線段的垂直平分線八年級數學上冊尖子生培優(yōu)題典22

2021-2022學年八年級數學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬教版】專題線段的垂直平分線姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔2021秋?徐匯區(qū)期中〕到一個三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形〔〕A．三條中線的交點B．三條高的交點C．三邊中垂線的交點D．三條角平分線的交點【分析】根據線段的操作票個方向的性質即可判斷．【解析】三角形的三邊的中垂線到三個頂點距離相等，應選：C．2．〔2021秋?普蘭店區(qū)期末〕線段AB的垂直平分線上一點P到A點的距離PA＝5，那么點P到B點的距離PB等于〔〕A．PB＝5B．PB＞5C．PB＜5D．無法確定【分析】根據線段垂直平分線的性質解答即可．【解析】∵點P在線段AB的垂直平分線上，∴PB＝PA＝5，應選：A．3．〔2021?梧州〕如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點E，且AC＝8，BC＝5，那么△BEC的周長是〔〕A．12B．13C．14D．15【分析】直接利用線段垂直平分線的性質得出AE＝BE，進而得出答案．【解析】∵DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周長是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．應選：B．4．〔2021秋?浦東新區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，DE垂直平分AC邊，垂足為點E，假設∠B＝70°，且AB+BD＝BC，那么∠BAC的度數是〔〕A．40°B．65°C．70°D．75°【分析】連接AD，根據線段垂直平分線的性質得到AD＝CD，推出AB＝AD，根據等腰三角形的性質得到∠ADB＝∠B＝70°，根據三角形的內角和即可得到結論．【解析】連接AD，∵DE垂直平分AC邊，∴AD＝CD，∵BC＝BD+CD＝AB+BD，∴AB＝CD，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝70°，∴∠C=12ADB＝35∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，應選：D．5．〔2021秋?石阡縣期末〕如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，假設△DBC的周長為35cm，那么BC的長為〔〕A．5cmB．10cmC．15cmD．cm【分析】利用線段垂直平分線的性質得AD＝BD，再利用條件三角形的周長計算．【解析】∵△DBC的周長＝BC+BD+CD＝35cm〔〕又∵DE垂直平分AB∴AD＝BD〔線段垂直平分線的性質〕故BC+AD+CD＝35cm∵AC＝AD+DC＝20〔〕∴BC＝35﹣20＝15cm．應選：C．6．〔2021秋?長寧區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E．△ABC的周長為19，△ACE的周長為13，那么AB的長為〔〕A．3B．6C．12D．16【分析】根據線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質即可得到結論．【解析】∵AB的垂直平分線交AB于點D，∴AE＝BE，∵△ACE的周長＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周長＝AC+BC+AB＝19，∴AB＝△ABC的周長﹣△ACE的周長＝19﹣13＝6，應選：B．7．〔2021春?濟寧期末〕在△ABC紙片上有一點P，且PA＝PB，那么P點一定〔〕A．是邊AB的中點B．在邊AB的垂直平分線上C．在邊AB的高線上D．在邊AB的中線上【分析】根據線段垂直平分線的判定定理解答．【解析】∵PA＝PB，∴P點在在邊AB的垂直平分線上，應選：B．8．〔2021秋?河東區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分線交AB于點M，交AC于點D，△BDC的周長為18，那么AC為〔〕A．10B．16C．18D．26【分析】根據線段垂直平分線的性質得到AD＝DB，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【解析】∵MN是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∵△BDC的周長為18，∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝18，∵BC＝8，∴AC＝10，應選：A．9．〔2021秋?東坡區(qū)期末〕如圖：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，∠CAD：∠DAB＝2：1，那么∠B的度數為〔〕A．20°B．°C．25°D．30°【分析】由DE是AB的垂直平分線，利用線段的垂直平分線的性質得∠B＝∠BAD，結合∠CAD：∠DAB＝2：1與直角三角形兩銳角互余，可以得到答案．【解析】在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分線∴∠B＝∠BAD∵∠CAD：∠DAB＝2：1∴4∠B＝90°∴∠B＝°應選：B．10．〔2021秋?天寧區(qū)期中〕如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線DE，分別與AB邊和AC邊交于點D和點E，BC邊的垂直平分線FG，分別與BC邊和AC邊交于點F和點G，又△BEG的周長為16，且GE＝1，那么AC的長為〔〕A．16B．15C．14D．13【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到EB＝EA、GB＝GC，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【解析】∵DE是AB邊的垂直平分線，∴EB＝EA，∵FG是BC邊的垂直平分線，∴GB＝GC，∵△BEG的周長為16，∴GB+GE+EB＝16，∴AE+GE+GC＝16，∴AC+GE+GE＝16，∵GE＝1，∴AC＝16﹣2＝14，應選：C．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021秋?朝陽縣期末〕如圖：△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，那么△ABC的周長為19cm．【分析】由條件，利用線段的垂直平分線的性質，得到AD＝CD，AC＝2AE，結合周長，進行線段的等量代換可得答案．【解析】∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周長＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案為19cm．12．〔2021秋?呼和浩特期末〕如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線MN交AC于點D，連接BD．假設AC＝7，BC＝5，那么△BDC的周長是12．【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到DA＝DB，根據三角形的周長公式計算即可．【解析】∵NM是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴△BDC的周長＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝12，故答案為：12．13．〔2021秋?定西期末〕如圖，在△ABC中，點O是BC、AC的垂直平分線的交點，OB＝5cm，AB＝8cm，那么△AOB的周長是18cm．