廣東省汕尾市2019屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測文科數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

汕尾市普通高中2019年1月高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測文科數(shù)學(xué)注意事項：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號等填寫在答題卡指定位置上.2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集、補集的知識求得正確答案.【詳解】由題可得，所以.故選：D2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過計算化簡復(fù)數(shù)，求出即可．【詳解】，故選．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘除運算，是一道基礎(chǔ)題．3.如圖是某地某月1日至15日的日平均溫度變化的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A.連續(xù)三天日平均溫度的方差最大的是7日，8日，9日三天B.這15天日平均溫度的極差為15℃C.由折線圖能預(yù)測16日溫度要低于19℃D.由折線圖能預(yù)測本月溫度小于25℃的天數(shù)少于溫度大于25℃的天數(shù)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)折線圖的意義，逐項判斷即可【詳解】解：A選項，日平均溫度方差的大小取決于日平均溫度的波動的大小，7，8，9三日的日平均溫度的波動最大，故日平均溫度的方差最大，正確；B選項，這15天日平均溫度的極差為19℃，B錯；C選項，由折線圖無法預(yù)測16日溫度要是否低于19℃，故C錯誤；D選項，由折線圖無法預(yù)測本月溫度小于25℃的天數(shù)是否少于溫度大于25℃的天數(shù)，故D錯誤．故選：A．【點睛】本題考查折線圖的識別，考查方差，極差的理解，是基礎(chǔ)題4.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則曲線C的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】分析】先求得，進而求得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，且焦點在x軸上，所以，所以.故選：C5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選．【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再求出即可判斷【詳解】，則函數(shù)為奇函數(shù)，故排除，當(dāng)時，，故排除，故選．【點睛】本題考查了函數(shù)圖形的識別，關(guān)鍵掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.7.《數(shù)書九章》是我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，其中給出了求多項式的值的秦九韶算法，如圖所示的程序框圖給出了一個利用秦九韶算法求多項式值的實例，若輸入的，輸出的，則判斷框“

”中應(yīng)填入的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖依次計算即可得解【詳解】解：輸入，時，，時，，時，，當(dāng)時，不滿足循環(huán)條件，輸出，所以判斷框“

