專題07反比例函數與獲取最大利潤（6個知識點9種題型2個易錯點）（解析版）

專題07反比例函數與獲取最大利潤（6個知識點9種題型2個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1反比例函數的概念知識點2反比例函數圖象的畫法知識點3反比例函數圖象和性質知識點4反比例函數表達式的確定知識點5反比例函數的實際應用知識點6獲得最大利潤【方法二】實例探索法題型1根據反比例函數的概念求字母參數的值題型2確定反比例函數的表達式題型3反比例函數的圖像題型4反比例函數性質應用題型5反比例函數中系數k的幾何意義題型6反比例函數的實際應用題型7反比例函數與一次函數的綜合題型8反比例函數中圖形的面積問題題型9獲得最大利潤問題【方法三】差異對比法易錯點1忽略點所在的象限易錯點2在實際問題中，易忽略反比例函數中自變量的取值范圍【方法四】成果評定法【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1反比例函數的概念如果兩個變量的每一組對應值的乘積是一個不等于零的常數，那么就說這兩個變量成反比例.即，或表示為，其中是不等于零的常數.一般地，形如(為常數，)的函數稱為反比例函數，其中是自變量，是因變量，定義域是不等于零的一切實數.要點詮釋：（1）在中，自變量是分式的分母，當時，分式無意義，所以自變量的取值范圍是，函數的取值范圍是.故函數圖象與軸、軸無交點；（2）()可以寫成()的形式，自變量的指數是－1，在解決有關自變量指數問題時應特別注意系數這一條件.（3）()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數的比例系數，從而得到反比例函數的解析式.【例1】1、在下列函數關系式中，哪些函數表示是的反比例函數？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（，是常數）【答案與解析】解：根據反比例函數的形式及其關系式，，可知反比例函數有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)．【總結升華】根據反比例函數的概念，必須是形如(為常數，)的函數，才是反比例函數．如(2)(3)(6)(8)均符合這一概念的要求，所以它們都是反比例函數．但還要注意(為常數，)常見的變化形式，如，等，所以(4)(7)也是反比例函數．在(5)中，是的反比例函數，而不是的反比例函數．(1)中是的正比例函數．知識點2反比例函數圖象的畫法知識點3反比例函數圖象和性質1、反比例函數的圖象特征：反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數的圖象關于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.要點詮釋：（1）若點()在反比例函數的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數的圖象關于原點對稱；（2）在反比例函數(為常數，)中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠不能達到軸和軸．2、反比例函數的性質（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內，值隨值的增大而增大；要點詮釋：反比例函數的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內的增減情況，反比例函數的增減性都是由反比例系數的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數的增減性，也可以推斷出的符號.【例2】在函數（為常數）的圖象上有三點()，()，()，且，則的大小關系是（）．A．B．C．D．【答案】D；【解析】解：當時，反比例函數的圖象在第二、四象限，且在每個象限內，隨的增大而增大．此題中需要注意的是()，()，()不在同一象限內．因為，所以函數圖象在第二、四象限內，且在第二、四象限內，隨的增大而增大．因為，所以．因為在第四象限，而，在第二象限，所以．所以．【總結升華】已知反比例函數，當＞0，＞0時，隨的增大而減小，需要強調的是＞0；當＞0，＜0時，隨的增大而減小，需要強調的是＜0．這里不能說成當＞0，隨的增大而減?。绾瘮?，當＝－1時，＝－2，當＝1時，＝2，自變量由－1到1，函數值由－2到2，增大了．所以，只能說：當＞0時，在第一象限內，隨的增大而減?。咀兪健恳阎膱D象在第二、四象限，(1)求的值．