初中數(shù)學共圓問題知識點與常考難題和培優(yōu)提高練習壓軸題(含解析)

./初中數(shù)學共圓問題提高練習與?？茧y題和培優(yōu)題壓軸題<含解析>問題探究：一個班級的學生正在做投圈游戲,他們呈"一"字型排開,這樣的隊形對每個人公平嗎？你認為他們應當排成什么樣的隊形？怎樣排？四點共圓是平面幾何證題中一個十分有利的工具,四點共圓這類問題一般有以下兩種形式：證明某四點共圓或者以四點共圓為基礎證明若干點共圓；通過某四點共圓得到一些重要結(jié)論,進而解決問題下面給出與四點共圓有關的一些基本知識若干個點與某定點的距離相等,則這些點在一個圓上；在若干個點中有兩點,其他點對這兩點所成線段的視角均為直角,則這些點共圓；若四點連成的四邊形對角互補或有一外角等于它的內(nèi)對角,則這四點共圓；若點在線段的同側(cè),且,則四點共圓；若線段交于點,且,則四點共圓；若相交線段上各有一點,且,則四點共圓.四點共圓問題不但是平面幾何中的重要問題,而且是直線形和圓之間度量關系或者位置關系相互轉(zhuǎn)化的媒介.1．如圖,把直角三角板的直角頂點O放在破損玻璃鏡的圓周上,兩直角邊與圓弧分別交于點M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,則該圓玻璃鏡的半徑是〔A．cm B．5cm C．6cm D．10cm2．正方形的四個頂點和它的中心共5個點能確定個不同的圓．3．如圖,若AD、BE為△ABC的兩條角平分線,I為內(nèi)心,若C,D,I,E四點共圓,且DE=1,則ID=．4．如圖,在△ABC中,AD,BE分別是∠A,∠B的角平分線,O是AD與BE的交點,若C,D,O,E四點共圓,DE=3,則△ODE的內(nèi)切圓半徑為．5．如圖,已知A,B,C,D四點共圓,且AC=BC．求證：DC平分∠BDE．6．如圖,BD,AH分別是△ABC的高,求證：A、B、H、D四點共圓．7．等腰梯形ABCD中,AD∥BC,求證：A,B,C,D四個頂點共圓．8．如圖,四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,點E為AC的中點,則A,B,C,D四點共圓嗎？9．如圖所示,I為△ABC的內(nèi)心,求證：△BIC的外心O與A、B、C四點共圓．10．如圖,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC．求證：B、E、F、C四點共圓．11．O和H分別是△ABC的外心和垂心,若∠BAC=60°,求證：B、0、H、C的共圓．12．如圖,AB為⊙O直徑,BF⊥AB,E為BF上一點,AE和AF交⊙O于C和D,求證：C、D、F、E四點共圓．13．如圖,在△ABC中,AB=AC,延長CA到P,延長AB到Q,使AP=BQ,求證：△ABC的外心O與A,P,Q四點共圓．14．如圖,點F是△ABC外接圓的中點,點D、E在邊AC上,使得AD=AB,BE=EC．證明：B、E、D、F四點共圓．15．如圖,點E,F分別在線段AC,BC上運動〔不與端點重合,而且CE=BF,O是△ABC的外心,證明C,E,O,F四點共圓．16．設△ADE內(nèi)接于圓O,弦BC分別交AD、AE邊于點F、G,且AB=AC,求證：F、D、E、G四點共圓．參考答案1．〔2016?XX如圖,把直角三角板的直角頂點O放在破損玻璃鏡的圓周上,兩直角邊與圓弧分別交于點M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,則該圓玻璃鏡的半徑是〔A．cm B．5cm C．6cm D．10cm[解答]解：如圖,連接MN,∵∠O=90°,∴MN是直徑,又OM=8cm,ON=6cm,∴MN===10〔cm．∴該圓玻璃鏡的半徑是：MN=5cm．故選：B．2．〔2006?XX正方形的四個頂點和它的中心共5個點能確定5個不同的圓．[解答]解：正方形的四個頂點和它的中心的點的距離相等,中心與一邊的兩個端點可以確定一個圓,正方形有四條邊,因而有四個圓；而正方形的四個頂點都在以中心為圓心的圓上,因而能確定5個不同的圓．