湖南省邵陽市邵東縣第三中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析_第1頁
湖南省邵陽市邵東縣第三中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析_第2頁
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湖南省邵陽市邵東縣第三中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.將函數(shù)向左平移個單位,得到的圖象,則滿足()A.圖象關(guān)于點對稱,在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點對稱C.圖象關(guān)于直線對稱,在上的最小值為1D.最小正周期為,在有兩個根2.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個不重合的平面,則下列命題中錯誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則3.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.4.雙曲線的一條漸近線方程為,那么它的離心率為()A. B. C. D.5.已知拋物線:()的焦點為,為該拋物線上一點,以為圓心的圓與的準線相切于點,,則拋物線方程為()A. B. C. D.6.將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,再將圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,若為奇函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.7.設(shè)曲線在點處的切線方程為,則()A.1 B.2 C.3 D.48.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是()A. B. C. D.9.如圖,正方體的棱長為1,動點在線段上,、分別是、的中點,則下列結(jié)論中錯誤的是()A., B.存在點,使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值10.如圖,點E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點,點F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點)上運動,則()A.在點F的運動過程中,存在EF//BC1B.在點M的運動過程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值11.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件12.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個向量,它的長度,若,,則()A. B.C.6 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F,兩曲線的一個交點為P,若|FP|=5,則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.14.函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________.15.已知三棱錐,,是邊長為4的正三角形,,分別是、的中點,為棱上一動點(點除外),,若異面直線與所成的角為,且,則______.16.在中,,點是邊的中點,則__________,________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點,.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個定點Q,使得對任意的實數(shù)m,都有,并證明你的結(jié)論.18.(12分)如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動點,且.(I)求證:為直角三角形;(II)試確定的值,使得二面角的平面角余弦值為.19.(12分)已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,求證:對于,恒成立;(3)若存在,使得當(dāng)時,恒有成立,試求的取值范圍.20.(12分)已知數(shù)列滿足,且,,成等比數(shù)列.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)記數(shù)列的前n項和為,,求數(shù)列的前n項和.21.(12分)如圖:在中,,,.(1)求角;(2)設(shè)為的中點,求中線的長.22.(10分)若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過,則該養(yǎng)殖場考核為合格,該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145(1)從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月,求恰好有2個月考核獲得合格的概率;(2)根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù),求出月利潤y(十萬元)關(guān)于月養(yǎng)殖量x(千只)的線性回歸方程(精確到0.001).(3)預(yù)計在今后的養(yǎng)殖中,月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從(2)中的關(guān)系,若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只,試估計:該月利潤約為多少萬元?附:線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下:,參考數(shù)據(jù):.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項.【詳解】函數(shù),則,將向左平移個單位,可得,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,的對稱中心滿足,解得,所以A、B選項中的對稱中心錯誤;對于C,的對稱軸滿足,解得,所以圖象關(guān)于直線對稱;當(dāng)時,,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,所以在上的最小值為1,所以C正確;對于D,最小正周期為,當(dāng),,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,時僅有一個解為,所以D錯誤;綜上可知,正確的為C,故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡,三角函數(shù)圖象平移變換,正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.2、D【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.4、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為,列出方程,求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為,可得,∴,∴雙曲線的離心率.故選:D.【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)拋物線方程求得點的坐標(biāo),根據(jù)軸、列方程,解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,由于在拋物線上,所以,由于以為圓心的圓與的準線相切于點,根據(jù)拋物線的定義可知,、軸,且.由于,所以直線的傾斜角為,所以,解得,或(由于,故舍去).所以拋物線的方程為.故選:C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線的斜率,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出,根據(jù)是奇函數(shù),可得的取值,再求其最小值.【詳解】解:由題意知,將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,得,再將圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,,因為是奇函數(shù),所以,解得,因為,所以的最小值為.故選:【點睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率,列出a的方程即可求解【詳解】因為,且在點處的切線的斜率為3,所以,即.故選:D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題8、D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐,由此計算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知,該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為,所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選:D【點睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖,考查錐體表面積的計算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【詳解】在A中,因為分別是中點,所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故B錯誤;在C中,由平面幾何得,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出,結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.10、C【解析】

