概率論課件第一章習題課

第一章事件與概率

主要內(nèi)容:一、概率的概念１．事件的有關關系和運算;２．概率的定義.

（1）描述性定義；（2）統(tǒng)計定義；（3）公理化定義.二、概率的性質三、三種特殊概率：古典概型、幾何概型、伯努利概型四、有關條件概率的計算公式五、獨立性第一章習題課隨機試驗隨機事件樣本空間事件的關系及運算小結基本概念必然事件不可能事件三個限定條件——所有基本事件構成的集合——四種關系和三種運算可在相同條件下重復進行；每次試驗可出現(xiàn)多種可能結果；每次試驗前能明確試驗的所有可能結果，但不能確定試驗后會出現(xiàn)哪一個結果.基本事件復合事件試驗的每個可能的結果——不能再分或不必細分——多于一個的基本事件構成

P(

)=1，P(

)=0，反之不真！反之不真！關系運算包含相等互斥互逆和積差AB=

AB=

，

A∪B=

兩兩互不相容交換律結合律分配律對偶律——和、積——和、積——積關于和，和關于積——和、積A∪B={

|

A或

B}

A∩B={

|

A且

B}

A

-

B={

|

A且

B}

概率定義性質——定義在樣本空間上滿足三條公理的集合函數(shù)

——5

條(1)

0

≤

P(A)≤

1;(2)

P(

)=1;(3)

兩兩互不相容事件A1,…,An,…有

P(

Ai

)=

P(Ai

).

10P(

)=0;20若事件A1,…,

An

兩兩互不相容,則P(

Ai

)=

P(Ai

);30對任意事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+

P(B)-

P(AB);40對任一事件A，有P(A)=1-P(

A

);50設Ａ,B是兩個事件，且B

Ａ，則

P(A-

B)=P(A)-

P(B),

P(B)≤

P(A),

直接計算推算古典概型幾何概率伯努利概型條件概率利用獨立性重要公式計算

乘法公式全概率公式貝葉斯公式P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)

(

P(A)>

0)

等可能性有包含或主從關系時用---------該生是三年級男生但不是運動員---------全系遠動員都是三年級男生---------全系遠動員都是三年級學生--------全系女生在三年級且三年級學生的都是女生，即三年級學生由該系女生組成例1在數(shù)學系的學生中任選一名學生，令事件A表示被選學生是男生，事件B表示該生是三年級學生，事件C表示該生是運動員。（2）在什么條件下ABC=C

成立？（1）敘述事件的意義。（3）什么時候關系式

是正確的？（4）什么時候

成立？例2．對立事件與互不相容事件有何聯(lián)系與區(qū)別？答：（1）兩事件對立必定互不相容，但互不相容未必對立；（2）互不相容的概念適用與多個事件，但對立的概念只適用于兩個事件；（3）兩個事件互不相容是指這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生一個，但可以都不發(fā)生，而兩個事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生。例3．某人投籃兩次，設“第i次投中”，i=1，2，試用B=“兩次都投中”，C=“兩次都未投中”，D=“恰有一次投中”，E=“至少有一次投中”，并指出B、C、D、E中哪些是互不相容事件？哪些是對立事件？表示下列事件：答：（1）事件B、C、D兩兩互不相容，因為在兩次投籃中，B、C、D不可能同時發(fā)生任意兩個結果。事實上即故B、C、D兩兩互不相容。（2）C和E是對立事件故C和E是對立事件。例4．若事件A、B、C滿足A+C=B+C，問A=B是否成立？則但顯然答：不一定成立。例如：例5．設隨機事件A,B互不相容，已知試求：解：因為A，B互不相容,故有又因為A，B互不相容，故所以例6

設A,B滿足P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何條件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在時取得

——最小值——最大值最大值在時取得

例7.設事件{擲一枚骰子4次，得一次六點}；{擲二枚骰子24次，得一次雙六}.試比較

的大小.

