jìn)一步判斷C＞：,由正弦定理可得

4

sin(A+C)=￥=sinB=乎，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案;

【詳解】

sinAsinB

sinAsinB-cosC+sinCsinB-cosA=——sinB，

2

sin(A+C)==>sinBB=^-,

224

tanB=1,

/人「、tanB+tanC_

tanA=—tan(B+C)=---------------------=3,

1-tanB-tanC

故選：A.

5.(2021?山東?高考真題)在AA8C中，4=105。，ZC=45°,AB=2母,8c等于

【答案】布+人

【分析】

由和角正弦公式求sinl05。函數(shù)值，再應(yīng)用正弦定理求BC即可.

【詳解】

sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos450+cos600sin45°=亞氈一

ABBC

由正弦定理可知,

sinCsinA

ABsinA

故答案為：\/6+y/2

6.(2021?全國?高考真題(理))記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,面積為

幣,B=60。，a2+c2=3ac,貝！I人=.

【答案】20

【分析】

由三角形面積公式可得ac=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】

由題意,S.ABc=gacsinB=^ac=6,

所以4C=4,4?+/=12,

所以廿=/+c2-2accosB=12-2x4x；=8,解得匕=2忘(負(fù)值舍去).

故答案為：2底.

7.(2020?全國?高考真題(文))AA8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

cos2(1+A)+cosA=：.

(1)求4

(2)若b-c=@a,證明：AABC是直角三角形.

3

【答案】《1)A=(;(2)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，cos［、+A)+cos4=：可化為

1-cos2A+cosA=-,即可解出；

4

(2)根據(jù)余弦定理可得〃+/—〃=秘，將萬一。=立〃代入可找至關(guān)系，

3

再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出.

【詳解】

(1)因?yàn)閏os2(2+A1+cosA=*,所以sin?A+cosA=』，

<2；44

25

B|J1-cosA+cosA=一,

4

解得cosA='，又OvAv/r,

2

TT

所以A=q；

(2)因?yàn)锳=g,所以cosA="+：：-'=；,

32bc2

即Z?2+c2-a2=bc?f

又b-c釜a②,將②代入①得，b2+c2-3(b-c)2=hc,

即2〃+2c2-5反=0,而b>c,解得b=2c,

所以a=gc?

故82=.2+C2，

即AABC是直角三角形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系的應(yīng)用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判斷三角

形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2020?海南?高考真題）在①②csinA=3,③c=J%這三個條件中任選一個，

補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明

理由.

問題：是否存在它的內(nèi)角A8,。的對邊分別為a,且sin4=Gsin8,

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】詳見解析

【分析】

解法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到。力的比例關(guān)系，根據(jù)比例

關(guān)系，設(shè)出長度長度，由余弦定理得到c?的長度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.

解法二：利用誘導(dǎo)公式和兩角和的三角函數(shù)公式求得柩弘的值，得到角的值，然后

根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.

【詳解】

解法一：

由sinA=^sinB可得：￡=

b

不妨設(shè)a==m^m>0）,

則：c2=a2+b2-2abcosC-3m2+m2-2x-m2,即。=〃，.

選擇條件①的解析：

據(jù)此可得：ac=gmxm=由而=6,m=\,此時c=m=l.

選擇條件②的解析：

…，一』b1+_C_1-_a1__m_2_+m_2_-_3_m1__j_

2bc2m22

則：sinA=41-1—5)=,此時：csinA=wx-y=3?則：c=m=2退.

選擇條件③的解析：

Cm

-可r，得日:=一=1,c=b,

bm

與條件c=J的矛盾，則問題中的三角形不存在.

解法二：*.*sinA=y/3sinB,C=—,B=TT-(A+CY

6

sinA=6sin(A+C)=Csin(A+?),

r1

sinA=近sin(714-C)=jcosA—,

sinA=一耳cosA,tanA=-+、：?A=B=C=7,

36

若選①，ac=5/3,,?*a=>/3/?=Wc,**-A/3C2=5/3,?**c=1;

若選②，cs加4=3廁—^=3,‘=26；

2

若選③，與條件c=J的矛盾.