(2)若點(－2，)、(－1，)、(1，)都在雙曲線上，試比較、、的大?。敬鸢浮拷猓?1)由已知條件可知：此函數為反比例函數，且，∴.(2)由(1)得此函數解析式為：．∵(－2，)、(－1，)在第二象限，－2＜－1，∴．而(1，)在第四象限，．∴知識點4反比例函數表達式的確定確定反比例函數關系式的方法仍是待定系數法，由于反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要知道一對的對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數法求反比例函數關系式的一般步驟是：（1）設所求的反比例函數為：()；（2）把已知條件（自變量與函數的對應值）代入關系式，得到關于待定系數的方程；（3）解方程求出待定系數的值；（4）把求得的值代回所設的函數關系式中.【例3】已知正比例函數和反比例函數的圖象都過點A(，1)．求此正比例函數的關系式及另一個交點的坐標．【答案與解析】解：因為的圖象經過點A(，1)，則，所以＝3．把A(3，1)代入中，得，所以．所以正比例函數關系式為．由得．當時，；當時，．所以另一個交點的坐標為(－3，－1)．【總結升華】確定解析式的方法是特定系數法，由于正比例函數中有一個待定系數，因此只需一對對應值即可．【變式】已知與成反比，且當時，，則當時，值為多少？【答案】解：設，當時，，所以，則＝－24，所以有．當時，．知識點5反比例函數的實際應用過雙曲線()上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.要點詮釋：只要函數式已經確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標軸的垂線和兩坐標軸圍成的面積始終是不變的.【例4】如圖，已知A（﹣4，n），B（1，﹣4）是一次函數y=kx+b的圖象和反比例函數的圖象的兩個交點．（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（請直接寫出答案）．【思路點撥】（1）將B坐標代入反比例解析式中求出m的值，即可確定出反比例解析式；將A坐標代入反比例解析式求出n的值，確定出A的坐標，將A與B坐標代入一次函數解析式中求出k與b的值，即可確定出一次函數解析式；（2）對于直線AB，令y=0求出x的值，即可確定出C坐標，三角形AOB面積=三角形AOC面積+三角形BOC面積，求出即可；（3）由兩函數交點A與B的橫坐標，利用圖象即可求出所求不等式的解集．【答案與解析】解：（1）∵反比例函數y=（m≠0）過點B（1，﹣4），∴m=1×（﹣4）=﹣4，∴y=﹣，將x=﹣4，y=n代入反比例解析式得：n=1，∴A（﹣4，1），∴將A與B坐標代入一次函數解析式得：，解得：，∴y=﹣x﹣3；（2）在直線y=﹣x﹣3中，當y=0時，x=﹣3，∴C（﹣3，0），即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△COB=（3×1+3×4）=；（3）不等式kx+b﹣＜0的解集是﹣4＜x＜0或x＞1．【變式】如圖，反比例函數圖象在第一象限的分支上有一點C（1，3），過點C的直線y=kx+b〔k＜0〕與x軸交于點A．（1）求反比例函數的解析式；（2）當直線與反比例函數的圖象在第一象限內的另一交點的橫坐標為3時，求△COD的面積．【答案】解：（1）∵點C（1，3）在反比例函數圖象上，∴k=1×3=3，∴；（2）當x=3時，y=1，∴D（3，1）．∵C（1，3）、D（3，1）在直線y=k2x+b上，∴，∴．∴y=﹣x+4．令y=0，則x=4，∴A（4，0），∴S△COA=×4×3=6，S△DOA=×4×1=2，∴△COD的面積=S△COA﹣S△DOA=6﹣2=4．知識點6獲得最大利潤（1）利用二次函數解決利潤問題在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數模型解決實際問題利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【方法二】實例探索法題型1根據反比例函數的概念求字母參數的值1．（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）若函數是反比例函數，則m的值是．【解答】解：因為函數y＝（m﹣1）x是自變量為x的反比例函數，所以m2﹣2＝﹣1，m﹣1≠0，所以m＝﹣1．故答案為：﹣1．題型2確定反比例函數的表達式2．（2022秋?宣州區(qū)期末）已知反比例函數y＝的圖象經過點（2，﹣3），則此函數的關系式是．