”中應(yīng)填入的是，故選：B8.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值以及導(dǎo)數(shù)求得正確答案.【詳解】A選項，當(dāng)時，，所以A選項錯誤.B選項，當(dāng)時，，所以B選項錯誤.C選項，當(dāng)時，，所以C選項錯誤.D選項，構(gòu)造函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時，，所以，所以D選項正確.故選：D9.如圖，在正方體中，分別為和的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出異面直線與所成角，解三角形求得所成角的余弦值.【詳解】設(shè)是的中點，連接，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角為（或其補角），設(shè)正方體的邊長為，，由余弦定理得.故選：A10.在中，內(nèi)角對邊分別為，已知，，，則A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】由已知利用余弦定理可得，由正弦定理可求得的值，結(jié)合大邊對大角可求為銳角，即可求得的值．【詳解】，由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，為銳角，．故選．【點睛】本題主要考查了余弦定理，正弦定理，大邊對大角在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的定義域是B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)及真數(shù)大于0，可判斷；由偶函數(shù)的定義可判斷；由函數(shù)的單調(diào)性可判斷；由與的關(guān)系可判斷．【詳解】函數(shù)，由，可得，即定義域為，故錯誤；由，定義域為，且，即為偶函數(shù)，故正確；由，即，故錯誤；由，可得的圖象不關(guān)于直線對稱，故錯誤．故選．【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是定義域和奇偶性和單調(diào)性、對稱性，考查化簡變形能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】先把化為的形式，再結(jié)合對稱性確定，之后把代入利用二倍角余弦形成二次函數(shù)即可得解．【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱，，=結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，，故選．【點睛】此題考查了三角函數(shù)的變形，對稱性，倍角公式，換元法等，難度適中．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)向量，若，則________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量共線列方程，從而求得.【詳解】由于，所以.故答案為：14.已知滿足約束條件，若，則的最大值為_____________.【答案】7.【解析】【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，將轉(zhuǎn)化為：，通過圖象得出函數(shù)過時，取到最大值，求出即可．【詳解】畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，如圖示：將轉(zhuǎn)化為：，通過圖象得出函數(shù)過時，取到最大值，，故答案為7．【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題．15.過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則________【答案】##【解析】【分析】求得以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式求得正確答案.【詳解】圓即，所以圓心為，半徑為，，所以在圓外.線段中點坐標(biāo)為，，以為直徑的圓的方程為，即，由、兩式相減并化簡得：，到直線的距離為，所以.故答案為：16.在平面四邊形中，是邊長為2的等邊三角形，是以斜邊的等腰直角三角形，以為折痕把折起，當(dāng)時，四面體的外接球的體積為______．【答案】.【解析】【分析】證明和全等，得到和都是直角，于是得出是兩個直角三角形和的公共斜邊，于是得出為四面體的外接球的直徑，求出的長度，可得出外接球的半徑，即可求出外接球的體積．【詳解】在四面體中，由已知條件可知，，則，所以，，所以，和是公共斜邊的直角三角形，則是四面體外接球的一條直徑，易知，，且，設(shè)四面體的外接球的半徑為，則，因此，四面體的外接球的體積為．故答案為．【點睛】本題考查球的表面積與體積，解本題的關(guān)鍵在于找出四面體外接球的直徑，考查計算能力與推理能力，屬于中等題．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S2＝0，S6﹣S3＝21.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【答案】（1）an＝2n﹣3；（2）Tn【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，根據(jù)所給條件得到方程組，解得即可；（2）由（1）可得，再利用裂項相消法求前項和；【詳解】（1）數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S2＝0，S6﹣S3＝21.設(shè)數(shù)列的首項為a1，公差為d，則：，解得：，d＝2，所以，an＝2n﹣3；（2）由于：an＝2n﹣3，所以：，所以：（），，.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，裂項相消法求和，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐中，為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面.（1）證明：平面平面；（2）M為直線的點，N為線段上的點，且，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直、線面垂直判定定理和性質(zhì)定理證明即可；（2）由題意求出和點N到平面的距離，再由棱錐的體積公式求解即可.【小問1詳解】證明：由為矩形，所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，得．由是以為直角的等腰直角三角形，可知，因為，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小問2詳解】解：連接．由，可得點M到直線的距離為，所以．過點N在平面中作，由，則，平面，平面，得平面，由（1）可知平面．又，所以．故，即點N到平面的距離為，所以．19.微信運動，是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾帳號，很多手機用戶加入微信運動后，為了讓自己的步數(shù)能領(lǐng)先于朋友，運動的積極性明顯增強，微信運動公眾號為了解用戶的一些情況，在微信運動用戶中隨機抽取了100名用戶，統(tǒng)計了他們某一天的步數(shù)，數(shù)據(jù)整理如下：/萬步/人5205018331（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的坐標(biāo)平面中作出其頻率分布直方圖，并在縱軸上標(biāo)明各小長方形的高；（2）若視頻率分布為概率分布，由頻率分布直方圖，估計此人微信運動的日平均步數(shù)；（3）若男生甲完成1.2萬步大約需要50～70分鐘，女生乙完成1.2萬步大約需要60～80分鐘，求女生乙首先完成1.2萬步的概率.【答案】（1）作圖見解析（2）1.028萬步（3）【解析】【分析】（1）計算出頻率/組距，進而得到頻率分布直方圖；（2）利用頻率分布直方圖求出平均數(shù)，得到答案；（3）利用線性規(guī)劃解決幾何概型的概率.【小問1詳解】時，頻率/組距=，時，頻率/組距=，時，頻率/組距=，時，頻率/組距=，時，頻率/組距=，時，頻率/組距=，時，頻率/組距=，作出其頻率分布直方圖如下：【小問2詳解】由頻率分布直方圖，得，估計此人微信運動的日平均步數(shù)為1.028萬步．【小問3詳解】設(shè)完成1.2萬步男生甲用時x分鐘，女生乙用時y分鐘，則，．女生乙比男生甲首先完成1.2萬步，即．作出幾何概型的圖象如圖所示，陰影部分面積和正方形的面積之比即為所求的概率，．20.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線交橢圓于A，B兩點，為橢圓C的左焦點，若，求直線的方程.【答案】20.21.或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程求得，從而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)求得直線的方程.【小問1詳解】由題意，得，解得，所以橢圓C的方程是．【小問2詳解】由（1）得，所以，當(dāng)直線的方程為時，，則，不符合題意.當(dāng)直線與軸不重合時，設(shè)直線AB的方程為，，，由，得．則有，，．由，得．又，，可得：，整理，得．即，解得．所以或．故直線l的方程為或．【點睛】方法點睛：與相交有關(guān)的向量問題的解決方法：在解決直線與圓錐曲線相交，所得弦端點的有關(guān)的向量問題時，一般需利用相應(yīng)的知識，將該關(guān)系轉(zhuǎn)化為端點坐標(biāo)滿足的數(shù)量關(guān)系，再將其用橫(縱)坐標(biāo)的方程表示，從而得到參數(shù)滿足的數(shù)量關(guān)系，進而求解．21.已知函數(shù)，其中為參數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）先求得，然后對進行分類討論，從而求得的單調(diào)區(qū)間.（2）結(jié)合（1）中的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理、構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】，得．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增,當(dāng)時，，；，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1），當(dāng)時，，單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為函數(shù)有兩個零點，所以，得．當(dāng)時，因為，而，又在上單調(diào)遞減，所以由零點存在性原理可知：在內(nèi)有一個零點當(dāng)時，，．設(shè)，，由，；，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．所以．又在上單調(diào)遞增，所以由零點存在性原理可知：在內(nèi)有一個零點．綜上，時，函數(shù)有兩個不同的零點．【點睛】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；，則在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，則需要對參數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）點，直線與曲線交于兩點，若，求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或1．【解析】【分析】（Ⅰ）利用極直互化公式即可把曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，消去參數(shù)t求出直線的普通方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和的方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的方程，由t的幾何意義列方程，解出即可．【詳解】（Ⅰ）．，，而直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)），則l的普通方程是：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：①，l的參數(shù)方程為(為參數(shù)）②，將②代入①得：，故，由，即解得：或1．【點睛】本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程以及普通方程轉(zhuǎn)化，考查直線和曲線的位置關(guān)