【點(diǎn)睛】

在處理三角形中的邊角關(guān)系時.，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出

現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦

定理時，注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時，注意角的限制范圍.

二、解三角形-面積、周長問題

9.(2020?全國?高考真題(文))AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知

B=150°.

(1)若。=后以b=2幣,求的面積；

(2)若sinA+退sinC=—^",求C.

【答案】⑴有；⑵15°.

【分析】

(1)已知角B和b邊，結(jié)合“，c關(guān)系，由余弦定理建立。的方程，求解得出GJ利用面積

公式，即可得出結(jié)論；

(2)將A=3()o-C代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關(guān)C角的三

角函數(shù)值，結(jié)合C的范圍，即可求解.

【詳解】

(1)由余弦定理可得〃=28=a2+c2-2ac-cosl50°=7c2,

.'.c=2,a=26,:.△ABC的面積S=—acsinB=百；

(2)?.?A+C=30°,

sinA+石sinC=sin(30°-C)+>/3sinC

=geosC+*sinC=sin(C+30°)=#，

0°<C<30°,..30°vC+30°<60°,

.".C+30°=45°,.-.C=15°.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2020?全國?高考真題(理))AABC中，sin2A—sin2B—sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若3c=3,求A/WC周長的最大值.

【答案】(1)y;(2)3+26.

【分析】

(1)利用正弦定理角化邊，配湊出COSA的形式，進(jìn)而求得A；

(2)利用余弦定理可得到(AC+A8)2-ACAB=9,利用基本不等式可求得4c+43的最

大值，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

(1)由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB,

AC2+AB2-BC21

/.cosAA=---------------=——

2ACAB2

???AE（0,A=.

（2）由余弦定理得：BC1=AC2+AB2-2AC-ABcosA=AC2+AB2+AC-AB=9,

即（4C+A8）2_4CA8=9.

巧（當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時取等號），

:.9=（AC+AB）2-AC-AB>（AC+AB）2--。丁，）=；（AC+AB『，

解得：AC+AB<243（當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時取等號），

:.^ABC周長乙=AC+A8+BC43+26,:.^ABC周長的最大值為3+26.

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形

周長最大值的求解問題；求解周長最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基

本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.

11.（2020?北京?高考真題）在中，a+h=\\,再從條件①、條件②這兩個條件中選

擇一個作為已知，求：

（Da的值：

（II）sinC和AA8C的面積.

條件①：c=7,cosA=一;；

[9

條件②：cosA=-,cosB=—.

816

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】選擇條件①（I）8（H）sinC=立，5=673；

2

選擇條件②（I）6（H）sinC=也，S=交互.

44

【分析】

選擇條件①（I）根據(jù)余弦定理直接求解，（II）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得sinA,再根

據(jù)正弦定理求sinC,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；

選擇條件②（I）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得sinAsin8,再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，

（H）根據(jù)兩角和正弦公式求sinC,再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.

【詳解】

選擇條件①（I）?.?C=7,COS4=-La+b=ll

7

■：al=tr+c2-2bccosAa2=(11-a)2+72-2(11-?)?7?(-1)

二.a=8

(II)cosA=-—,Ae(0,TT)sinA=>/l-cos2A=

77

a_c8_7.Ji

由正弦定理得：^4=^C-45=^C，S1T

~T~

S=；6asinC=；(ll-8)x8x^=6"

i9

選擇條件②(I)vcosA=-,cosB=—,A,8w(0㈤

816

/.sinA=Vl-cos2A=^—^-,sinB=Jl-cos.B=

816

a_ba_11-67.a_6

由正弦定理得：高彳一而萬一訪一三萬一”一

~8~~16~

/TT\.'/AD\AnD43幣95幣1幣

(11)sinC=sin(A+B)-sinAcosB+sinncosA=----x——+----x-=——

8161684

_1,.二、二4_15"

Sc——hcisinC——(11—o)xox=-----

2244

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

27t

12.(2021?北京?高考真題)在△ABC中，c=2bcosB,C=y.