【解答】解：∵反比例函數y＝的圖象經過點（2，﹣3），∴﹣3＝，解得k＝﹣6，∴反比例函數解析式為y＝﹣．故答案為：y＝﹣．題型3反比例函數的圖像3．（2023?蜀山區(qū)校級一模）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則反比例函數y＝﹣與一次函數y＝bx﹣c在同一坐標系內的圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：觀察二次函數圖象可得出：a＞0，﹣＞0，c＞0，∴b＜0．∴反比例函數y＝﹣的圖象在第二、四象限，一次函數y＝bx﹣c的圖象經過第二、三、四象限，故選：A．4．（2023?南陵縣二模）二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數y＝bx+c和反比例函數y＝在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：∵二次函數圖象開口方向向下，∴a＜0，∵對稱軸為直線x＝﹣＞0，∴b＞0，∵與y軸的負半軸相交，∴c＜0，∴y＝bx+c的圖象經過第一、三、四象限，反比例函數y＝圖象在第二四象限，只有D選項圖象符合．故選：D．題型4反比例函數性質應用5．（2023?無為市一模）下列關于反比例函數y＝的描述中，正確的是（）A．圖象在第二、四象限 B．當x＜0時，y隨x的增大而減小 C．點（﹣1，3）在反比例函數的圖象上 D．當x＜1時，y＞3【解答】解：A、，k＝3＞0，則圖象在第一、三象限，選項說法錯誤，不符合題意；B、，k＝3＞0，則圖象在第一、三象限，所以當x＜0時，y隨x的增大而減小，選項說法正確，符合題意C、（﹣1）×3＝﹣3，點（﹣1，3）不在反比例函數的圖象上，選項說法錯誤，不符合題意；D、，圖象在第一、三象限，當x＜1時，y＜3，選項說法錯誤，不符合題意．故選：B．6．（2022秋?宣城期末）反比例函數的圖象的一個分支在第二象限，則m的取值范圍是．【解答】解：∵反比例函數的圖象的一個分支在第二象限，∴m﹣2＜0，解得m＜2．故答案為：m＜2．7．（2022秋?池州期末）已知反比例函數y＝的圖象在第一、三象限內，則k（）A．k＞2 B．k≥2 C．k＜2 D．k≤2【解答】解：∵反比例函數y＝的圖象在第一、三象限內，∴2﹣k＞0，∴k＜2，故選：C．8．（2023?合肥一模）下列函數中，當x＞0時，y隨x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝﹣x2﹣1 D．【解答】解：A、y＝﹣2x+1，一次函數k＜0，故y隨著x增大而減小，故A不符合題意；B、y＝（x+1）2+1，圖象開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，當x＞0時，y隨x的增大而增大，故B符合題意．C、y＝﹣x2﹣1，二次函數a＜0，故當圖象在對稱軸右側，y隨著x的增大而減?。欢趯ΨQ軸左側（x＜0），y隨著x的增大而增大，故C不符合題意；D、y＝，k＝1＞0，在每個象限里，y隨x的增大而減小，故D不符合題意．故選：B．9．（2023?蕪湖模擬）已知函數，（k＞0）．當1≤x≤3時，函數y1的最大值為a，函數y2的最小值為a﹣4，則k＝．【解答】解：∵函數y1＝（k＞0），當1≤x≤3時，函數y1的最大值為a，∴x＝1時，y＝k＝a，∵y2＝（k＞0），當1≤x≤3時，函數y2的最小值為y＝a﹣4，∴當x＝1時，y＝﹣k＝a﹣4，∴k＝4﹣a，故a＝4﹣a，解得：a＝2．則：k＝4﹣2＝2．故答案為：2．題型5反比例函數中系數k的幾何意義10．（2023?雨山區(qū)一模）如圖，點P為反比例函數y＝上的一動點，作PD⊥x軸于點D，△POD的面積為k，則函數y＝kx﹣1的圖象為（）A． B． C． D．【解答】解：設P點坐標為（x，y），∵P點在第一象限且在函數y＝的圖象上，∴xy＝2，∴S△OPD＝xy＝×2＝1，即k＝1．∴一次函數y＝kx﹣1的解析式為：y＝x﹣1，∴一次函數的圖象經過點（0，﹣1），（1，0）的直線．故選：A．11．（2023?南譙區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，反比例函數的部分圖象如圖所示，AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，若△ABP的面積為2，則k的值為．【解答】解：∵AB⊥y軸，∴AB∥x軸，∴S△AOB＝S△ABP＝2，∵S△AOB＝|k|，∴|k|＝4，∵反比例函數y＝在第二象限，∴k＝﹣4，故答案為：﹣4．