2023-2024學(xué)年高三核心模擬卷(中)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

-2024學(xué)年高三核心模擬卷（中）數(shù)學(xué)（一）注意事項(xiàng)：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.3.已知向量，若，則與夾角的余弦值為（）A.B.C.D.4.已知，則下列選項(xiàng)中是“”的一個(gè)充分不必要條件的是（）A.B.C.D.5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（）A.B.C.D.6.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，過點(diǎn)作圓的兩條切線和，切點(diǎn)分別為，則（）A.B.C.D.7.在正四棱錐中，是棱上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作平面底面，分別交于點(diǎn)，若，則多面體的體積為（）A.B.C.D.8.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線與的漸近線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，記點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.B.2C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一組數(shù)據(jù)：，若去掉12和45，則剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列結(jié)論正確的是（）A.中位數(shù)不變B.平均數(shù)不變C.方差不變D.第40百分位數(shù)不變10.設(shè)函數(shù)的最大值為1，最小值為-3，若的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸間的距離為，將的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.在上單調(diào)遞增11.已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)，且，過的直線交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程為B.的最小值為4C.若，則的面積為D.若，則的方程為12.在四面體中，，四面體的頂點(diǎn)均在球的表面上，則（）A.當(dāng)平面平面時(shí)，B.球的表面積隨二面角的大小變化而變化C.異面直線與不可能垂直D.與平面所成角的最大值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若的二項(xiàng)展開式的第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則__________.14.已知，則__________.15.圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為，則__________；若，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和__________.16.已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求的面積.18.（本小題滿分12分）某中學(xué)為研究本校高三學(xué)生在縣聯(lián)考中的數(shù)學(xué)成績(jī)，隨機(jī)抽取了100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）作為樣本，并整理成五組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若參與測(cè)試的學(xué)生共12000人，試估計(jì)成績(jī)不低于110分的學(xué)生有多少人？（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中的和兩組抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人得分在范圍內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.19.（本小題滿分12分）如圖，在正三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.20.（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.（本小題滿分12分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線軸，與交于兩點(diǎn)（在上方），且四邊形的面積為的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）已知，是否存在過點(diǎn)的直線與曲線交于（在上方）兩點(diǎn)，使得與的面積比為？若存在，請(qǐng)求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).2023~2024學(xué)年高三核心模擬卷（中）數(shù)學(xué)（一）參考答案1.D復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選D.2.C由題意知或，所以，故錯(cuò)誤；或，故B錯(cuò)誤；，故，故C正確；〔，故D錯(cuò)誤.故選C.3.D由題意知，解得，所以，所以故選D.4.B由，可得，因?yàn)榈姆?hào)不確定，推不出，故A不滿足題意；由，可得，反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故B滿足題意；因?yàn)?，所以不滿足題意.故選B.5.C因?yàn)?，所?不是不等式的解，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，即，所以，又是定義在上的偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的解集為，所以原不等式的解集為.故選C.6.A由題意知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2.因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線過圓心，所以，解得，故點(diǎn)，所以，所以，所以，又，所以，所以.故選A.7.A由題意知多面體是正四棱臺(tái).如圖，分別為正方形和的中心，連接，則在線段上，且平面，易證，所以.因?yàn)?，，所以，又，所以，所以正四棱臺(tái)的體積為.故選A.8.B設(shè)，連接，與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，又，所以是正三角形，且.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又點(diǎn)在直線上，故，所以，所以.故選B.9.AD將原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，方差是，由，得原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個(gè)數(shù)24.將原數(shù)據(jù)去掉12和45，得，其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，方差是，由，得新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)24，故中位數(shù)和第40百分位數(shù)不變，平均數(shù)與方差改變，故A，D正確，B，C錯(cuò)誤.故選AD.10.BCD由題意知解得的最小正周期為，即，所以，故.由，得，所以當(dāng)，即時(shí)，，故在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，B正確；由，得，所以，故C正確；由，得，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選BCD.11.BC由拋物線的定義知，，所以，故的方程為，所以的準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；設(shè)，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為4，故B正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去并整理，得，所以，因?yàn)?，易求得，所以的面積，故C正確；由以上可得，又，，所以，所以，所以，即，解得或（舍去），所以，所以，解得，故直線的方程為，即或，故D錯(cuò)誤.故選BC.12.ACD對(duì)于，由題意得，所以，分別過作的垂線，垂足分別為，則，且，因?yàn)槠矫嫫矫?，易證，所以，所以，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，故的中點(diǎn)到的距離相等，故球心為的中點(diǎn)，且球的半徑為1，故球的表面積為，為定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，假設(shè)，又平面，所以平面，又平面，所以，所以是以為斜邊的直角三角形，所以，與已知矛盾，所以異面直線與不可能垂直，故C正確；對(duì)于，設(shè)與平面所成角為，點(diǎn)到平面的距離為，則，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，與平面所成角最大，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)，即，所以，故D正確.故選ACD.13.18因?yàn)?，且時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，故，所以.14.因?yàn)?，所以，所以，所?（2分）（3分）由題意知，，且都是直角三角形，所以，且，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，又，所以.由，得，所以.16.因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上恒成立，即在上恒成立.令，則，令，則，易得在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.解：（1）在中，因?yàn)?，由正弦定理得又，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?（2）在中，，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去），所以的面積為.18.解：（1）由頻率分布直方圖可知，樣本中成績(jī)不低于110分的學(xué)生占所以若參與測(cè)試的學(xué)生共12000人，估計(jì)成績(jī)不低于110分的學(xué)生有人.（2）由頻率分布直方圖可知，，解得，若用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中的和兩組抽取8人，則來自組的有6人，來自組的有2人，所以的所有可能取值為，則，所以的分布列為123所以.19.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則.因?yàn)樵谡庵?，平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所?因?yàn)?，所以四邊形為正方形，所以又平面，所以平?又平面，所以.（2）解：由（1）知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以由，得，所以，所以，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，得，所以.易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.解：（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，即，又，所以.當(dāng)時(shí)，所以，即，整理得，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）得當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，則，令，所以，兩式相減，得，所以，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以21.解：（1）設(shè)的焦距為，則，代入橢圓的方程，得，解得，所以.由，得，由，得，又，所以，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，，假設(shè)存在直線，使得，若不存在斜率，則，故，，不合題意；若存在斜率，設(shè)的方程為，直線的方程為，所以直線過點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，設(shè)，則，所以.聯(lián)立消去并整理得，則，又，所以，所以，解得，所以的方程為，故存在直線，使得，且直線的方程為.22.解：（1）由題意得的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（2），令，則.因?yàn)榈亩x域?yàn)?，故的零點(diǎn)與的零點(diǎn)相同，所以下面研究函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).由，得.當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又，故此