(1)求D8；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一

確定，求BC邊上中線的長.

條件①：c=-Jib:

條件②：AABC的周長為4+2后；

條件③：“ABC的面積為氈；

4

【答案】(1)(2)答案不唯一，具體見解析.

【分析】

(1)由正弦定理化邊為角即可求解；

(2)若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；

若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；

若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.

【詳解】

（1）vc=2Z?cosB,則由正弦定理可得sinC=2s弦BcosB,

."28=$出答,，?.（=年，；.研0,32Be（0弓）

.?.28=工，解得B=J：

36

走

（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得￡=州￡=*_=行，

hsinB，

2

與。=傷矛盾，故這樣的AABC不存在；

若選擇②：由（1）可得A=g,

設(shè)A48C的外接圓半徑為R,

7T

則由正弦定理可得Q=/?=2Rsin—=R,

6

c=2/?sin—=^7?,

3

則周長a+b+c=2R+6R=4+2G

解得R=2,則〃=2,c=25/3,

由余弦定理可得5c邊上的中線的長度為：

不（26）+12-2x2>/3xlxcos^=>/7；

■jr

若選擇③：由（1）可得A=二，即。=>，

6

則SA"。=」4〃sinC=」/,解得〃=^/^,

△ABC2224

則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：

++1j_2x喝xc吟=/+；+昌當(dāng)=浮.

13.（2021?全國?高考真題）在A43C中，角A、B、C所對的邊長分別為。、b、。，

b=a+\,c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求AABC的面積;

（2）是否存在正整數(shù)〃，使得AABC為鈍角三角形?若存在，求出〃的值；若不存在，說

明理由.

【答案】(1)(2)存在，且a=2.

4

【分析】

(1)由正弦定理可得出2c=3”，結(jié)合已知條件求出〃的值，進(jìn)一步可求得〃、c的值，利

用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)

果；

(2)分析可知，角C為鈍角，由8sC<0結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)。的值.

【詳解】

(1)因?yàn)?sinC=3sinA,則2c=2(a+2)=3a,則a=4,故b=5,c=6,

cosC=《i"=l,所以，C為銳角，則sinC=Jl-cos2C=邁,

lab88

因此，S△用=~^sinC="x4x5x^^-=；

△布2284

(2)顯然。>人>〃，若AA6c為鈍角三角形，則。為鈍角，

由余弦定理可得cosC二片產(chǎn)礦+(4+1)―(q+2)a1—2a—3

2a(a+l)2a(?+l)

解得一lea<3,貝

由三角形三邊關(guān)系可得a+a+l>a+2,可得。>1,vaeZ,故a=2.

三、解三角形的實(shí)際應(yīng)用

14.(2021?全國?高考真題(理))魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著

作，其中第一題是測海島的高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，。?和RG是兩個垂

直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和E”都稱為

“表目距”，GC與E”的差稱為“表目距的差”則海島的高43=()

、表高x表距表高x表距

表目距的差+衣局表目距的差

表高X表距表高X表距

丁目距的差+衣組丁目距的差

【答案】A

【分析】

利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出.

【詳解】

如圖所示:

DEEHFGCG.

由平面相似可知，-就，而

而，茄DE=FG,所以

DEEHCGCG-EHCG-EH,

------------，而CH=CE-EH=CG—EH+EG,

7B-777"AC-AC-AH

CG—EH+EGEGxDE表高x表距

即AB=xDE=+￡>E=+表息j.

CG-EHCG-EH表目距的差

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出.

15.（2021?浙江?高考真題）在AABC中，ZB=60°,AB=2,M是BC的中點(diǎn),

AM=2布,貝!IAC=,cosZMAC=.

［答案］2如

13

【分析】

由題意結(jié)合余弦定理可得8c=8,進(jìn)而可得AC,再由余弦定理可得cosNM4C.

