專題21 一次函數(shù)的應(yīng)用壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專題21一次函數(shù)的應(yīng)用壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一次函數(shù)的應(yīng)用——分配方案問題】 1【考點(diǎn)二一次函數(shù)的應(yīng)用——最大利潤(rùn)問題】 5【考點(diǎn)三一次函數(shù)的應(yīng)用——行程問題】 8【考點(diǎn)四一次函數(shù)的應(yīng)用——幾何問題】 12【過關(guān)檢測(cè)】 15【典型例題】【考點(diǎn)一一次函數(shù)的應(yīng)用——分配方案問題】例題：（2023春·云南臨滄·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某省實(shí)行城市援助鄉(xiāng)鎮(zhèn)的政策該省的A市有噸物資，市有噸物資經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)該省的甲鄉(xiāng)需要噸物資，乙鄉(xiāng)需要噸物資于是決定由A、兩市負(fù)責(zé)援助甲、乙兩鄉(xiāng)、已知從A市往甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的運(yùn)費(fèi)分別為元噸、元噸，從市往甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的運(yùn)費(fèi)分別為元噸、元噸．(1)設(shè)從A市往甲鄉(xiāng)運(yùn)送噸物資，從A、兩市向甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的總運(yùn)費(fèi)為元，求與的函數(shù)解析式．(2)請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)運(yùn)費(fèi)最低的運(yùn)送方案，并求出最低運(yùn)費(fèi)．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?月23日是“世界讀書日”，某書店在這一天舉行了購(gòu)書優(yōu)惠活動(dòng)，有兩種優(yōu)惠方案可以選擇：方案一：享受當(dāng)天購(gòu)書按標(biāo)價(jià)總額8折的普通優(yōu)惠；方案二：50元購(gòu)買一張“書香城市紀(jì)念卡”，當(dāng)天憑卡購(gòu)書，享受標(biāo)價(jià)總額在普通優(yōu)惠的基礎(chǔ)上再打折的優(yōu)惠．設(shè)小明當(dāng)天購(gòu)書標(biāo)價(jià)總額為x元，方案一應(yīng)付元，方案二應(yīng)付元．(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)通過計(jì)算說明選擇哪種購(gòu)書方案更劃算；(2)直接寫出與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)小明如何選擇購(gòu)書方案才更劃算？2.（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）暑期將至，某健身俱樂部面向?qū)W生推出暑期優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)方案如下．方案一：購(gòu)買一張學(xué)生暑期專享卡，每次健身費(fèi)用按六折優(yōu)惠；方案二：不購(gòu)買學(xué)生暑期專享卡，每次健身費(fèi)用按八折優(yōu)惠．設(shè)某學(xué)生暑期健身x（次），按照方案一所需費(fèi)用為（元），且；按照方案二所需費(fèi)用為（元），且．其函數(shù)圖象如圖所示．

(1)求k1和b的值，并說明它們的實(shí)際意義；(2)求打折前的每次健身費(fèi)用和的值；(3)八年級(jí)學(xué)生小華計(jì)劃暑期前往該俱樂部健身7次，應(yīng)選擇哪種方案所需費(fèi)用更少？請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)二一次函數(shù)的應(yīng)用——最大利潤(rùn)問題】例題：（2023春·貴州黔南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某地允許市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)主體在規(guī)范有序的條件下，采取“店鋪外擺”“露天市場(chǎng)”方式進(jìn)行銷售．個(gè)體業(yè)主小王響應(yīng)號(hào)召，采取“店鋪外擺”方式銷售甲、乙兩種特價(jià)商品，兩種商品的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如表所示：甲商品乙商品進(jìn)價(jià)（元/件）4010售價(jià)（元/件）5015小王計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件進(jìn)行銷售，設(shè)小王購(gòu)進(jìn)甲商品x件，甲、乙兩種商品全部銷售完后獲得的利潤(rùn)為y元．(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若購(gòu)進(jìn)乙商品的件數(shù)不少于甲商品件數(shù)的4倍，當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件時(shí)，可使得甲、乙兩種商品全部銷售完后獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣西南寧·八年級(jí)?？计谀┬《谀尘W(wǎng)店選中，兩款玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售．兩款玩偶的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：款玩偶款玩偶進(jìn)貨價(jià)（元/個(gè)）2015銷售價(jià)（元/個(gè)）2820(1)第一次小冬用550元購(gòu)進(jìn)了，兩款玩偶共30個(gè)，求兩款玩偶各購(gòu)進(jìn)多少個(gè)；(2)第二次小冬進(jìn)貨時(shí)，網(wǎng)店規(guī)定款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半．小冬計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩款玩偶共45個(gè)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？2.（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）俄烏戰(zhàn)爭(zhēng)仍在繼續(xù)，人們對(duì)各種軍用裝備倍感興趣，某商家購(gòu)進(jìn)坦克模型（記作A）和導(dǎo)彈（記作B）兩種模型，若購(gòu)進(jìn)A種模型10件，B種模型5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種模型4件，B種模型3件，需要550元．(1)求購(gòu)進(jìn)A，B兩種模型每件分別需多少元？(2)若銷售每件A種模型可獲利潤(rùn)20元．每件B種模型可獲利潤(rùn)30元．商店用1萬元購(gòu)進(jìn)模型，且購(gòu)進(jìn)A種模型的數(shù)量不超過B種模型數(shù)量的8倍，設(shè)總盈利為W元，購(gòu)買B種模型b件，請(qǐng)求出W關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)b為何值時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，并求出最大值．【考點(diǎn)三一次函數(shù)的應(yīng)用——行程問題】例題：（2023春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）甲、乙兩地相距千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)開往乙地．如圖，線段表示貨車離甲地距離千米與時(shí)間小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系；折線表示轎車離甲地距離千米與小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問題：