3．如圖,若AD、BE為△ABC的兩條角平分線,I為內(nèi)心,若C,D,I,E四點共圓,且DE=1,則ID=．[解答]解：連接CI,∵AD、BE為△ABC的兩條角平分線,∴∠BAI=∠BAC,∠IBA=∠ABC,∵∠AIB=180°﹣∠BAI﹣∠IBA,∴∠AIB=180°﹣〔∠CAB+∠CBA,又∵∠ABC+∠CBA+∠ACB=180°,∴∠AIB=90°+∠C,∵C,D,I,E四點共圓,∴∠EID+∠ACB=180°,又∵∠AIB=∠EID,∴90°+∠C+∠C=180°,∴∠ACB=60°,∵I為內(nèi)心,∴∠ICD=30°,∵DE=1,∴=2R,∴R=,∴,∴ID=,故答案為：．4．〔2005?XX校級自主招生如圖,在△ABC中,AD,BE分別是∠A,∠B的角平分線,O是AD與BE的交點,若C,D,O,E四點共圓,DE=3,則△ODE的內(nèi)切圓半徑為3﹣．[解答]解：作OF⊥ED于點F,∵AD,BE分別是∠A,∠B的角平分線,∴∠AOB=90°+∠C,CO平分∠ACB,又∵∠DOE=∠AOB,∠DOE+∠C=180°,∴∠C=60°,∠DOE=∠AOB=120°,又∵OD=OE,∴∠OED=∠ODE=30°,∴FD=,tan30°==,∴FO=,OD=OE=,∴△ODE的周長為：2+3,∴△ODE的面積為：×3×=,∴△ODE的內(nèi)切圓半徑為=3﹣．故答案為：3﹣．5．如圖,已知A,B,C,D四點共圓,且AC=BC．求證：DC平分∠BDE．[解答]證明：∵A,B,C,D四點共圓,∴∠2=∠1,∠3=∠ABC,∵AC=BC,∴∠1=∠ABC,∴∠2=∠3,∴DC平分∠BDE．6．如圖,BD,AH分別是△ABC的高,求證：A、B、H、D四點共圓．[解答]證明：取AB的中點O,連接DO、HO,∵BD,AH分別是△ABC的高,∴△DAB和△HAB都是直角三角形,且它們的斜邊都是AB,∵點O為斜邊中點,∴DO=HO=AB=AO=BO,也就是說,點D、H、B在以O為圓心、OA為半徑的圓上,即點D、H、B、A都在以O為圓心、以OA為半徑的圓上,故可得：A、B、H、D四點共圓．7．等腰梯形ABCD中,AD∥BC,求證：A,B,C,D四個頂點共圓．[解答]證明：如圖：∵ABCD是等腰梯形,且AD∥BC,∴∠A=∠D,∠B=∠C,∠A+∠B=180°．∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．根據(jù)對角互補的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形,所以A,B,C,D四點共圓．8．如圖,四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,點E為AC的中點,則A,B,C,D四點共圓嗎？[解答]解：A,B,C,D四點共圓,理由如下：連結(jié)DE．∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點E為AC的中點,∴EB=EA=EC=AC,∵在Rt△ADC中,∠ADC=90°,點E為AC的中點,∴ED=EA=EC=AC,∴EA=EB=EC=ED,∴A、B、C、D四個點在以E為圓心,AC為直徑的圓上,即A,B,C,D四點共圓．9．如圖所示,I為△ABC的內(nèi)心,求證：△BIC的外心O與A、B、C四點共圓．[解答]證明：連接OB、BI、OC,由O是外心知∠IOC=2∠IBC．由I是內(nèi)心知∠ABC=2∠IBC．從而∠IOC=∠ABC．同理∠IOB=∠ACB．而∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,故∠BOC+∠BAC=180°,于是O、B、A、C四點共圓．10．如圖,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC．求證：B、E、F、C四點共圓．[解答]解：∵AD⊥BC,DE⊥AB,∴∠AED=∠ADB=90°．又∵∠DAE=∠BAD,∴△AED∽△ADB,∴=,即AD2=AE?AB．同理可得AD2=AF?AC,∴AE?AB=AF?AC,即=．又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴∠AEF=∠ACB,∴B、E、F、C四點共圓．11．O和H分別是△ABC的外心和垂心,若∠BAC=60°,求證：B、0、H、C的共圓．[解答]證明：連接BH并延長交AC于E,連接CH并延長交AB于F,連接OB、OC,如圖所示：∵O是三角形的外心,∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°〔同弧所對的圓心角等于圓周角的兩倍又∵垂心為點H,∴BE⊥AC,∴∠ABE=90°,∴∠ABE=90°﹣∠BAC=90°﹣60°=30°,同理：∠ACF=30°,∴∠HBC+∠HCB=180°﹣〔∠BAC+∠ABE+∠ACF=60°,∴∠BHC=180°﹣〔∠HBC+∠HCB=180°﹣60°=120°,∴∠BOC=∠BHC,又∵O,H在BC邊同側(cè),∴B,C,O,HI四點共圓．12．如圖,AB為⊙O直徑,BF⊥AB,E為BF上一點,AE和AF交⊙O于C和D,求證：C、D、F、E四點共圓．[解答]證明：連接BC、CD,如圖所示：∵AB為⊙O直徑,∴∠ACB=90°,∴∠BCE=90°,∴∠BEC+∠EBC=90°,∵BF⊥AB,∴∠ABF=90°,即∠ABC+∠EBC=90°,∴∠ABC=∠BEC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠BEC+∠ADC=180°,∵∠CDF+∠ADC=180°,∴∠BEC=∠CDF,∴C、D、F、E四點共圓．13．如圖,在△ABC中,AB=AC,延長CA到P,延長AB到Q,使AP=BQ,求證：△ABC的外心O與A,P,Q四點共圓．[解答]證明：如圖,作△ABC的外接圓⊙O,作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,連接OP、OQ、OB、OA,∵O是△ABC的外心,∴OE=OF,OB=OA,由勾股定理得：BE2=OB2﹣OE2,AF2=OA2﹣OF2,∴BE=AF,∵AP=BQ,∴PF=QE,∵OE⊥AB,OF⊥AC∴∠OFP=∠OEQ=90°,在Rt△OPF和Rt△OQE中,,∴Rt△OPF≌Rt△OQE,∴∠P=∠Q,∴O、A、P、Q四點共圓,即：△ABC的外心O與點A、P、Q四點共圓．14．〔2009?黃岡校級自主招生如圖,點F是△ABC外接圓的中點,點D、E在邊AC上,使得AD=AB,BE=EC．證明：B、E、D、F四點共圓．[解答]證明：連接FC,FB,則FC=FB．…〔2分連接EF,則△CEF≌△BEF,∴∠BFE=∠CFE．…〔5分∵A,B,F,C共圓,∴∠CAB+∠CFB=180°…〔7分∴∠CAB+2∠BFE=180°．∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB…〔8分∴∠CAB+2∠ADB=180°．∴∠ADB=∠BFE．…〔10分∴B、E、D、F四點共圓．…〔12分15．如圖,點E,F分別在線段AC,BC上運動〔不與端點重合,而且CE=BF,O是△ABC的外心,證明C,E,O,F四點共圓．[解答]證明：如圖,連接OB、OC、OE、OF．∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,又∵AC=BC,∴∠OCB=∠OCA,∴∠OBC=∠OCA,在△ECO與△FBO中,,∴△ECO≌△FBO〔SAS,∴∠EOC=∠FOB,又∠AOC=∠BOC,∴∠EOF=∠COB,又∵EO=OF,∴∠OEF=∠OCF,∴C,E,O,F四點共圓．16．設△ADE內(nèi)接于圓O,弦BC分別交AD、AE邊于點F、G,且AB=AC,求證：F、D、E、G四點共圓．[