2024屆山西省省際名校高考沖刺六數(shù)學(xué)試題

2024屆山西省省際名校高考沖刺六數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．2．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．3．對(duì)于函數(shù)，定義滿足的實(shí)數(shù)為的不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，其中且，若有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．或 B．C．或 D．4．如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C． D．5．本次模擬考試結(jié)束后，班級(jí)要排一張語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評(píng)順序表，若化學(xué)排在生物前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．367．過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn).，且在第一象限，則（）A． B． C． D．8．已知命題若，則，則下列說(shuō)法正確的是（）A．命題是真命題B．命題的逆命題是真命題C．命題的否命題是“若，則”D．命題的逆否命題是“若，則”9．已知函數(shù)，若所有點(diǎn)，所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，則（）A． B． C．1 D．10．已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．將函數(shù)的圖象分別向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度與向左平移(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，若所得到的兩個(gè)圖象重合，則的最小值為()A． B． C． D．12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，.若，則函數(shù)在上的最大值為（）A．4 B．6 C．3 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角所對(duì)的邊分別為，為的面積，若，，則的形狀為_(kāi)_________，的大小為_(kāi)_________．14．《九章算術(shù)》中記載了“今有共買(mǎi)豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問(wèn)人數(shù)、豕價(jià)各幾何？”.其意思是“若干個(gè)人合買(mǎi)一頭豬，若每人出100，則會(huì)剩下100；若每人出90，則不多也不少。問(wèn)人數(shù)、豬價(jià)各多少？”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價(jià)，則___，___.15．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和_____．16．設(shè)為銳角，若，則的值為_(kāi)___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）近年來(lái)，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來(lái)越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時(shí)選擇戴口罩，在一項(xiàng)對(duì)人們霧霾天外出時(shí)是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了人，其中女性人，男性人，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫(huà)出等高條形圖如圖所示：（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表；（3）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.附：18．（12分）如圖，過(guò)點(diǎn)且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D，直線AC、BD分別交直線于點(diǎn)E、F，求證：是定值.19．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．20．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”、“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”記分，“不合格”記分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示：等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624（Ⅰ）若測(cè)試的同學(xué)中，分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，并判斷：是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識(shí)有關(guān)？是否合格性別不合格合格總計(jì)男生女生總計(jì)（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中，共選取人進(jìn)行座談，現(xiàn)再?gòu)倪@人中任選人，記所選人的量化總分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)（，其中表示的方差）來(lái)評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的成效，若，則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的；否則認(rèn)定教育活動(dòng)無(wú)效，應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在（Ⅱ）的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？附表及公式：，其中.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）假設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．①若A為橢圓的上頂點(diǎn)，M為線段AB中點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交橢圓C于N，并且ON=62OM，求OB的長(zhǎng)；②若原點(diǎn)O到直線l的距離為1，并且22．（10分）在中，角的對(duì)邊分別為，若.（1）求角的大小；（2）若，為外一點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【題目詳解】函數(shù)，可得，時(shí)，，單調(diào)遞增，∵，故不等式的解集等價(jià)于不等式的解集．．∴．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.2、D【解題分析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【題目詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.3、C【解題分析】

根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，利用換底公式分離參數(shù)可得；構(gòu)造函數(shù)，并討論的單調(diào)性與最值，畫(huà)出函數(shù)圖象，即可確定的取值范圍.【題目詳解】由得，.令，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，即最大值為，則的圖象如下圖所示：由有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，可得得或，解得或.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用，屬于中檔題.4、D【解題分析】

由半圓面積之比，可求出兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度之比，從而可知，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【題目詳解】解：由題意知，以為直徑的半圓面積，以為直徑的半圓面積，則，即.由，得，所以.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.5、B【解題分析】

利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【題目詳解】第一步排語(yǔ)文，英語(yǔ)，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè)，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列的應(yīng)用，不相鄰采用插空法求解，準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6、D【解題分析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【題目詳解】由題,.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.7、C【解題分析】

作，；，由題意，由二倍角公式即得解.【題目詳解】由題意，，準(zhǔn)線：，作，；，設(shè)，故，，.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8、B【解題分析】

解不等式，可判斷A選項(xiàng)的正誤；寫(xiě)出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【題目詳解】解不等式，解得，則命題為假命題，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；命題的逆命題是“若，則”，該命題為真命題，B選項(xiàng)正確；命題的否命題是“若，則”，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；命題的逆否命題是“若，則”，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查四種命題的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

