2021屆人教a版（文科數(shù)學） 空間點線面的位置關系 單元測試

2021屆人教A版（文科數(shù)學）空間點線面的位置關系單元測

試

1、體積為3的正方體外接球的表面積為（）

A.n，B.2na2c.3na2D.4n3

2、下列說法錯誤的是（）

A.棱柱的側面都是平行四邊形

B.所有面都是三角形的多面體一定是三棱錐

C.用一個平面去截正方體，截面圖形可能是五邊形

D.將直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐

3、

在三棱錐產(chǎn)一ABC中，平面ABC,AC1BC,。為側棱PC上的一點,

它的正（主）視圖和側（左）視圖如圖所示，則下列命題正確的是（）。

A.，平面PBC且三棱錐D-ABC的體積為-

3

Q

B.8。_L平面PAC且三棱錐。-ABC的體積為2

3

C.平面BBC且三棱錐。-ABC的體積為3

3

D.80_1平面抬。且三棱錐。-ABC的體積為嶼

3

4、圓錐的底面半徑為a,側面展開圖是半圓面，那么此圓錐的側面積是（）

_2.22_2

A.2naB.4nac.naD.3na

5、已知一個棱長為2的正方體，被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，

則該截面的面積為（）

A.1B.4C.3D.3.10

22

2Y

6、如圖為函數(shù)/'（x）=-^的部分圖象，ABCD是矩形，A,B在圖像上,

x+1

將此矩形繞X軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為（）

A.nB.24

7、一個空間幾何體的三視圖如圖所示，且這個空間幾何體的所有頂點都在同一個

球面上，則這個球的表面積是（）

A.16"B.12zrC.D.25萬

8、右圖是某個四面體的三視圖，該四面體的體積為（）

正視圖側視圖

俯視圖

A.72B.36C.24D.12

9、

在空間直角坐標系o-xyz中，四面體SABC各頂點坐標分別S（l,L2）/（332）?

風■外小冽，則該四面體外接球的表面積是（）o

A.16nB.12n

C.4揚D.6n

10、圓臺的上、下底面半徑和高的比為1:4:4,母線長為10,則圓臺的側面積為

（）

A.81nB.100JiC.14"D.169北

11、在長方中，AB=BC=2,AC1與平面BBR1C所成的角為30。,

則該長方體的體積為（）

A.8B.6也C.8啦D.8祗

12、在矩形ABCD中，AC=2,現(xiàn)將△ABC沿對角線AC折起，使點B到達點B的位置，

得到三棱錐B-ACD,則三棱錐B-ACD的外接球的表面積為（）

A.「B.2n

C.4nD.大小與點B’的位置有關

13、一個幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為.

主視圖左視圖

]□K

口俯視圖

14、宜三棱柱ABC-A邛G中，=90°,A4=2,設其外接球的球心為°,已

知三棱錐ABC的體積為1,則球。表面積的最小值為.

15、一個圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,在其中有一個高為xcm的內(nèi)接圓柱，當

圓柱的側面積最大時，x=.

16、已知球的半徑為4,球面被互相垂直的兩個平面所截，得到的兩個圓的公共弦

長為2曲，若球心到這兩個平面的距離相等，則這兩個圓的半徑之和為.

17、圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392cm?,母

線與軸的夾角是45°,求這個圓臺的高、母線長和兩底面半徑.

18、結合下圖，說說它們分別是怎樣的多面體？

（1）（2）（3）（4）（5）

19、如圖，將一個長方體沒相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的體積與剩

下的幾何體體積的比.

20、從一個底面半徑和高都是R的圓柱中,挖去一個以圓柱上底面為底，下底面中心

為頂點的圓錐，得到如圖1所示的幾何體.如果用一個與圓柱下底面距離等于/并且

平行于底面的平面去截它,求所得截面的面積.

21、已知一四棱錐ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點。

(2)求四棱錐P—ABCD的側面積.

22、如果一個圓錐的高增加20%,底面積減少10%,那么變化后的圓錐與原圓錐

的體積比是多少？

參考答案

1、答案C

根據(jù)正方體的體積可知正方體的邊長為。，然后可知該正方體的外接球的半徑，最后根

據(jù)球的表面積的公式可得結果.