12．（2023?杜集區(qū)校級模擬）如圖，兩個反比例函數y＝和y＝在第一象限內的圖象依次是C1和C2，設點P在C1上，PC⊥x軸于點C，交C2于點A，PD⊥y軸于點D，交C2于點B，若四邊形PAOB的面積為5，則k＝．【解答】解：∵PC⊥x軸，PD⊥y軸，∴S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD＝＝，∴四邊形PAOB的面積＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝k﹣﹣＝5．解得k＝8．故答案是：8．題型6反比例函數的實際應用13．（2023?安徽一模）如圖，將一長方體A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強p（Pa）與受力面積S（m2）的關系如表所示（與長方體A相同重量的長方體均滿足此關系）．桌面所受壓強p（Pa）100200400800受力面積S（m2）210.50.25（1）根據如表數據，求桌面所受壓強p（Pa）與受力面積S（m2）之間的函數表達式；（2）現(xiàn)想將另一長、寬、高分別為0.2m，0.1m，0.3m，且與長方體相同重量的長方體按如圖所示的方式放置于該水平玻璃桌面上．若該玻璃桌面能承受的最大壓強為5000Pa，請你判斷這種擺放方式是否安全？并說明理由．【解答】解：（1）由表格可知，壓強P與受力面積S的乘積不變，故壓強P是受力面積S的反比例函數，設，將（400，0.5）代入得：k＝400×0.5＝200，∴；（2）這種擺放方式不安全，理由如下：由圖可知s＝0.1×0.2＝0.02，∴將長方體放置于該水平玻璃桌面上，，∵10000＞5000，∴這種擺放方式不安全．14．（2022秋?宣城期末）學校下午放學時校門口的“堵塞”情況已成為社會熱點問題，某校對本校下午放學校門口“堵塞”情況做了一個調查發(fā)現(xiàn)：每天放學時間2分鐘后校門外學生流量變化大致可以用“擁擠指數”y（%）與放學后時間x（分鐘）的函數關系描述．如圖，2～12分鐘呈二次函數狀態(tài)，且在第12分鐘達到該函數最大值100，此后變化大致為反比例函數的圖象向右平移4個單位得到的曲線趨勢．若“擁擠指數”y≥36，校門外呈現(xiàn)“擁擠狀態(tài)”，需要志愿者維護秩序、疏導交通．（1）求該二次函數的解析式和k的值；（2）“擁擠狀態(tài)”持續(xù)的時間是否超過20分鐘？請說明理由．【解答】解：（1）設該二次函數的解析式為y＝a（x﹣12）2+100，把點（2，0）代入，得100a+100＝0，解得：a＝﹣1，∴所求二次函數的解析式為y＝﹣（x﹣12）2+100，把點（12，100）向左平移4個單位，得（8，100），代入得：k＝800；（2）解：超過20分鐘，理由如下：由y＝﹣（x﹣12）2+100＝36解得：x1＝4，x2＝20（舍去），由，解得：，，而，所以“擁擠狀態(tài)”持續(xù)的時間超過20分鐘．題型7反比例函數與一次函數的綜合15．（2023?花山區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x與反比例函數0）的圖象交于點A，將直線y＝x沿y軸向上平移b個單位長度，交x軸于點C，交反比例函數圖象于點B，若BC＝2OA，則b的值為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【解答】解：∵直線y＝x與反比例函數0）的圖象交于點A，∴解得或，∴A（2，2），∵BC＝2OA，∴B的縱坐標為4，把y＝4代入y＝得，x＝1，∴B（1，4），∵將直線y＝x沿y軸向上平移b個單位長度，得到直線y＝x+b，∴把C的坐標代入得4＝1+b，求得b＝3，故選：D．16．（2023?全椒縣一模）反比例函數與一次函數y＝x+m的圖象交于點C（a，1）和點D（b，4），一次函數y＝x+m的圖象分別與x，y軸交于點A（﹣5，0）和點B．當x＜0時，不等式的解集為．【解答】解：∵一次函數y＝x+m的圖象分別與x，y軸交于點A（﹣5，0）和點B，∴0＝﹣5+m，∴m＝5，∴y＝x+5，∵反比例函數與一次函數y＝x+m的圖象交于點C（a，1）和點D（b，4），∴1＝a+5，4＝b+5，∴a＝﹣4，b＝﹣1，∴C（﹣4，1），D（﹣1，4），由圖象可知：的解集為：﹣4≤x≤﹣1；故答案為：﹣4≤x≤﹣1．題型8反比例函數中圖形的面積問題17．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數與一次函數y＝x的圖象交于點A，反比例函數圖象上一點B繞原點O逆時針旋轉45°至點B'，且AB′＝OB′，如果△OAB′的面積是1，則k＝．