(1)求線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)貨車從甲地出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間被轎車追上？此時(shí)離甲地的距離是多少千米？(3)轎車到達(dá)乙地后，貨車距乙地多少千米．【變式訓(xùn)練】1.（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）航模興趣小組在操場(chǎng)上進(jìn)行航模試驗(yàn)，甲型航模從距離地面20米處出發(fā)，以a米/分的速度勻速上升，乙型航模從距離地面50米處同時(shí)出發(fā)，以15米/分的速度勻速上升，經(jīng)過6分鐘，兩架航模距離地面高度都是b米，兩架航模距離地面的高度y米與時(shí)間x分鐘的關(guān)系如圖．兩架航模都飛行了20分鐘．

(1)直接寫出a、b的值；(2)求出兩架航模距離地面高度y甲、y乙（米）與飛行時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式；(3)直接寫出飛行多長(zhǎng)時(shí)間，兩架航模飛行高度相差25米？2.（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)校考期中）如圖1，甲、乙兩車分別從相距的、兩地相向而行，乙車比甲車先出發(fā)小時(shí)，并以各自的速度勻速行駛，甲車到達(dá)地后因有事立刻按原路原速返回地．乙車從地直達(dá)地，兩車同時(shí)到達(dá)地．甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程（千米）與甲車出發(fā)所用的時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系如圖，結(jié)合圖像信息解答下列問題：

(1)乙車的速度是千米/時(shí)，乙車行駛小時(shí)到達(dá)地；(2)求甲車從地按原路原速返回地的過程中，甲車距它出發(fā)地的路程與它出發(fā)的時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求甲車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距千米？【考點(diǎn)四一次函數(shù)的應(yīng)用——幾何問題】例題：（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，P為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路線是，設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過的路程為x，以點(diǎn)A、P、D為頂點(diǎn)的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.（2021春·福建漳州·七年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度在圖①的邊（相鄰兩邊互相垂直）上按的路線移動(dòng)，相應(yīng)的的面積與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的圖象如圖②所示，且．當(dāng)時(shí)，．

2.（2023春·安徽宿州·七年級(jí)校考期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，的面積也發(fā)生變化．

(1)寫出的面積y與的長(zhǎng)之間的關(guān)系式；(2)當(dāng)時(shí)，求y的值．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考開學(xué)考試）市自來水公司為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采取月用水量分段收費(fèi)辦法，某戶居民應(yīng)交水費(fèi)y（元）與用水量x（噸）的函數(shù)關(guān)系如圖，若該用戶本月用水21噸，則應(yīng)交水費(fèi)（

）

A．52.5元 B．48元 C．45元 D．42元2．（2023·陜西西安·?？级＃┰谖锢韺?shí)驗(yàn)課上，小鵬利用滑輪組及相關(guān)器材進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，他把得到的拉力F（N）和所懸掛物體的重力G（N）的幾組數(shù)據(jù)用電腦繪制成如圖所示的圖象（不計(jì)繩重和摩擦），請(qǐng)你根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論不正確的是（）

A．物體的拉力隨著重力的增加而增大B．當(dāng)拉力時(shí)，物體的重力C．當(dāng)物體的重力時(shí)，拉力D．當(dāng)滑輪組不懸掛物體時(shí)，所用拉力為0.5N3．（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校統(tǒng)考階段練習(xí)）在5.1勞動(dòng)節(jié)期間，甲乙兩人相約一起去登山，登山過程中，甲先爬了米、乙才開始追趕甲，乙行了2分鐘后，速度變成甲登山速度的3倍，甲、乙兩人距地面的高度y（米）與乙登山時(shí)間x（分）之間的函數(shù)圖像如圖所示，根據(jù)圖像所提供的信息有下列說法：①甲的登山速度米/分；②分；③當(dāng)乙行了分鐘后，甲乙相遇；④甲乙相遇后，甲再經(jīng)過1分鐘與乙相距米，其中正確的有（

