高中數(shù)學人教A版必修2同步練習：2.3.2平面與平面垂直的判定

第二章2.32.3一、選擇題1．下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系，其中正確的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②[答案]B[解析]對①，顯然混淆了平面與半平面的概念，是錯誤的；對②，由于a，b分別垂直于兩個面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角(或直角)，所以應(yīng)是相等或互補，是正確的；對③，因為不垂直于棱，所以是錯誤的；④是正確的，故選B.[點評]根據(jù)二面角的相關(guān)概念進行分析判定．2．以下三個命題中，正確的命題有()①一個二面角的平面角只有一個；②二面角的棱垂直于這個二面角的平面角所在的平面；③分別在二面角的兩個半平面內(nèi)，且垂直于棱的兩直線所成的角等于二面角的大小A．0個 B．1個C．2個 D．3個[答案]B[解析]僅②正確．3．已知α，β是平面，m、n是直線，給出下列表述：①若m⊥α，m?β，則α⊥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β.其中表述正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]①是平面與平面垂直的判定定理，所以①正確；②中，m，n不一定是相交直線，不符合兩個平面平行的判定定理，所以②不正確；③中，還可能n∥α，所以③不正確；④中，由于n∥m，n?α，m?α，則n∥α，同理n∥β，所以④正確．4．正方體A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)[答案]C[解析]設(shè)AC、BD交于O，連A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，∴∠A1OA為二面角的平面角．tan∠A1OA＝eq\f(A1A,AO)＝eq\r(2)，∴選C.5．(2013～2014·福建泉州質(zhì)量檢測)在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，則下面四個結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析]可畫出對應(yīng)圖形，如圖所示，則BC∥DF，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF?平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．6．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，則二面角α－l－β的平面角的大小為()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°[答案]D[解析]如圖，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面ABC，設(shè)平面ABC∩l＝D，則∠ADB為二面角α－l－β的平面角或補角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小為60°或120°.二、填空題7．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右圖所示，則在三棱錐P－ABC的四個面中，互相垂直的面有________對．[答案]3[解析]∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA?平面PAB，PA?平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可證：平面PAB⊥平面PAC.8．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F(xiàn)分別在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，則BF＝[答案]1[解析]∵AB⊥平面BC1，C1F?平面BC1，CF?平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥∴C1F⊥EF，CF⊥EF∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.9．如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.(1)二面角A－PD－C的度數(shù)為________．(2)二面角B－PA－D的度數(shù)為________．(3)二面角B－PA－C的度數(shù)為________．(4)二面角B－PC－D的度數(shù)為________．[答案]90°；90°；45°；120°[解析](1)PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，∴二面角A－PD－C為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA，∴∠BAD為二面角B－AP－D的平面角．又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D為90°.(3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，∴∠BAC為二面角B－PA－C的平面角，又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B－PA－C為45°.(4)作BE⊥PC于E，連DE，則由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE，從而△PBE≌△PDE，∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE，∴∠BED為二面角B－PC－D的平面角．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴BE＝eq\f(PB·BC,PC)＝eq\f(\r(6),3)a，BD＝eq\r(2)a，∴取BD中點O，則sin∠BEO＝eq\f(BO,BE)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°∴二面角B－PC－D的度數(shù)為120°.三、解答題10．(2013·山東)如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．求證：平面EFG⊥平面EMN.[分析]本題可以根據(jù)已知條件證明AB⊥平EFG，然后利用MN∥AB得到平面EFG⊥平面EMN.[證明]因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.11．(2013·天津)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點(1)證明B1C1⊥CE(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．[分析](1)可考慮證明B1C1⊥平面CC1E，由線面垂直推論線線垂直；(2)先作出二面角的平面角，再通過解三角形求解[解析](1)因為側(cè)棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B經(jīng)計算可得B1E＝eq\r(5)，B1C1＝eq\r(2)，EC1＝eq\r(3)，從而B1E2＝B1Ceq\o\al(2,1)＋ECeq\o\al(2,1)，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E又CC1，C1E?平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E又CE?平面CC1E，故B1C1⊥CE(2)如圖所示，過B1作B1G⊥CE于點G，連接C1G由(1)知，B1C1⊥CE故CE⊥平面B1C得CE⊥C1G所以∠B1GC1為二面角B1－CE－C1的平面角．在△CC1E中，由CE＝C1E＝eq\r(3)，CC1＝2，可得C1G＝eq\f(2\r(6),3).在Rt△B1C1G中，B1G＝eq\f(\r(42),3)所以sin∠B1GC1＝eq\f(\r(21),7)，即二面角B1－CE－C1的正弦值為eq\f(\r(21),7).12．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，求證：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．[分析]解答本題第(1)(2)問可先根據(jù)需證問題尋找相關(guān)元素，再由判定定理進行判定．第(3)問可先找出二面角的平面角，再證明平面角等于45°.[證明](1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可證PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面P