【解答】解：作BE⊥x軸，B′F⊥OA，連接OB，∵AB′＝OB′，∴∠OB′F＝∠AB′F，∴△OB′F≌△AB′F（SAS），∴S△OB′F＝S△OAB′＝，∵OA：y＝x，∴∠AOE＝45°，∵∠BOB′＝45°，∴∠B′OF＝∠BOE，∵OB＝OB′，∴△OB′F≌△BOE（ASA），∴S△OBE＝，∴＝，∵k＞0，∴k＝1．故答案為：118．（2023?宣州區(qū)三模）如圖，一次函數y＝﹣x+b的圖象與反比例函數的圖象交于A、B兩點，A點坐標為（﹣2，3）．（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）已知M（m，0），若△ABM的面積為10，求m的值．【解答】解：（1）把A（﹣2，3）代入y＝﹣x+b得：3＝2+b，解得b＝1，∴一次函數的解析式為y＝﹣x+1，把A（﹣2，3）代入y＝得：3＝，解得k＝﹣6，∴反比例函數的解析式為y＝﹣；（2）在y＝﹣x+1中，令y＝0得﹣x+1＝0，解得x＝1，∴C（1，0），∵M（m，0），∴CM＝|1﹣m|，由，解得或，∴B（3，﹣2），∵△ABM的面積為10，∴S△ABM＝S△ACM+S△BCM＝CM?（3+2）＝，解得m＝﹣3或5．19．（2023?合肥二模）如圖，一次函數y＝ax+b的圖象與反比例函數的圖象交于A（1，4），B（n，﹣1）．（1）求a，b，k的值；（2）觀察圖形，直接寫出不等式的解集；（3）延長BO交反比例函數圖形于點P，求△PAO的面積．【解答】解：∵反比例函數的圖象經過A（1，4），B（n，﹣1），∴k＝1×4＝﹣n，∴k＝4，n＝﹣4，∴B（﹣4，﹣1），∵點A、B在y＝ax+b的圖象上，∴，解得；（2）不等式的解集為x＜﹣4或0＜x＜1；（2）由（1）可知一次函數為y＝x+3，令y＝0，則x+3＝0，∴x＝﹣3，∴C（﹣3，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝，∵延長BO交反比例函數圖形于點P，∴點P與點B關于原點對稱，∴OP＝OD，∴S△PAO＝S△AOB＝．20．（2023?蜀山區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點A（5，0），C（﹣3，4），點B在反例函數的圖象上，一次函數y＝kx+b的圖象與雙曲線相交于B、D兩點，且D點的橫坐標為﹣1．（1）求一次函數的解析式；（2）求△ABD的面積；（3）直接寫出的解集．【解答】解：（1）分別過點C、B作x軸的垂線，垂足分別為M、N，∵四邊形OABC為菱形，則AB＝CO＝CB＝AO＝5，在Rt△COM中，由點C的坐標知，OM＝3，CM＝4＝BN，在Rt△ABN中，AB＝5，BN＝4，則AN＝3，則點N（2，0），點B（2，4），將點B的坐標代入反比例函數表達式得：k＝2×4＝8，則反比例函數表達式為：y＝，當x＝﹣1時，y＝＝﹣8，即點D（﹣1，﹣8），設直線BD的表達式為：y＝k（x+1）﹣8，將點B的坐標代入上式得：4＝k（2+1）﹣8，解得：k＝4，故直線BD的表達式為：y＝4x﹣4，即一次函數的表達式為：y＝4x﹣4；（2）令y＝4x﹣4＝0，則x＝1，即點E（1，0），則△ABD的面積＝S△AEB+S△AED＝AE×（yB﹣yD）＝（5﹣1）×（4+8）＝24；（3）從圖象看，的解集為：x＜﹣1或0＜x＜2．題型9獲得最大利潤問題21．（2022秋?禹會區(qū)校級月考）某景區(qū)旅店有30張床位，每床每天收費10元時，可全部租出，若每床每天收費提高5元，則有1張床位不能租出；若每床每天收費再提高5元，則再有1張床位不能租出；若每次按提高5元的這種方法變化下去，則該旅店每天營業(yè)收入最多為（）A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元【解答】解：設每床每晚收費提高x個5元，旅店每天營業(yè)收入為y元，根據題意得：y＝（10+5x）（30﹣x）＝﹣5x2+140x+300＝﹣5（x﹣14）2+1280，∴當x＝14時，y最大，最大值為1280元，∴該旅店每天營業(yè)收入最多為1280元，故選：D．22．（2022秋?定遠縣期中）2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產銷一種消毒液，設每天產銷量為x瓶，每日產銷這種消毒液的有關信息如下表：（產銷量指生產并銷售的數量，生產多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）．