【詳解】

由題意作出圖形，如圖，

在AABM中，由余弦定理得A"=A82+8M2-2aW3cosB,

^\2=4+BM2-2BMX2X-,解得3M=4(負(fù)值舍去)，

2

所以BC=2BM=2CM=8,

在中，由余弦定理得AC?=A32+3C2-2A8-BC-COSB=4+64-2X2X8XL=52,

2

所以AC=2jH；

AC2+AM2-MC?52+12-162回

在AAMC中,由余弦定理得cosNM4c=

2AMAC2X2^X2A/13-13

故答案為：2而；生絲.

13

16.（2020?全國?高考真題（理））如圖，在三棱錐尸-4BC的平面展開圖中，AC=1,

AB=AD=6,AB±AC,ABA.AD,ZCAE=30°,貝！|cos/FC5=.

F(F)

【答案】二

4

【分析】

在AACE中，利用余弦定理可求得CE,可得出CF,利用勾股定理計算出BC、BD,可得

出BF,然后在△BC尸中利用余弦定理可求得8S/FCB的值.

【詳解】

-.■ABYAC,A8=退，AC=l,

由勾股定理得3C=jAfi2+Ac2=2,

同理得8。=#,；.BF=BD=?,

在AACE中，AC=1,AE=AD=布,NCAE=30。,

由余弦定理得C￡2=AC2+AE2-2AC-AEcos30=1+3-2、1*6*乎=1，

:.CF=CE=\,

在△BCF中，BC=2,BF=GCF=1,

CF2+BC2-BF21+4-6￡

由余弦定理得cosNFC8=

2CF-BC2x1x24

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.

17.(2021?湖南?高考真題)如圖，在“ABC中，4=45。，點(diǎn)。在8C邊上，且CD=2,

(1)求AC的長;

(2)求sinNBA。的值.

【答案】(1)3(2)上也

6

【分析】

(1)由己知利用余弦定理直接求解.

(2)利用N&4D=NADC-NB,結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.

【詳解】

(1)???CD=2,AD=3,cosZADC=-,

3

在AADC中，由余弦定理得8sZADC=A"+C'^_AC'=3、+2-AC」J,

2AD-CD2x3x23

AC2=9,.-.AC=3

(2)???cosZA￡>C=i,所以sin/A￡>C=2^,又由題意可得NB/6ZADC—NB,

33

/.sinZBAD=sin(ZADC-ZB)=sinNADCcosZ.B-cosZADCsinNB

_2>/2V21忘_4-應(yīng)

2--36

18.(2020?江蘇?高考真題)在AA5c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

a—3,c=>/2,B=45°?

(1)求sinC的值;

4

(2)在邊8c上取一點(diǎn)O,使得cosZADC=-g,求tan/D4c的值.

【答案】(1)sinC=或；(2)tanZDAC=—.

511

【分析】

(1)利用余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinC.

(2)根據(jù)cosZADC的值，求得sin/AQC的值，由(1)求得cosC的值，從而求得

sinZDAC,cosZDAC的值，進(jìn)而求得tan/ZMC的值.

【詳解】

(1)由余弦定理得從=a2+c2-2accosB=9+2-2x3x應(yīng)x變=5,所以6=退.

2

由正弦定理得，=±nsinC=晅0=^.

sinCsinBb5

(2)由于cosZADC=-g,ZADCe^-,^,所以sinNADC=Jl-cos?NADC=|.

由于NAOCG(],;T),所以Ce(0,?|,所以cosC=Jl-sin2C=W.

所以sinZDAC=sin(萬一ADAC)=sin(ZADC+ZC)

=sinZADCcosC+cosZADC-sinC=

由于所以cosNZMC=Jl-sin。ZLDAC=誣.

sin/D4C2

所以tanZ.DAC=

cosZDACn

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，屬于中檔題.