依題意，可得，在上單調(diào)遞增，于是可得在上的值域?yàn)?，繼而可得，解之即可.【題目詳解】解：，因?yàn)?，，所以，在上單調(diào)遞增，則在上的值域?yàn)?，因?yàn)樗悬c(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，所以，解得，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解題意，得到是關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．10、A【解題分析】

設(shè)，由得：，由復(fù)數(shù)相等可得的值，進(jìn)而求出，即可得解.【題目詳解】設(shè)，由得：，即，由復(fù)數(shù)相等可得：，解之得：，則，所以，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法，考查對(duì)復(fù)數(shù)相等的理解，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于?？碱}.11、B【解題分析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖像重合，那么，利用的最小正周期為，從而求得結(jié)果.【題目詳解】的最小正周期為，那么(∈)，于是，于是當(dāng)時(shí)，最小值為，故選B.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題目.12、A【解題分析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算，可得；利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性，由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【題目詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則；任取，且，則，故，令，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，令，，故，故函數(shù)在上的最大值為4.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn)，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、等腰三角形【解題分析】∵∴根據(jù)正弦定理可得，即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴，即∵∴故答案為等腰三角形，14、10900【解題分析】

由題意列出方程組，求解即可.【題目詳解】由題意可得，解得.故答案為10900【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來(lái)求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解題分析】

解：兩式作差，得，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消求和即可．【題目詳解】解：兩式作差，得化簡(jiǎn)得，檢驗(yàn)：當(dāng)n=1時(shí)，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；，，令故填：．【題目點(diǎn)撥】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和，解題過(guò)程中需要注意n的范圍以及對(duì)特殊項(xiàng)的討論，側(cè)重考查運(yùn)算能力．16、【解題分析】

∵為銳角，，∴，∴，，故.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）圖形見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系【解題分析】

（1）利用等高條形圖中兩個(gè)深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系；（2）填寫(xiě)列聯(lián)表即可；（3）由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）在等高條形圖中，兩個(gè)深色條的高分別表示女性和男性中霧霾天外出戴口罩的頻率，比較圖中兩個(gè)深色條的高可以發(fā)現(xiàn)，女性中霧霾天外出帶口罩的頻率明顯高于男性中霧霾天外出帶口罩的頻率，因此可以認(rèn)為性別與霧霾天外出帶口罩有關(guān)系.（2）列聯(lián)表如下：戴口罩不戴口罩合計(jì)女性男性合計(jì)（3）由（2）中數(shù)據(jù)可得：.所以，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系.【題目點(diǎn)撥】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了登高條形圖的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）由題意求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，可得關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出的坐標(biāo)，分別求出直線與直線的方程，從而求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用根與系數(shù)關(guān)系可化簡(jiǎn)證得為定值.【題目詳解】（1）由已知可得：，代入橢圓方程得：橢圓方程為；（2）設(shè)直線CD的方程為，代入，得：設(shè)，，則有，則AC的方程為，令，得BD的方程為，令，得，證畢.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是難題．19、(Ⅰ)極大值為：，無(wú)極小值；(Ⅱ)見(jiàn)解析.【解題分析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值；(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，即證,令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【題目詳解】(Ⅰ)的定義域?yàn)榍伊睿?；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，則要證，即證，即證，即證即證由于，即，即證令則恒成立在遞增在恒成立【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題，屬于難題．20、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）不需要調(diào)整安全教育方案.【解題分析】

（I）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫(xiě)好列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷出在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，不能認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否合格有關(guān).（II）利用超幾何分布的計(jì)算公式，計(jì)算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（III）由（II）中數(shù)據(jù)，計(jì)算出，進(jìn)而求得的值，從而得出該校的安全教育活動(dòng)是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.【題目詳解】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，得分在的頻率為，故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為，.性別與合格情況的列聯(lián)表為：是否合格性別不合格合格小計(jì)男生女生小計(jì)即在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，不能認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否合格有關(guān).（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值為,.的分布列為：20151050所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：.故我們認(rèn)為該校的安全教育活動(dòng)是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查超幾何分布的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算，所以中檔題.21、（1）x22+y2【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2，b2；（2）聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)AB，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)到直線l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得