若該消毒液的單日產銷利潤y元，當銷量x為多少時，該消毒液的單日產銷利潤最大（）消毒液每瓶售價（元）每瓶成本（元）每日其他費用（元）每日最大產銷量（瓶）30181200+0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．550【解答】解：設每日產銷利潤為w元，由題意可得：w＝（30﹣18）x﹣（1200+0.02x2）＝﹣0.02（x﹣300）2+600，∴當x＜300時，w隨x的增大而將增大，∵x≤250，∴當x＝250時，w取得最大值，此時w＝550，故選：A．23．（2023?明光市二模）牛草山奶牛養(yǎng)殖場如今達到了日產鮮奶500千克的規(guī)模．根據以前市場銷售經驗，如果鮮奶售價為20元/千克，每天可售出鮮奶400千克，鮮奶售價每提高1元，日銷售鮮奶數量將減少10千克，每天沒能銷售的鮮奶全部按10元/千克的價格廉價賣給奶制品加工廠．養(yǎng)殖場研究決定將鮮奶的售價提高到x元/千克，而當地物價部門結合本地收入與消費水平規(guī)定鮮奶售價不超過40元/千克，設養(yǎng)殖場每天鮮奶總銷售收入為y元．（1）求y與x之間的函數表達式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）鮮奶售價定為多少時，養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最多？養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最多是多少元？【解答】解：（1）設鮮奶售價為x元/千克，則按照此價格日銷售鮮奶數量為：400﹣10（x﹣20）＝（﹣10x+600）千克，剩余500﹣（﹣10x+600）＝（10x﹣100）千克，則y＝（﹣10x+600）x+10（10x﹣100）＝﹣100x2+700x﹣1000，∵20≤x≤40，∴y＝﹣10x2+700x﹣1000（20≤x≤40）；（2）由（1）可得，y是x的二次函數，其對稱軸為直線＝﹣＝35，∵﹣10＜0，∴拋物線開口向下，當x＝35時，y有最大值，最大值為﹣10×352+700×35﹣1000＝11250，∴鮮奶售價定為35元時，養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最多，最多是11250元．【方法三】差異對比法易錯點1忽略點所在的象限24．（2023?蚌山區(qū)二模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函數y＝（k＞0）的圖象上，x1＜0＜x2＜x3，則y1，y2，y3的大小關系是．【解答】解：∵反比例函數y＝中k＞0，∴函數圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內，y隨x的增大而減?。選1＜0＜x2＜x3，∴B、C兩點在第一象限，A點在第三象限，∴y1＜y3＜y2．故答案為y1＜y3＜y2．易錯點2在實際問題中，易忽略反比例函數中自變量的取值范圍25．（2023?合肥一模）阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”這句話精辟地闡明了一個重要的物理學知識——杠桿原理，即“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”．若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m，則這一杠桿的動力F和動力臂l之間的函數圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝動力×動力臂，且阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m，∴動力F關于動力臂l的函數解析式為：1200×0.5＝Fl，即，是反比例函數，又∵動力臂l＞0，故B選項符合題意．故選：B．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預測）點在反比例函數圖象上，則下列各點在此函數圖象上的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵點在反比例函數的圖象上，∴，∴此函數圖象上點的坐標特征為：，∵，，，，∴在此函數圖象上，故B正確．2．