【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到OA＝OB，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【解析】∵點O是BC、AC的垂直平分線的交點，∴OA＝OB＝5cm，∴△AOB的周長＝OA+OB+AB＝18〔cm〕，故答案為：18．14．〔2021春?浦東新區(qū)月考〕如圖，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，假設∠DAC：∠DAB＝1：2，那么∠BAC＝度．【分析】設∠DAB＝x，那么∠DAC＝2x，根據線段垂直平分線的性質得到DA＝DB，那么∠B＝∠DAB＝x，再利用三角形內角和得到90°+x+2x+x＝180°，解方程求出x，然后計算3x即可．【解析】設∠DAB＝x，那么∠DAC＝2x，∵DE是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝x，∵∠C+∠B+∠CAB＝180°，∴90°+x+2x+x＝180°，解得x＝°，∴∠BAC＝x+2x＝3x＝°．故答案為．15．〔2021秋?松江區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交BC、AB于點D、E，∠CAB＝50°，那么∠CAD＝10°．【分析】由直角三角形兩銳角的關系求得∠B，由DE垂直平分AB，推出DA＝DB，根據等腰三角形的性質求出∠DAB，進而求得∠CAD．【解答】解∵∠C＝90°，∠CAB＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝40°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝50°﹣40°＝10°，故答案為：10°．16．〔2021秋?浦東新區(qū)期末〕如圖，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，假設∠BAC＝110°，那么∠DAE＝40°．【分析】根據三角形內角和定理得到∠B+∠C＝70°，根據線段垂直平分線的性質得到DA＝DB，EA＝EC，根據等腰三角形的性質計算，得到答案．【解析】∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠DAE＝∠BAC﹣〔∠DAB+∠EAC〕＝40°，故答案為：40．17．〔2021秋?奉賢區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分線分別交AC和AB于點D和E，那么∠DBC＝15度．【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根據線段垂直平分線的性質得到DA＝DB，得到∠ABD＝∠A＝50°，結合圖形計算即可．【解析】∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DE是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．故答案為：15．18．〔2021秋?浦東新區(qū)月考〕如圖，在△ABC中，直線l垂直平分BC，射線m平分∠ABC，且l與m相交于點P，假設∠A＝60°，∠ACP＝15°，那么∠ABP＝35°．【分析】設∠ABP＝x，根據角平分線的定義用x表示出∠CBP，根據線段垂直平分線的性質得到PB＝PC，根據等腰三角形的性質得到∠PCB＝∠CBP＝x，根據三角形內角和定理列出方程，解方程得到答案．【解析】設∠ABP＝x，∵BP平分∠ABC，∴∠CBP＝∠ABP＝x，∵直線l垂直平分BC，∴PB＝PC，∴∠PCB＝∠CBP＝x，∴60°+15°+x+x+x＝180°，解得，x＝35°，即∠ABP＝35°，故答案為：35．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021秋?隴縣期中〕如圖，在△ABE中，AD⊥BE于點D，C是BE上一點，BD＝DC，且點C在AE的垂直平分線上，假設△ABC的周長為18cm，求DE的長．【分析】根據線段垂直平分線的性質得到CA＝CE，AB＝AC，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【解析】∵點C在AE的垂直平分線上，∴CA＝CE，∵AD⊥BE，BD＝DC，∴AB＝AC，∵△ABC的周長為18，∴AB+BC+AC＝18，∴2AC+2DC＝18，∴AC+DC＝9，∴DE＝DC+CE＝AC+CD＝9〔cm〕．20．〔2021春?奉賢區(qū)期末〕如圖，AD平分∠BAC，BE∥AD，F是BE的中點，試說明AF⊥BE的理由．【分析】先由角平分線定義得出∠BAD＝∠CAD，再根據平行線的性質得出∠EBA＝∠BAD，∠E＝∠CAD，那么∠EBA＝∠E，由等角對等邊得出AE＝AB，又F是BE的中點，根據等腰三角形三線合一的性質即可證明AF⊥BE．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠EBA＝∠BAD，∠E＝∠CAD，∴∠EBA＝∠E，∴AE＝AB，又∵F是BE的中點，∴AF⊥BE．21．〔2021?淮陰區(qū)一?！橙鐖D，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，求∠DBC的度數．【分析】先根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理求出∠ABC及∠ACB的度數，再根據線段垂直平分線的性質求出∠ABD的度數即可進行解答．【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=180°-∠A2∵MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案為：30°．22．〔2021秋?盧龍縣期末〕如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點D和點E．〔1〕假設AB＝10，那么△CDE的周長是多少？為什么？〔2〕假設∠ACB＝125°，求∠DCE的度數．【分析】〔1〕依據線段垂直平分線的性質，即可得到△CDE的周長＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；〔2〕依據AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根據三角形內角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，進而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根據∠DCE＝∠ACB﹣〔∠ACD+∠BCE〕進行計算即可．【解析】〔1〕△CDE的周長為10．∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周長＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；〔2〕∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣〔∠ACD+∠BCE〕＝125°﹣55°＝70°．23．〔2021秋?蕪湖期中〕如下圖，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于D，E，垂足分別是M，N．〔1〕假設△ADE的周長為6，求BC的長；〔2〕假設∠BAC＝100°，求∠DAE的度數．【分析】〔1〕根據線段垂直平分線的性質得到AD＝BD，EA＝EC，根據三角形的周長公式計算，得到答案；〔2〕根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠BAD=12∠ADE，∠C＝∠EAC=12【解析】〔1〕∵DM和EN分別垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∵△ADE的周長為6，∴AD+DE+EA＝6．∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；〔2〕∵DM和EN分別垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∴∠B＝∠BAD=12∠ADE，∠C＝∠EAC=12∵∠BAC