詳解

3

由題可知：正方體的體積為"，所以正方體的邊長為a

_Va2+a2+a2_>/3a

則可知該正方體的外接球的半徑為-22

所以該正方體的外接球的表面積為S=4乃/=3%/

故選：C

2、答案B

由棱柱的性質(zhì)可判斷A；可舉正八面體可判斷B；用一個平面去截正方體，與正方體的

五個面相交，可判斷C；由圓錐的定義可判斷D.

詳解

由棱柱的性質(zhì)可得棱柱的側面都是平行四邊形，則A正確；

所有面都是三角形的多面體不一定是三棱錐，比如正八面體的各個面都是正三角形，則

B錯誤；

用一個平面去截正方體，與正方體的五個面相交，可得截面圖形是五邊形，則C正確；

由圓錐的定義可得直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐，則D

正確.

故選：B.

名師點評

本題考查空間幾何的性質(zhì)，屬于基本題.

3、答案C

?.?%，平面48。，:.PALBC,

又AC1BC,Q4cAe=A

..BC，平面PAC,BC1AD

又由三視圖可得在-BAC中，PA=AC=4,。為PC的中點，

:.AD±PC,平面

又BC=4,ZADC=90°,8C_L平面PAC

xx

故MAABC=^B-ADC~32拒x2^2x4=—

故選C

名師點評：本題主要考查的知識點是直線與平面垂直的判定，幾何體的體積的求法?？?/p>

查了命題的真假的判斷與應用。通過證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可證明直

線與平面垂直，求出幾何體的體積即可。

4、答案A

若圓錐的側面展開圖是半圓，則圓錐的母線長為底面半徑的2倍，

因為圓錐的底面半徑為a,故圓錐的母線長為2a,故圓錐的側面積$=ml=292,故選

A.

5、答案A

解：由三視圖還原原幾何體如圖,

截面是等腰梯形FHDE,

：正方體的棱長為2,_____________

；.FH=2加,DE=&，梯形的高為「+(當V萼

.?.該截面的面積為s=l(V2+2V2)x等?今

故選：A.

本題考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

6、答案A

7、答案A

8、答案D

9、答案B

分析

首先根據(jù)題意，利用兩點間距離的坐標公式，求得四面體的各個邊長，利用向量數(shù)量積

等于零，得到CS±平面ABC，根據(jù)條件可知該三棱錐滿足從同一個頂點出發(fā)的三條棱兩

兩垂直且均相對，可以補體，相當于正方體的外接球的問題，從而求得結果.

詳解

由題意計算可得網(wǎng)=2,|AC|=2,|SC|=2,|BC|=2屈

AB=(0,0,-2),啟=(-2,0,0),CS=(0,-2,0),

???”&=°七1平面ABC,

1AC?CS=0故四面體SABC是底面為等腰直角三角形，側棱SC垂直底面

的幾何體，.?.四面體的外接球就是棱長為2的正方體的外接球，其直徑為正方體的對角

線2目半徑為酒則該四面體外接球的表面積是：4n?(向2=i2n.故選:B.

名師點評

該題考查的是有關幾何體的外接球的問題，在解題的過程中，需要確定三棱錐所滿足的

條件，利用空間兩點間的距離公式以及向量的數(shù)量積坐標運算式，得到該三棱錐的特征,

之后應用補體法得到其外接球的特征，之后應用球的表面積公式求得結果.

10、答案B

設圓臺上底半徑為r,則其下底半徑為4r,高為4r,結合母線長10,可求出r==2.然后

由圓臺側面及公式得，s=%("+4)/=%(2+8)x1()=1(X)乃.

考查目的：求圓臺側面積.

11、答案C

分析：首先畫出長方利用題中條件，得到NAC]B=30°,根據(jù)AB=2,

求得BC]=2依，可以確定CC「2也，之后利用長方體的體積公式

詳解：在長方中，連接B",

根據(jù)線面角的定義可知"ACM=30,

因為AB=2,所以BC「2招，從而求得CC「2立，

所以該長方體的體積為V=2x2x2啦=8啦，故選C.