（2020秋·安徽蚌埠·九年級校聯(lián)考階段練習）服裝店將進價為每件100元的服裝按每件x（x＞100）元出售，每天可銷售（200﹣x）件，若想獲得最大利潤，則x應定為（）A．150元 B．160元 C．170元 D．180元【答案】A【詳解】解：設獲得的利潤為y元，由題意得：∵a＝﹣1＜0∴當x＝150時，y取得最大值2500元．3．（2023·安徽淮南·九年級統(tǒng)考階段練習）如果等腰三角形的面積為10，底邊長為x，底邊上的高為y，則y與x的函數關系式為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵等腰三角形的面積為10，底邊長為x，底邊上的高為y，∴，∴y與x的函數關系式為：．4．（2023秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）已知點、是反比例函數圖象上的一點，則b的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】解：∵點、是反比例函數圖象上的一點，∴，解得．5．（2023秋·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考期末）已知為雙曲線上的三個點，且，則以下判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】解：∵，∴雙曲線圖象在第二，四象限，A、當時，不能判斷符號，選項錯誤，不符合題意；B、當時，不能判斷符號，選項錯誤，不符合題意；C、當時，不能判斷符號，選項錯誤，不符合題意；D、當時，則，∴在第二象限，在第四象限，∴，選項正確，符合題意．6．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）反比例函數的圖像大致是圖中的（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】對于反比例函數，比例系數，∴函數圖像是位于二四象限的雙曲線．7．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）二次函數的圖像如圖所示，則一次函數與反比例函數在同一坐標系內的大致圖像是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：由二次函數的圖像可得，，，，∴，根據，，即可得到一次函數圖像過一二四象限，根據，可得反比例函數圖像過二四象限，8．（2021·安徽·九年級專題練習）二次函數y=x2+px+q，當0≤x≤1時，此函數最大值與最小值的差（

）A．與p、q的值都有關 B．與p無關，但與q有關C．與p、q的值都無關 D．與p有關，但與q無關【答案】D【詳解】解：依題意得：當時，端點值，當時，端點值，當時，函數最小值，由二次函數的最值性質可知，當0≤x≤1時，此函數最大值和最小值是、、其中的兩個，所以最大值與最小值的差可能是或或，故其差只含p不含q，故與p有關，但與q無關9．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如果反比例函數（a是常數）的圖象在第一、三象限，那么a的取值范圍是（）A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2【答案】D【詳解】解：反比例函數（a是常數）的圖象在第一、三象限，，．10．（2023·安徽·九年級專題練習）反比例函數y＝的一個分支與一次函數y＝x+5圖象如圖所示，若點A（a，1），點B（﹣2，b）都在函數y＝x+5上，則k的值可能為（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6【答案】B【詳解】解：∵點A（a，1），點B（﹣2，b）都在函數y＝x+5上，∴a+5＝1，b＝﹣2+5，∴a＝﹣4，b＝3，∴A（﹣4，1），B（﹣2，3），由圖象可知，，解得﹣6＜k＜﹣4，∴k的值可能為﹣5，二、填空題11．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）已知函數是關于的反比例函數，則的值是．【答案】【詳解】∵函數是關于的反比例函數，∴，，∴，12．（2023·安徽滁州·?？寄M預測）若點，，都在反比例函數的圖象上，且，則，，的大小關系為．【答案】【詳解】解：∵反比例函數，∴函數圖象位于第一三象限，在每一個象限內y隨x的增大而減小，∵，∴，，∴；13．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）已知函數，當時，函數的最大值為a，函數的最小值為，則k＝．【答案】2【詳解】解：函數，當時，函數的最大值為，時，，，當時，函數的最小值為，當時，，，故，解得：．則：．14．（2023秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）反比例函數的圖象的一個分支在第二象限，則m的取值范圍是．【答案】【詳解】解：反比例函數的圖象的一個分支在第二象限，，解得，15．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，點A、B分別是線段與反比例函數，交點，其中，則k的值為．

