高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：專題4.3 指數(shù)函數(shù)-重難點(diǎn)題型精講（學(xué)生版）

專題4.3指數(shù)函數(shù)-重難點(diǎn)題型精講1．指數(shù)函數(shù)的定義(1)一般地，函數(shù)y=(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1)解析式的結(jié)構(gòu)特征：

①的系數(shù)為1;

②底數(shù)a是大于0且不等于1的常數(shù).2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)3．底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象的影響指數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1)的底數(shù)對(duì)圖象的影響可以從不同角度來(lái)記憶理解.

(1)無(wú)論是a>1還是0<a<1，在第一象限內(nèi)，自下而上，圖象越高的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，即“底大圖高”.(2)左右比較：在直線y=1的上面，a>1時(shí)，a越大，圖象越靠近y軸；0<a<1時(shí)，a越小，圖象越靠近y軸.

(3)上下比較：比較圖象與直線x=1的交點(diǎn)，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.4．比較冪值大小的方法比較冪值大小的方法：【題型1指數(shù)函數(shù)的解析式、定義域與值域】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合具體條件，進(jìn)行求解即可.【例1】（2021秋?南寧期末）函數(shù)f（x）＝2x的定義域?yàn)椋ǎ〢．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．R【變式1-1】（2021秋?閻良區(qū)期末）函數(shù)y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，1] D．[0，1）【變式1-2】（2021秋?城區(qū)校級(jí)期中）指數(shù)函數(shù)y＝f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，4），則f（3）的值為（）A．4 B．8 C．16 D．1【變式1-3】（2021秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值是（）A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2【題型2比較冪值的大小】【方法點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，來(lái)比較冪值的大小.【例2】（2021秋?路南區(qū)校級(jí)期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，則（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞b＞c【變式2-1】（2021秋?廈門期末）下列選項(xiàng)正確的是（）A．0.62.5＞0.63 B．1.7?13＜C．1.11.5＜0.72.1 D．212＞【變式2-2】（2021秋?懷仁市校級(jí)期末）設(shè)a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【變式2-3】（2021秋?天寧區(qū)校級(jí)期中）已知a＝0.3﹣0.2，b=(13)0.3，c＝A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【題型3解指數(shù)不等式】【方法點(diǎn)撥】指數(shù)不等式的三種求解方法：(1)性質(zhì)法：解形如>的不等式，可借助函數(shù)y=的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論.(2)隱含性質(zhì)法：解形如>b的不等式，可先將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助函數(shù)y=的單調(diào)性求解.(3)圖象法：解形如>的不等式.可利用對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象求解.【例3】（2020秋?興慶區(qū)校級(jí)期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范圍是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）【變式3-1】（2021秋?北碚區(qū)校級(jí)月考）不等式(1A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2） C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【變式3-2】（2021秋?黃埔區(qū)校級(jí)期中）已知a＞0，且a≠1，若函數(shù)y＝xa﹣1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范圍是（）A．（﹣∞，?15） B．（?15，+C．（﹣∞，?15）∪（?15，+∞） D【變式3-3】（2021秋?豐臺(tái)區(qū)期中）已知指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，12（I）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；（II）若不等式滿足f（2x+1）＞1，求x的取值范圍．【題型4指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】①指數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別：對(duì)于所給函數(shù)解析式，研究函數(shù)的單調(diào)性、特殊值等，利用排除法，得出正確的函數(shù)圖象.②指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用：對(duì)于與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的作圖問(wèn)題，一般宜用變換作圖法作圖，這樣有利于從整體上把握函數(shù)的性質(zhì)，從而指數(shù)函數(shù)的圖象來(lái)比較大小、解不等式、求最值等.【例4】（2021秋?臨渭區(qū)期末）函數(shù)y＝x+a與y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（）A． B． C． D．【變式4-1】（2021秋?微山縣校級(jí)月考）若指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù)）的圖象如圖所示，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【變式4-2】（2021秋?中寧縣校級(jí)期中）如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小是（）A．a(chǎn)＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a(chǎn)＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d【變式4-3】（2021?長(zhǎng)春模擬）如圖，①②③④中不屬于函數(shù)y＝2x，y＝3x，y=(1A．① B．② C．③ D．④【題型5指數(shù)型復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】借助指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)研究指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合具體問(wèn)題，進(jìn)行求解即可.【例5】（2021秋?蚌埠月考）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，19（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，當(dāng)x∈[﹣2，1]時(shí)的值域．【變式5-1】（2021秋?凌源市期中）設(shè)函數(shù)f（x）＝（12）10﹣ax，其中a為常數(shù)，且f（3）=（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范圍．【變式5-2】（2021秋?欽州期末）已知函數(shù)f（x）＝2x﹣1+a（a為常數(shù)，且a∈R）恒過(guò)點(diǎn)（1，2）．（1）求a的值；（2）若f（x）≥2x，求x的取值范圍．【變式5-3】（2022秋?新華區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝ax+b的圖象如圖所示．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式c?10x+6xf(x)+3＞0對(duì)任意【題型6指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，建立指數(shù)函數(shù)模型，借助指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解題，注意要滿足實(shí)際條件.【例6】（2022春?殷都區(qū)校級(jí)期末）某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果成人按規(guī)定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y（μg）與服藥后的時(shí)間t（h）之間近似滿足如圖所示的曲線．其中OA是線段，曲線段AB是函數(shù)y＝k?at（t≥1，a＞0，k，a是常數(shù)）的圖象．（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于2（μg）時(shí)治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？（3）若按（2）中的最遲時(shí)間服用第二次藥，則第二次服藥后再過(guò)3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1μg）【變式6-1】牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏時(shí)溫度的不同而不同，假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度間的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間約是192h，而在22℃的廚房中則約是42h（1）寫出保鮮時(shí)間y（單位：h）關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）的函數(shù)解析式；（2）利用（1）中結(jié)論，指出溫度在30℃和16℃的保鮮時(shí)間（精確到1h）.【變式6-2】（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）已知某地區(qū)現(xiàn)有人口50萬(wàn)．（I）若人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2%，試寫出人口數(shù)y（萬(wàn)人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系；（Ⅱ）若20年后該地區(qū)人口總數(shù)控制在60萬(wàn)人，則人口的年自然增長(zhǎng)率應(yīng)為多少？（201.2=【變式6-3】（2021秋?長(zhǎng)豐縣校