名師點評：該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體

的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一

條邊的長久顯得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關系，從

而求得結果.

12、答案C

由題意，AC的中點為三棱錐B-ACD的外接球的球心，：AC=2,二球的半徑為1,

三棱錐B-ACD的外接球的表面積為4n.故選C.

名師點評：本題解答的關鍵是找準外接球的球心，根據(jù)題意和直角三角形的性質(zhì)，可知

直角三角形的斜邊AC的中點到三棱錐B,-ACD的各個頂點的距離都相等，由此可判斷球

心即為AC的中點，從而求出外接球的表面積.

13、答案4

14、答案16%.

設A8=c,8C=a,由三棱錐°一43°的體積為1可得。。=6.然后根據(jù)題意求出三棱

22

/?=(^HE)+1

柱外接球的半徑為2,再結合基本不等式可得外接球表面積的最小

值.

詳解

如圖，在必AA8C中，設48=c,BC=a,則40=后二？.

分別取AC，4G的中點Q，°2,則G，°2分別為RMBC和Rt^ABC外接圓的圓心,

連°2°2,取的中點°,則。為三棱柱外接球的球心.

連。4,則。4為外接球的半徑，設半徑為R.

?.?三棱錐0—ABC的體積為1,

1tac

VX）X1=1

即O-ABC=T3（V2,

ac=6

2222

2AC201022y/a+c2?+c

R+1+1

在放Q八t\0n°n2rc中，可得=（k2）+（^2~）=（---2----）=-4--

+MZac

S球去=4TTR2=4乃（------+1）＞4%（----+1）=16萬

A44,當且僅當口=c時等號成立,

球表面積的最小值為16%.

故答案為：16〃.

名師點評

解答幾何體外接球的體積、表面積問題的關鍵是確定球心的位置，進而得到球的半徑，

解題時注意球心在過底面圓圓心且垂直于底面的直線上，且球心到幾何體各頂點的距離

相等.在確定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半徑，此類問題考查空間想象力

和計算能力，難度較大.

15、答案x=3cm

r6-x6-x

設圓柱的半徑為r,由2-6,可得廠3,又『x(0<x<6),可得圓柱側面積，利用

配方法求出最大值.

詳解

r6-x6-x

設圓柱的半徑為r,由26,可得廠3,又l=x(0<x<6)

6-x2j

2n------x=--n[(x-3)-9]

所以圓柱的側面積=33

當且僅當x=3cm時圓柱的側面積最大.

故答案為：3cm

名師點評

(1)本題考查圓柱側面積，考查配方法，考查學生分析解決問題的能力.(2)解答本

6-x29

2n------x=n[(x-3)-9]

題的關鍵是求出圓柱的側面積=33

16、答案6

先設兩圓的圓心為。1°2,球心為。，公共弦為AB,中點為E,由球心到這兩個平面的距離

相等，可得兩圓半徑相等，然后設兩圓半徑為r,由勾股定理表示出1°°1卜/16-匕

OE|=J32-2r\再由Q『+A『=QA『，即可求出，從而可得結果.

詳解

設兩圓的圓心為。1°2,球心為。，公共弦為AB,中點為E,因為球心到這兩個平面的距離

相等，則0°』°2為正方形，兩圓半徑相等，設兩圓半徑為r,°。[=J16-J,10￡：=12-2匕

y|0E2+AE|2=|0A\32-+2=16,J=9,r=3.這兩個圓的半徑之和為6.

名師點評

本題主要考查球的結構特征，由球的特征和題中條件，找出等量關系，即可求解.

17、答案圓臺的軸截面如圖所示，

AO

設圓臺上、下底面半徑分別為xcm、2xcm、3xcm,延長交。。1的延長線于S.

在RtaSOA中，ZASO=45°,則NSAO=45°,：.S0=A0=3x,：.OOl=2x.

==

S躺截面=2(6x+2x)?2x=392,解得x=7.故圓臺的IWJOO\14cm>母線長A\A00\

=14應cm