解

{擲一枚骰子1次，得六點}是伯努利試驗的一種結果，且

故

{擲二枚骰子1次，得雙六}是伯努利試驗的一種結果，且

故

所以

例8．將3個小球隨機地放入4個盒子中,求盒子中球的最多個數(shù)分別為1，2，3的概率。解：這是一個古典概型問題，3個球放入4個盒子中是種。有重復的排列，總方法有（1）、盒子中球的最多個數(shù)為1，即3個球分別放入4個盒子中的3個盒子中包含的基本事件數(shù)為：

盒子中的2個盒子中，放法為（2）盒子中球的最多個數(shù)為2，即3個球分別放入4個2個球，另一個盒子中有1個球，這一個球從3個球中所以該事件包含的基本其中一個盒子中有任取，取法為組合數(shù)為事件數(shù)為：（3）盒子中球的最多個數(shù)為3，即3個球分別放入4個盒子中的1個盒子中，放法為：解設A=“取到的n個數(shù)字的乘積能被10整除”

A1

=“取到的n個數(shù)字中有偶數(shù)”

A2

=“取到的n個數(shù)字中有5”A=A1A2例9在1,2,3,,9中重復地任取

n

()個數(shù),求

n

個數(shù)字的乘積能被10整除的概率.例10

把標有1,2,3,4的4個球隨機地放入標有1,2,3,4的4個盒子中，每盒放一球，求至少有一個盒子的號碼與放入的球的號碼一致的概率。解設A

為所求的事件，設Ai

表示i號球入

i號盒，

i=1,2,3,4則由廣義加法公式例11.可靠性問題2514331421423元件5不能正常工作元件5能正常工作系統(tǒng)1系統(tǒng)2(橋式系統(tǒng)）設一個系統(tǒng)由5個元件組成，連接的方式如圖所示，每個元件的可靠度都是p，每個元件是否正常工作是相互獨立的。求這個橋式系統(tǒng)的可靠度.解：設事件A表示整個橋式系統(tǒng)正常工作，個元件正常工作，i＝1,2,3,4,5

表示第i系統(tǒng)131421423系統(tǒng)2即被儀器判為不合格品的產(chǎn)品中有98%的產(chǎn)品為合格品，從而不能采用這臺新發(fā)明的儀器．例12.

某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格率為0.1%,但是沒有適當?shù)膬x器進行檢驗．有人聲稱發(fā)明了一種儀器可以用來檢驗，誤判的概率僅5%，即把合格品判為不合格的概率為5%,，把不合格品判為合格品的概率也是5%.試問能否采用該人發(fā)明的儀器？解設事件A表示“隨機抽取1件產(chǎn)品為不合格品”，事件B表示“隨機抽取1件產(chǎn)品被儀器判為不合格品”，根據(jù)全概率公式有由Bayes公式有

例13.選擇題1．當事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生。則下列結論正確的是（）

1.C.因由得解答

2．設

且或則()答案Ａ

3．某人射擊時，每次中靶的概率為如果射擊到中靶為止，則射擊次數(shù)為3的概率為（）

答案Ｂ4.設互不相容,則一定成立的是（）

5．設是任意兩個事件，則

（）

答案Ｂ答案Ｃ

7．設則下列結論正確的是（）A.A,B獨立B.A,B互斥C.D.6.設為兩個隨機事件，且有

（）

答案Ｃ答案Ａ8．10只球中有3只紅球，7只綠球，隨機地分給10個小朋友，每人一球。則最后三個分到球的小朋友中恰有一個得紅球的概率為（）

9.設是兩兩獨立且不能同時發(fā)生的事件，且

則x的最大值為()A.B.1C.D.答案D解答由有即解得9.A

10．在10只球中只有1只紅球，有放回地抽取，每次取一球，直到第n

次才取到k(k<n)次紅球的概率為()

答案D11．甲、乙兩人進行象棋比賽。設事件{甲勝乙負}，則為（）

{乙勝甲負}{甲乙平局}{甲負}{甲負或平局}12．甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被射中，則它是由甲射中的概率是（）

答案Ａ

13．設每次試驗成功的概率為則在3次重復試驗中至少失敗一次的概率為（）

12.C記

={甲中}，={乙中}，={目標被擊中}.則所求概率為

解答答案D例17.填空題1．設是兩個事件，

則

2．某市有50%的住戶訂日報，65%的住戶訂晚報，85%的住戶至少訂這兩種報紙中的一種.則同時訂這兩種報紙的住戶占

3．將一枚骰子獨立地先后擲兩次，以x，y分別表示先后擲出的點數(shù)，設則

30%0.6

4．三人獨立破譯一密碼，能單獨譯出的概率分別為則此密碼能被譯出的概率為

5．設是兩個事件，

則

6．設是隨機事件，

則

0.60.70.8290.988

8．三臺機器相互獨立運轉。設第一、二、三臺機器不發(fā)生故障的概率依次為

0.9，0.8，0.7，則這三臺機器中至少有一臺發(fā)生故障的概率為

0.496投三次，則甲比乙進球多的概率為

0.436240