）

A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、填空題4．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)校考階段練習(xí)）拖拉機(jī)工作時(shí)，油箱中的余油量Q（升）與工作時(shí)間t（時(shí)）d關(guān)系式為．當(dāng)時(shí)，升，從關(guān)系式可知道這臺(tái)拖拉機(jī)最多可工作小時(shí)．5．（2023春·安徽宿州·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，李大爺要圍成一個(gè)長(zhǎng)方形菜園，菜園的一邊利用足夠長(zhǎng)的墻，用籬笆圍成的另外三邊總長(zhǎng)度恰好為．設(shè)邊的長(zhǎng)為，AB邊的長(zhǎng)為，則y與x之間的關(guān)系式是．

6．（2023春·北京石景山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小石的媽媽需要購(gòu)買盒子存放升的食物，且要求每個(gè)盒子要裝滿．現(xiàn)有兩種型號(hào)的盒子，單個(gè)盒子的容量和價(jià)格如下表．型號(hào)單個(gè)盒子容量（升）單價(jià)（元）（1）寫出一種購(gòu)買方案，可以為；（2）恰逢五一假期，型號(hào)盒子正在做促銷活動(dòng)，即購(gòu)買三個(gè)及三個(gè)以上可一次性返現(xiàn)金元，則購(gòu)買盒子所需要的最少費(fèi)用為元．三、應(yīng)用題7．（2023·廣東深圳·深圳市桂園中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計(jì)劃分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草，第一次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草30棵和15棵，共花費(fèi)675元；第二次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草12棵和5棵．共花費(fèi)265元；若兩次購(gòu)進(jìn)的A、B兩種花草價(jià)格均分別相同．(1)A、B兩種花草每棵的價(jià)格分別是多少元？(2)若購(gòu)買A、B兩種花草共30棵，且B種花草的數(shù)量少于A種花草數(shù)量的2倍，請(qǐng)你給出一種費(fèi)用最省的方案，并求出該方案所需費(fèi)用．8．（2023秋·廣東茂名·八年級(jí)校聯(lián)考期中）某文具商店文具促銷給出了兩種優(yōu)惠方案：①買一支鋼筆贈(zèng)送一本筆記本，多于鋼筆數(shù)的筆記本按原價(jià)收費(fèi)；②鋼筆和筆記本均按定價(jià)的八折收費(fèi)．已知每支鋼筆定價(jià)為15元，每本筆記本定價(jià)為4元．某顧客準(zhǔn)備購(gòu)買x支鋼筆和筆記本本，設(shè)選擇第一種方案購(gòu)買所需費(fèi)用為元，選擇第二種方案購(gòu)買所需費(fèi)用為元．(1)請(qǐng)分別寫出，與x之間的關(guān)系式：，；(2)若該顧客準(zhǔn)備購(gòu)買10支鋼筆，且只能選擇其中一種優(yōu)惠方案，請(qǐng)你通過計(jì)算說明選擇哪種方案更為優(yōu)惠．9．（2023春·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）為進(jìn)行垃圾分類，我校準(zhǔn)備購(gòu)買，兩種型號(hào)的垃圾箱，通過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：購(gòu)買1個(gè)型垃圾箱和2個(gè)型垃圾箱共需340元；購(gòu)買5個(gè)型垃圾箱和2個(gè)型垃圾箱共需540元．(1)求每個(gè)型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？(2)若需要購(gòu)買，兩種型號(hào)的垃圾箱共30個(gè)，其中購(gòu)買型垃圾箱不超過15個(gè)，當(dāng)購(gòu)買型垃圾箱多少個(gè)時(shí)總花費(fèi)（元）最少，最少費(fèi)用是多少？10．（2023春·貴州黔西·八年級(jí)校聯(lián)考期末）為慶祝中華人民共和國(guó)七十周年華誕，某校舉行書畫大賽，準(zhǔn)備購(gòu)買甲、乙兩種文具，獎(jiǎng)勵(lì)在活動(dòng)中表現(xiàn)優(yōu)秀的師生，已知購(gòu)買2個(gè)甲種文具，1個(gè)乙種文具共需要花費(fèi)35元，購(gòu)買1個(gè)甲種文具，3個(gè)乙種文具共需要花費(fèi)30元．(1)求購(gòu)買一個(gè)甲種文具，一個(gè)乙種文具各需多少錢？(2)若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這兩種文具共120個(gè)，投入資金不少于955元，又不多于1000元，求有多少種購(gòu)買方案？(3)學(xué)校投入資金W元，在（2）的條件下，哪種購(gòu)買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？11．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┘祝覂奢v汽車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一條公路相向而行，已知甲車勻速行駛；乙車出發(fā)后休息，與甲車相遇后繼續(xù)行駛，結(jié)果同時(shí)分別到達(dá)B，A兩地．設(shè)甲、乙兩車與B地的距離分別為，，甲車行駛的時(shí)間為，、與x之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象解答下列問題：

(1)乙車休息了______．(2)求甲車的速度．(3)求乙車與甲車相遇后關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍．(4)當(dāng)兩車相距時(shí)，直接寫出x的值．12．（2023秋·安徽滁州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)