【答案】【詳解】解：設，，，，．16．（2023·安徽六安·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸上，頂點在軸上，矩形的邊在上，．反比例函數的圖象經過點，則陰影部分面積為．

【答案】4【詳解】解：如圖所示，設與交于點，

設，，在矩形和矩形中，，，，∴，，∵反比例函數的圖象經過點，∴，17．（2023·安徽·一模）如圖，點A、點B是函數y=的圖象上關于坐標原點對稱的任意兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，△ABC的面積是8，則k的值是．

【答案】【詳解】如圖，∵反比例函數的圖象在第一、三象限，∴k﹥0，∵BC∥x軸，AC∥y軸，∴，∵點A、點B是函數y=的圖象上關于坐標原點對稱的任意兩點，∴，∵△ABC的面積是8，∴，解得：k=4，

18．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與雙曲線交于兩點，直線與雙曲線在第一象限交于點C，連接．（1）點A的坐標是；（2）的面積是．【答案】【詳解】（1）∵點在雙曲線上，∴，∴．∵點在雙曲線上，∴，∴故答案為：（2）如圖，過點B作軸，過點C作軸，和交于點G，過點B作軸，過點A作軸，和交于點E，與交于點F．∵直線BO與雙曲線在第一象限交于點C，點，∴點C的坐標為．∵點，,，∴，∴．三、解答題19．（2023秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數的圖象經過點(1)求k的值．(2)點均在反比例函數的圖象上，若，比較的大小關系．【答案】(1)9(2)當或時，；當時，【詳解】（1）解：把點代入到反比例函數中得，，解得，∴k的值為9．（2）解：由（1）得反比例函數解析式為，∵，∴反比例函數經過第二，四象限，在每個象限內y隨x增大而增大，∵點都在反比例函數的圖象上，∴當或時，；當時，．20．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點，．(1)求，的值．(2)請在網格中畫出一次函數的圖象，結合圖象，直接寫出當時，自變量的取值范圍．【答案】(1)，(2)函數圖象見解析，或【詳解】（1）解：將代入反比例函數，得解得：，∴，將，，代入一次函數，得，解得：∴；（2）解：如圖所示，觀察圖象，當時，自變量的取值范圍為或．21．（2023秋·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數的解析式和n的值；(2)根據圖象直接寫出不等式的解集．【答案】(1)反比例函數的解析式是；(2)或【詳解】（1）解：，在的圖象上，，反比例函數的解析式是．；（2）解：由圖象可得，當或時，．22．（2023春·安徽黃山·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，拋物線與x軸的交點為B，A（B在A左側），過線段的中點M作軸，交雙曲線于點P．(1)當時，求長；(2)當點M與對稱軸之間的距離為2時，求點P的坐標．(3)在拋物線平移的過程中，當拋物線的對稱軸落在直線和之間時（不包括邊界），求的取值范圍．【答案】(1)5(2)或(3)【詳解】（1）解：當時，拋物線的解析式為，令，得，解得，，B在A左側，，，；（2）解：中，令，得，解得，，B在A左側，，，拋物線的對稱軸為，M是線段的中點，，當點M與對稱軸之間的距離為2時，，即，解得或，或，軸，交雙曲線于點P，點P的橫坐標為或，當時，，當時，，或；（3）解：由（2）知拋物線的對稱軸為，當拋物線的對稱軸落在直線和之間時（不包括邊界），，解得，即的取值范圍為．23．（2023·安徽淮北·?？家荒＃┠尘W店店主購進A，B兩種型號的裝飾鏈，其中A型裝飾鏈的進貨單價比B型裝飾鏈的進貨單價多20元，且消費500元購進A型裝飾鏈的數量與消費400元購進B型裝飾鏈的數量相等．銷售中發(fā)現(xiàn)A型裝飾鏈每月的銷售量（個