19.(2021?全國?高考真題)記AABC是內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,J已知

b2=ac>點(diǎn)。在邊AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若4)=2￡>C,求cosZABC.

,7

【答案】(1)證明見解析；(2)cosZ4BC=—.

【分析】

(1)根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有華，結(jié)合已知即可證結(jié)論.

b

(2)由題設(shè)BQ=/?,A￡)=」,￡)C=7，應(yīng)用余弦定理求cosZADB、cosZ.CDB,又

33

ZADB=7T-ZCDB,可得2/+1=也，結(jié)合己知及余弦定理即可求cosZABC.

a23

【詳解】

asinCc_b即懸

(1)由題設(shè),BD=由正弦定理知:

sinZABCsinCsinZABC

:.BD=%又〃=ac,

b

:.BD=b,得證.

(2)由題意知：BD^b,AD=—,DC^~,

33

,,4/213從2、，從，1O/72,

h~+-----c------ch~+---a-------ar

：.COSZADB=------―=9，同理cosZCDB=———=9

26絲也20空

3333

*：ZADB=7T-ZCDB,

2

\3b22106

???9="J,整理得2/+02="生，又"=用，

4fe~2匕3

.?,+上竽整理得面--。，解得小;或六，

由余弦定理知：cosZABC=a'+c'-b'=,

2ac32h2

當(dāng)［=1時，cosZ48c=2>1不合題意；當(dāng)冬=3時，COSZ4BC=N

h236b'212

7

綜上，cosZABC=一

12

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，根據(jù)余弦定理及4加=萬-4>8得到a,仇c的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已

知條件及余弦定理求cosNA3c.

四、三角部分的綜合問題

20.(2021?天津?高考真題)在角AB,C所對的邊分別為a,6,c,已知

sinA:sinB:sinC=2:1:41,b=-72.

(I)求a的值；

(II)求cosC的值；

(III)求sin(2C-￡|的值.

【答案】(I)2小(11)(IU)湎二1

416

【分析】

(I)由正弦定理可得a:3:c=2:l:應(yīng)，即可求出；

(II)由余弦定理即可計算；

(III)利用二倍角公式求出2c的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.

【詳解】

(I)因?yàn)閟inA:sin8:sinC=2:1:我，由正弦定理可得〃:Z?:c=2:1:血，

?:b=近,a=2>/2,c=2；

222

(ID由余弦定理可得cosC='a^:bJ-c=8+2-4-；3；

2ab2x2^2xy/24

2

(III),/cosC=^-9sinC=-\/l-cosC=,

44

sin2C=2sinCcosC=2xx—=3y,cos2C=2cos2C—1=2x——1=—,

448168

所以(.乃M.n3J7J31130T-1

sin2C-?=sin2Ccos----cos2Csm—=_*_—.........x—=-...........

668x28216

21.(2020?天津?高考真題)在“U5C中，角AB,C所對的邊分別為","c.已知

a=2\f2,h=5,c=y/13.

(I)求角。的大??；

(H)求sinA的值；

(HI)求sin(2A+(］的值.

【答案】(I)c=f；(II)sinA="L(III)疝(24+匹］=小巨

4134J26

【分析】

(I)直接利用余弦定理運(yùn)算即可；

(1【)由(I)及正弦定理即可得到答案；

(III)先計算出sinA,cosA,進(jìn)一步求出sin2A,cos2A,再利用兩角和的正弦公式計算即可.

【詳解】

(I)在AABC中，由a=2應(yīng)力=5,c=及余弦定理得

ca2+h2-c28+25-13-J2

cosC=---------------=--------—=—,

2ab2x2v2x52

TT

又因?yàn)镃e(。㈤，所以八"

(II)在△45C中，由C=i，4=及正弦定理，可得

“asinC2丘哈^3

C而13

(III)由“<c知角A為銳角，由sinA=半，可得cosA=Jl—sin?A=當(dāng)

125

進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-l=—

12425y/2176

所以sin(24+工)=sin2Acos—+cos2Asin—=-x--------1------X---