圖形的相似知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)

相似三角形根本知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)知識(shí)點(diǎn)一：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)〔1〕有關(guān)概念1、兩條線段的比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段量得AB、CD的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是AB:CD＝m：n例：線段AB=2.5m,線段CD=400cm，求線段AB與CD的比。2.比例線段：四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即〔或a：b=c：d〕，那么，這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段?！沧⒁猓涸谇缶€段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位，還要注意順序。〕例：b,a,d,c是成比例線段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求線段d的長(zhǎng)度?！?〕比例性質(zhì)1.根本性質(zhì):〔兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積〕2.反比性質(zhì)：(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)3.更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：4.等比性質(zhì)：〔分子分母分別相加，比值不變.〕如果，那么．注意：(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法〞，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法．(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．例：5.合比性質(zhì)：〔分子加〔減〕分母,分母不變〕．知識(shí)點(diǎn)二：平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。用符號(hào)語言表示：∵AD//BE//CF,∴AB2.推論:平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。是“是“A〞字型是“8〞字型經(jīng)常考，關(guān)鍵在于找?guī)缀握Z言：由DE∥BC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.例：如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,EF//BC,AGGC=2知識(shí)點(diǎn)三：相似形多邊形1.定義：各角分別相等、各邊成比列的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。2.相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。3.判定：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比列，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)多邊形相似?！沧⒁猓号袛鄡蓚€(gè)多邊形相似時(shí)，一要看各個(gè)角是否對(duì)應(yīng)相等，二要看各條邊是否對(duì)應(yīng)成比列，這兩個(gè)條件缺一不可?！?.任意兩個(gè)等邊三角形相似，任意兩個(gè)正方形相似，任意兩個(gè)正n邊形相似。例1：以下判斷正確的選項(xiàng)是〔〕A.兩個(gè)矩形一定相似。B.兩個(gè)平行四邊形一定相似。C.兩個(gè)正方形一定相似。D.兩個(gè)菱形一定相似。例2：小明將一張報(bào)紙對(duì)折，發(fā)現(xiàn)對(duì)折后的半張報(bào)紙與整張報(bào)紙相似，你能算出報(bào)紙的長(zhǎng)與寬的比嗎？知識(shí)點(diǎn)四：黃金分割定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。所以：≈0.618。例：線段AB=10cm,點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，求AC和BC的長(zhǎng)。(2〕黃金分割的幾何作圖：：線段AB.求作：點(diǎn)C使C是線段AB的黃金分割點(diǎn).作法：①過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=1②連結(jié)AD，在DA上截取DE=DB；③在AB上截取AC=AE，那么點(diǎn)C就是所求作的線段AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為：.〔3〕黃金矩形：在矩形中，如果寬與長(zhǎng)的比是黃金比，那么這個(gè)矩形叫做黃金矩形?！?〕黃金三角形：頂角為36。的等腰三角形叫做黃金三角形，因?yàn)樵撊切蔚牡走叡壬涎L(zhǎng)等于5-例：如圖，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分線．(1)求證：AD2=CD·AC；(2)假設(shè)AC=a，求AD．知識(shí)點(diǎn)五：相似三角形相似三角形〔1〕定義：三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個(gè)全等三角形一定相似〔相似比為1〕。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似?！?〕性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例。〔3〕相似比：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。如△ABC與△DEF相似，記作△ABC∽△DEF。相似比為k。〔4〕判定：①定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。②三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。2.三角形相似的判定定理：判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。(此定理用的最多)幾何語言：在△ABC和△DEF中如果<A=<D,<B=<E，那么△ABC∽△DEF判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。幾何語言：〔如上圖〕在△ABC和△DEFF中如果<A=<D,且ABDE=ACDF，那么判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。幾何語言：〔如上圖〕在△ABC和△DEF中如果ABDE=ACDF=例1：如圖，〔1〕假設(shè)________,那么△ABC∽△AEF；〔2〕假設(shè)∠E＝________，那么△ABC∽△AEF。直角三角形相似判定定理:eq\o\ac(○,1).有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。eq\o\ac(○,2).斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。3.補(bǔ)充：直角三角形中的相似問題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA〔在直角三角形的計(jì)算和證明中有廣泛的應(yīng)用〕.例：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，(1)求證：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA；(2)求證：CD2=AD·AD；(3)求證：AC·BC=AB·CD．