采用逐一驗證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點到平面的距離即點到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯誤由//,平面,平面所以//平面,則點到平面的距離即為點到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.11、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當(dāng)函數(shù)為冪函數(shù)時,,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運算求出和,進而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標(biāo)運算,引入新定義,屬于簡單題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè)點為,由拋物線定義知,,求出點P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到的關(guān)系式,求出雙曲線的漸近線方程,利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2,0),因為點P在拋物線y2=8x上,|FP|=5,設(shè)點為,由拋物線定義知,,解得,不妨取P(3,2),代入雙曲線-=1,得-=1,又因為a2+b2=4,解得a=1,b=,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線為y=±x,由點到直線的距離公式可得,點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì);考查運算求解能力和知識遷移能力;靈活運用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.14、【解析】

求導(dǎo),研究函數(shù)單調(diào)性,分析,即得解【詳解】由題意得,,令,解得,令,解得.在上遞減,在遞增.,而,故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是.故答案為:【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題15、【解析】

取的中點,連接,,取的中點,連接,,,直線與所成的角為,計算,,根據(jù)余弦定理計算得到答案?!驹斀狻咳〉闹悬c,連接,,依題意可得,,所以平面,所以,因為,分別、的中點,所以,因為,所以,所以平面,故,故,故兩兩垂直。取的中點,連接,,,因為,所以直線與所成的角為,設(shè),則,,所以,化簡得,解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.16、2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出,利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中,,,可得因為點是邊的中點,所以故答案為:;.【點睛】本題主要考查了三角形的解法,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)存在,Q為線段中點【解析】

解法一:(1)作出平面與平面的交線,可證平面,計算,,得出,從而得出的大??;(2)證明平面,故而可得當(dāng)Q為線段的中點時.解法二,以為原點,以為建立空間直角坐標(biāo)系:(1)由,利用空間向量的數(shù)量積可求線面角;(2)設(shè)上存在一定點Q,設(shè)此點的橫坐標(biāo)為,可得,由向量垂直,數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】(1)解法一:連接交于,設(shè)與平面的公共點為,連接,則平面平面,四邊形是正方形,,平面,平面,,又,平面,為直線AP與平面所成角,平面,平面,平面平面,,又為的中點,,,,直線AP與平面所成角為.(2)四邊形正方形,,平面,平面,,又,平面,又平面,,當(dāng)Q為線段中點時,對于任意的實數(shù),都有.解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,所以,,,又由,,則為平面的一個法向量,設(shè)直線AP與平面所成角為,則,故當(dāng)時,直線AP與平面所成角為.(2)若在上存在一定點Q,設(shè)此點的橫坐標(biāo)為,則,,依題意,對于任意的實數(shù)要使,等價于,即,解得,即當(dāng)Q為線段中點時,對于任意的實數(shù),都有.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計算,考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)見解析;(II).【解析】

試題分析:(1)取中點,連結(jié),以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明為直角三角形;(2)設(shè),由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果.試題解析:(I)取中點,連結(jié),依題意可知均為正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因為,所以,即,從而為直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,由可得點的坐標(biāo)所以,設(shè)平面的法向量為,則,即解得,令,得,顯然平面的一個法向量為,依題意,解得或(舍去),所以,當(dāng)時,二面角的余弦值為.法二:由(I)可知平面,所以,所以為二面角的平面角,即,在中,,所以,由正弦定理可得,即解得,又,所以,所以,當(dāng)時,二面角的余弦值為.19、(1)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(2)詳見解析;(3).【解析】

試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo)后,利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系,可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上遞減,且,則,故原不等式成立.(3)同(2)構(gòu)造函數(shù),對分成三類,討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,由此求得的取值范圍.試題解析:(1),當(dāng)時,.解得.當(dāng)時,解得.所以單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.(2)設(shè),當(dāng)時,由題意,當(dāng)時,恒成立.,∴當(dāng)時,恒成立,單調(diào)遞減.又,∴當(dāng)時,恒成立,即.∴對于,恒成立.(3)因為.由(2)知,當(dāng)時,恒成立,即對于,,不存在滿足條件的;當(dāng)時,對于,,此時.∴,即恒成立,不存在滿足條件的;當(dāng)時,令,可知與符號相同,當(dāng)時,,,單調(diào)遞減.∴當(dāng)時,,即恒成立.綜上,的取值范圍為.點睛:本題主要考查導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,導(dǎo)數(shù)與不等式的證明,導(dǎo)數(shù)與

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