4.相似圖形中常見的根本圖形：5.相似三角形的性質(zhì)①相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.②相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、周長(zhǎng)的比都等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比).③相似三角形對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方.④兩個(gè)相似三角形的相似比等于面積比的算術(shù)平方根⑤任意兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比都等于相似比，面積比都等于相似比的平方。例1：△ABC∽△DEF，BD和EG是它們的對(duì)應(yīng)中線，ACDF=3例2：如果兩個(gè)相似三角形的面積比為16:25，那么這兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是_______。例3：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB和AC上的點(diǎn)，DE//BC,AD=3BD,S⊿ABC=48求S⊿ADE相似的應(yīng)用：位似〔1〕定義：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。②兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)。③兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。④位似比就是相似比。〔2〕性質(zhì)：①位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比〔相似比〕。②位似圖形上任意位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上。③位似圖形上的對(duì)應(yīng)線段平行或在同一條直線上。④位似圖形是特殊的相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。畫位似圖形的一般步驟：〔1〕確定位似中心〔位似中心可能在圖形內(nèi)部也可能在圖形外部也可能在圖形上〕〔2〕確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)〔通常是多邊形的頂點(diǎn)〕〔3〕確定位似比〔4〕根據(jù)位似比，找出新圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，最后將各點(diǎn)順次連接。坐標(biāo)變換與圖形的關(guān)系：在直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)數(shù)k〔k≠0〕，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，他們的相似比為∣k∣。例1：以下說法中正確的有〔〕〔1〕位似多邊形一定是相似多邊形?！?〕相似多邊形一定是位似多邊形〔3〕兩個(gè)位似多邊形每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比為2︰3，那么兩個(gè)多邊形的面積之比為4︰9。〔4〕兩個(gè)位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一直線上。例2：假設(shè)△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)O位似，其位似比是1:2，AO=5，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、Ｄ之間的距離是。例3：在平面直角坐標(biāo)系中，A(6，3)、B(6，0)兩點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，相似比為13，把線段AB縮短后得到線段A1B1，那么A1B1，的長(zhǎng)度等于歷年中考試題練習(xí)一、選擇題1、如圖1,AD與BC相交于點(diǎn)O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,那么∠AOC的大小為〔〕A.60°B.70°C.80°D.120°BABACDEABCDO圖12、如圖，D、E分別是的AB、AC邊上的點(diǎn)，且那么等于〔〕 A．1:9 B．1:3 C．1:8 D．1:3、如圖，是由經(jīng)過位似變換得到的，點(diǎn)是位似中心，分別是的中點(diǎn)，那么與的面積比是〔〕A． B． C． D．第3題圖第4題圖4、如上圖，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且∠BEC＝90°，將△BEC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到△DCF，連EF交CD于M．BC＝5，CF＝3，那么DM:MC的值為〔〕A.5:3B.3:5C.4:3D.35、如圖，在中，、分別是、邊的中點(diǎn)，假設(shè)，那么等于〔〕 A．5 B．4第5題第5題ABCDEA6、，相似比為3，且的周長(zhǎng)為18，那么的周長(zhǎng)為〔〕A．2 B．3 C．67、如圖,Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點(diǎn),作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,設(shè)BP=x,那么PD+PE=〔〕A.B.C.D.8、如圖，在Rt△ABC內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為的三個(gè)正方形，那么滿足的關(guān)系式是〔〕A、B、C、D、EHFGCBA9、如圖，△ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，那么圖中陰影局部EHFGCBAＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10、以下四個(gè)三角形，與左圖中的三角形相似的是〔〕〔第〔第10題〕A．B．C．D．二、填空題1、如圖，兩點(diǎn)分別在的邊上，與不平行，當(dāng)滿足條件〔寫出一個(gè)即可〕時(shí)，．第3題圖2、如果兩個(gè)相似三角形的相似比是，那么這兩個(gè)三角形面積的比是第3題圖3、如圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，CD⊥AB于點(diǎn)D,BC=3,AB=5,寫出其中的一對(duì)相似三角形是和；并寫出它的面積比.4、兩個(gè)相似三角形的面積比S1:S2與它們對(duì)應(yīng)高之比h1:h2之間的關(guān)系為．5、如圖4，AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=第9第9題圖圖9、如圖，要測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離，在O點(diǎn)打樁，取OA的中點(diǎn)C，OB的中點(diǎn)D，測(cè)得CD=30米，那么AB=______11、在同一時(shí)刻，身高1.6米的小強(qiáng)在陽光下的影長(zhǎng)為0.8米，一棵大樹的影長(zhǎng)為4.8米，那么樹的高度為______三、解答題1、如圖，在△ABC中，BC>AC，點(diǎn)D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分線CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)EF.〔1〕求證：EF∥BC.〔2〕假設(shè)四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積.2、如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG