專題16 垂徑定理重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（八大題型）（解析版）

第二十四章圓專題16垂徑定理重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（八大題型）【題型目錄】題型一利用垂徑定理求值題型二利用垂徑定理求平行弦問題題型三利用垂徑定理求同心圓問題題型四利用垂徑定理求解其他問題題型五垂徑定理的推論題型六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用題型七利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解題型八利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、圓的對(duì)稱性（1）對(duì)稱中心圓既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。將圓周繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心。將圓周繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能與自身重合，這說明圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。將整個(gè)圓分為等份，每一份的弧對(duì)應(yīng)的圓心角，我們也稱這樣的弧為的弧。圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等．（2）對(duì)稱軸經(jīng)過圓心畫任意一條直線，并沿此直線將圓對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，所以圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸，所以圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。（3）垂徑定理1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙?，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；幾何語言：垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：垂徑定理在基本圖形中的應(yīng)用：2．其它正確結(jié)論：⑴弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。虎破椒窒宜鶎?duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。菆A的兩條平行弦所夾的弧相等．3．知二推三：①直徑或半徑；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分優(yōu)?。陨衔鍌€(gè)條件知二推三．注意：在由①③推②④⑤時(shí)，要注意平分的弦非直徑．4．常見輔助線做法：⑴過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長(zhǎng)度；⑵有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．知識(shí)點(diǎn)二、確定圓的條件1．過已知點(diǎn)作圓條件類別過一點(diǎn)作圓過兩點(diǎn)作圓過不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓理論依據(jù)經(jīng)過平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，只要以點(diǎn)以外任意一點(diǎn)為圓心，以這點(diǎn)到點(diǎn)的距離為半徑就能作出一個(gè)圓，這樣的圓能作出無數(shù)多個(gè)經(jīng)過平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，作圓，由于圓心到這兩個(gè)點(diǎn)的距離相等，所以圓心在線段的垂直平分線上，這樣的圓心有無數(shù)多個(gè)，這樣的圓能作無數(shù)多個(gè)經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，，作圓，圓心到這三個(gè)點(diǎn)的距離相等。因此，圓心是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以（或，）為半徑可作出經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓，這樣的圓只有一個(gè)圓形結(jié)論不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓2．定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：⑴“不在同一直線上”這個(gè)條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；⑵“確定”一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”．3．三角形的外接圓⑴經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.【經(jīng)典例題一利用垂徑定理求值】1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，是的外接圓，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)，，由垂徑定理可得，，即可得到是的中位線，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，，即是的中位線，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓和三角形結(jié)合題，熟練掌握?qǐng)A的垂徑定理及中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·遼寧鞍山·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，的半徑垂直于弦，垂足為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，．若，，則的面積為（

）

A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)垂徑定理可得出，用勾股定理可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x的值,進(jìn)而得出的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)以及三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，在中，，即，解得：，即，∵為的中位線，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、三角形的中位線以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)度屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)勾股定理找出方程是關(guān)鍵．3．（2023秋·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把一個(gè)寬度為的刻度尺在圓形光盤上移動(dòng)，當(dāng)刻度尺的一邊與光盤相切時(shí)，另一邊與光盤邊緣兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是“2”和“10”（單位：），那么光盤的半徑是．

【答案】5【分析】設(shè)光盤的圓心為O，過點(diǎn)O作垂直直尺于點(diǎn)A，連接，再設(shè)，利用勾股定理求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)光盤的圓心為O，如圖所示：

過點(diǎn)O作垂直直尺于點(diǎn)A，連接，再設(shè)，∵一邊與光盤邊緣兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是“2”和“10”，∴，∵刻度尺寬，∴，在中，，即，解得：．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，以及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將半徑為的折疊，弧恰好經(jīng)過與垂直的半徑的中點(diǎn)D，已知弦的長(zhǎng)為，則．

【答案】8【分析】延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，交于點(diǎn)F，連接，由與垂直，根據(jù)垂徑定理得到E為的中點(diǎn)，然后利用D是的中點(diǎn)和對(duì)稱即可求出的長(zhǎng)，從而求出，然后由的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出半徑的長(zhǎng)．【詳解】解：延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，交于點(diǎn)F，連接，

∵，∴E為的中點(diǎn)，∵，∴，∵D是的中點(diǎn)，，∴，，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得：，，在中，根據(jù)勾股定理可得：即∴（負(fù)值舍去）故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)以及勾股定理，在遇到直徑與弦垂直時(shí)，常常利用垂徑定理得出直徑平分弦，進(jìn)而由圓的半徑，弦心距及弦的一半構(gòu)造直角三角形來解決問題，故延長(zhǎng)并連接作輔助線是本題的突破點(diǎn)．5．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，交于點(diǎn)，，是半徑，且于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）由垂徑定理得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，從而證明；（2）設(shè)的半徑是，由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于的方程，即可求出的半徑．【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：連接，設(shè)的半徑是，，，，的半徑是5．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于半徑的方程．6．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）在同心圓中，大圓的弦交小圓于C，D兩點(diǎn)．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長(zhǎng)為___________．(2)如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點(diǎn)，若，求證．【答案】(1)4(2)見解析【分析】（1）連接，，過點(diǎn)作，則為，的中點(diǎn)，得出，，根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)；（2）過作，作，垂足分別為、，得出，，，，連接、、、，通過證明和，即可得證．【詳解】（1）連接，，過點(diǎn)作，則為，的中點(diǎn)，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為：（2）過作，作，垂足分別為、，∴，，，，又∵，∴，連接、、、，

在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解此類題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二利用垂徑定理求平行弦問題】1．（2023秋·天津和平·九年級(jí)?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離．【詳解】解：過點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，如圖，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離；所以與之間的距離為7或1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的?。部疾榱斯垂啥ɡ硪约胺诸愑懻摰乃枷氲倪\(yùn)用．2（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在⊙O中，AE是直徑，半徑OC垂直于弦AB于D，連接BE，若AB=2，CD=1，則BE的長(zhǎng)是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理求出AD,根據(jù)勾股定理列式求出半徑，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵半徑OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+()2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在半徑為4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，則AB與CD之間的距離是cm．【答案】或【分析】根據(jù)題意，分析兩種AB的位置情況進(jìn)行求解即可；【詳解】解：①如圖，AB//CD，過點(diǎn)O作在中∵，∴∴∵∴∴∵∴∴∴∵AB//CD∴AB與CD之間的距離即GH∴AB與CD之間的距離為②如圖，作，連接AD則有四邊形PEFD是矩形，∴EF=PD∵∴∵∴∵∴∴∵∴∴故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要圓的的性質(zhì)、三角形的全等，勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)并正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知⊙的直徑為26cm，AB、CD是⊙的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，則、之間的距離為cm．【答案】7或17/17或7【分析】首先分先AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，畫出圖形，過圓心O作兩弦的垂線，利用垂徑定理可分別求出圓心到兩弦的距離，從而可求出兩弦間的距離．【詳解】①當(dāng)弦AB、CD在圓心的同側(cè)時(shí)，如圖1過點(diǎn)O作OF⊥CD交AB于點(diǎn)E，連接OA，OC∵∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙的直徑為26∴OA=OC=13∴，∴EF=OF-OE=7②當(dāng)弦AB、CD在圓心的異側(cè)時(shí)，如圖2過點(diǎn)O作OF⊥CD，延長(zhǎng)FO交AB于點(diǎn)E，連接OA，OC∵∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙的直徑為26∴OA=OC=13∴，∴EF=OF+OE=17故答案為：7或17．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，解題是要注意分AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論．5．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離．【答案】14cm或2cm【分析】在⊙O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線段的長(zhǎng)度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長(zhǎng)表示這兩條平行弦AB、CD間的距離，不過本題要按平行線與圓間的位置關(guān)系分類討論．【詳解】（1）如圖1，當(dāng)⊙O的圓心O位于AB、CD之間時(shí)，作OM⊥AB于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MO，交CD于N點(diǎn)．分別連結(jié)AO、CO．∵AB∥CD，∴ON⊥CD，即ON為弦CD的弦心距．∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，∴，=8+6=14（cm）

圖1

圖2（2）如圖2所示，當(dāng)⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間（即弦AB、CD在圓心O的同側(cè)）時(shí)，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2（cm）∴⊙O中，平行弦AB、CD間的距離是14cm或2cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，解這類問題時(shí)，要按平行線與圓心間的位置關(guān)系分類討論，千萬別丟解．6．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，的兩條弦（AB不是直徑），點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接EC，ED．（1）直線EO與AB垂直嗎？請(qǐng)說明理由；（2）求證：．【答案】（1）直線EO與AB垂直．理由見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）依據(jù)垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦可得結(jié)論；（2）易證，由垂徑定理可得結(jié)論.【詳解】解：（1）直線EO與AB垂直．理由如下：如圖，連接EO，并延長(zhǎng)交CD于F．∵EO過點(diǎn)O，E為AB的中點(diǎn)，．（2），，．∵EF過點(diǎn)O，，垂直平分CD，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，靈活利用垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵.【經(jīng)典例題三利用垂徑定理求同心圓問題】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過，，O三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心為圖中的（）A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G【答案】B【分析】根據(jù)圖形作線段和的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)即為圓心，根據(jù)圖形得出即可．【詳解】解：如圖作線段和的垂直平分線，交于點(diǎn)E，即為弧的圓心，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運(yùn)用勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，即可求得AB的長(zhǎng).【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.3．（2019·浙江杭州·九年級(jí)）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為2和4，矩形的邊和分別是兩圓的弦，則矩形面積的最大值是．【答案】16【分析】過點(diǎn)O作OP⊥AB于P并反向延長(zhǎng)交CD于N，作OM⊥AD于點(diǎn)M，連接OA、OD，根據(jù)面積之間的關(guān)系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，從而得出S矩形ABCD最大時(shí)，S△AOD也最大，過點(diǎn)D作AO邊上的高h(yuǎn)，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD，利用三角形的面積公式即可求出S△AOD的最大值，從而求出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)O作OP⊥AB于P并反向延長(zhǎng)交CD于N，作OM⊥AD于點(diǎn)M，連接OA、OD∴AO=2，OD=4，四邊形APND和四邊形PBCN為矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根據(jù)垂徑定理可得：點(diǎn)P和點(diǎn)N分別為AB和CD的中點(diǎn)，∴S矩形APND=S矩形ABCD∵△AOD的高OM等于矩形APND的寬，△AOD的底為矩形APND的長(zhǎng)∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD∴S矩形ABCD最大時(shí)，S△AOD也最大過點(diǎn)D作AO邊上的高h(yuǎn)，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD（當(dāng)且僅當(dāng)OD⊥OA時(shí)，取等號(hào)）∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4故S△AOD的最大值為4∴S矩形ABCD的最大值為4÷=16故答案為：16．【點(diǎn)睛】此題考查的是垂徑定理、各圖形面積的關(guān)系和三角形面積的最值問題，掌握垂徑定理、利用邊的關(guān)系推導(dǎo)面積關(guān)系和垂線段最短是解決此題的關(guān)鍵．4．（2019秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中，在RT△OCE中，，則解得：r=134．故答案為：134．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．5．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見解析(2)小圓的半徑r為【分析】（1）過O作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為和的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；（2）連接，由條件可求得的長(zhǎng)，則可求得和的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，在中可求得的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：過O作于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得∴∴（2）解：連接，如圖2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圓的半徑r為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．6．（2021·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）（1）如圖①，為等邊三角形，若，則的面積為__________；（2）如圖②，在矩形中，．如果點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，且，那么邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得線段將矩形的面積平分？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖③，有一個(gè)平行四邊形花園米，米，，點(diǎn)E在邊上，且．現(xiàn)需在花園內(nèi)開辟四邊形區(qū)域種植一種紅色花卉．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，F(xiàn)為花園內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，滿足，同時(shí)過點(diǎn)F修建一條筆直的小路（點(diǎn)G、H為該花園入口，其中點(diǎn)G、H分別在平行四邊形的邊、上），且使平分該平行四邊形花園的面積．那么是否存在這樣的點(diǎn)F，使四邊形的面積最大且使平分該平行四邊形花園的面積？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)四邊形的面積及線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．（小路寬度忽略不計(jì)）【答案】（1）；（2）存在，，證明見解析；（3）最大面積為m2，PQ長(zhǎng)為100米【分析】（1）首先作出高線，根據(jù)三角形的三線合一，得出30°的角，利用勾股定理求出高線的長(zhǎng)，即可求出面積；（2）根據(jù)矩形是中心對(duì)稱圖形，經(jīng)過矩形對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分面積，連接AC與BD，交點(diǎn)為O，連接PO延長(zhǎng)至Q，證明全等，再構(gòu)造直角三角形求出PQ即可；（3）連接DE，四邊形AEFD面積中△ADE為等邊三角形，面積不變，即求出△DEF面積的最大值即可，而△DEF的邊DE不動(dòng)，F(xiàn)點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)部（包含邊界），所以求出當(dāng)點(diǎn)F距到DE邊的距離最大時(shí)，面積最大；因?yàn)椤螪FE角度不變，構(gòu)造隱形圓，即可求出最大的高．【詳解】（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D，∵△ABC為等邊三角形，CD⊥AB∴AD=BD,∠ACD=∠BCD=30°，∵AC=2,∴AD=,在Rt△ADC中，,∴S△ABC=;（2）連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接PO并延長(zhǎng)，交于BC與點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD為矩形，∴AO=CO,BO=DO,又∵∠AOP=∠QOC，∴△APO≌△CQO，同理可得△POD≌△QOB，△AOB≌△COD,∴,即PQ平分矩形ABCD的面積；過點(diǎn)P作PH⊥BC，交于BC于點(diǎn)H，由上證明可知：AP=CQ=1,且AP=BH=1,∴,在Rt△PHQ中，．（3）連接DE，作DE的垂直平分線，再作FE的垂直平分線，兩垂直平分線交于一點(diǎn)O，過點(diǎn)O，以O(shè)E為半徑作圓，交于CD于一點(diǎn)G；當(dāng)F位于G點(diǎn)時(shí)，四邊形AEFD的面積最大，理由如下：∵AD=AE,∠A=60°，∴△ADE為等邊三角形，面積為定值，∴當(dāng)△DEF面積最大時(shí)，四邊形AEFD面積最大；又∵△DEF的邊DE為固定邊，且∠DFE=60°，∴點(diǎn)F為一個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D，E為圓上的頂點(diǎn)，且∠AFE為圓周角，DE,EF,DF為圓的弦，∴作任意兩條弦的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心，∴作DE和EF的垂直平分線，交點(diǎn)O即為圓心，OD=OE=OF為半徑，∴當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)時(shí)，△DEF以DE為底，高最大，故面積最大，如下圖，此時(shí)四邊形AEGD的面積為兩個(gè)等邊三角形面積，即為，再連接對(duì)角線AC,BD,交于點(diǎn)P，連接GP，并延長(zhǎng)，交于AB與點(diǎn)H，易得△EGH為等邊三角形，所以GH=100．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，隱形圓問題，難度較大，解題關(guān)鍵在于掌握平行四邊形的性質(zhì)與隱形圓的特征．【經(jīng)典例題四利用垂徑定理求解其他問題】1．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)及三角形的周長(zhǎng)求解即可．【詳解】解：∵是銳角三角形的外接圓，，∴點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，∴，∵的周長(zhǎng)為21，∴即，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江·九年級(jí)期中）如圖，是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接，，分別以，為邊向外作正方形，，，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，若，，則（

）A． B． C．11 D．15【答案】D【分析】連接，，根據(jù)，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，得到，，從而得到H、I分別是、的中點(diǎn)，利用中位線定理即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，，∵，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，∴，，∴H、I分別是、的中點(diǎn)，∴∵，，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，根據(jù)垂徑定理得到，．3．（2023春·江西南昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是半圓O的弦，過圓心O，過O作于點(diǎn)D．若，則cm．

【答案】3【分析】由圓的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂徑定理可得，則是的中位線，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵過圓心O，∴，∵，∴，∴是的中位線，∴．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，說明是的中位線成為解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·天津和平·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，并且在同一個(gè)圓上，取格點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)．（1）線段的長(zhǎng)為．（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫圖：①確定圓心；并求出四邊形外接圓的半徑為；②畫出線段，使平分，且點(diǎn)在圓上并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】作出的平分線并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，即為所求【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特征，利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)格點(diǎn)的特征及勾股定理確定四邊形外接圓的圓心，從而求解半徑；（3）取格點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，即可．【詳解】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特征，線段故答案為：．（2）根據(jù)格點(diǎn)的特征，四邊形外接圓的圓心位于格點(diǎn)O的位置，連接，，，，由題意可得故答案為：．（3）取格點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，即可，由格點(diǎn)特征可得四邊形為平行四邊形，則有點(diǎn)為中點(diǎn)，即為的中位線點(diǎn)為中點(diǎn)∴點(diǎn)是的中點(diǎn)∴∴即為所求，故答案為：取格點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，即可.【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形和中位線．5．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）不過圓心的直線交于、兩點(diǎn)，是的直徑，于，于．

(1)在下面三個(gè)圓中分別畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；(2)請(qǐng)你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論除外不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程)；(3)請(qǐng)你選擇(1)中的一個(gè)圖形，證明(2)所得出的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意構(gòu)造出垂徑定理的基本圖形，使得于，于．（2）根據(jù)圖形得出結(jié)論（3）選擇圖①，過作于．由垂徑定理知．進(jìn)而得出，則．【詳解】（1）解：如圖所示，在圖①中、延長(zhǎng)線交于外一點(diǎn)；在圖②中、交于內(nèi)一點(diǎn)；在圖③中．

（2）在三個(gè)圖形中均有結(jié)論：線段．（3）證明：如圖①，過作于．由垂徑定理知．于，于，，∴，為直徑，，，．【點(diǎn)睛】在運(yùn)用垂徑定理解題時(shí)，常用的輔助線是過圓心作弦的垂線，構(gòu)造出垂徑定理的基本圖形.6．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平衡直角坐標(biāo)系中，線段，點(diǎn)，在線段上，且，為的中點(diǎn)，如果任取一點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”．

(1)如圖1，已知，，，知果為點(diǎn)關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”，畫出示意圖，寫出的取值范圍；(2)如圖，的半徑為，點(diǎn)，在上，點(diǎn)，如果在直線上存在點(diǎn)關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)旋平點(diǎn)的定義，找到點(diǎn)，即可；（2）當(dāng)線段軸時(shí)，存在點(diǎn)關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”，即“旋平點(diǎn)”與點(diǎn)在軸方向的距離最長(zhǎng)，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓；以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，分別以直線，作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)，，且，∵點(diǎn)、在線段上，且，，，∴，，，∴，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴，，∴，∴的取值范圍為：．

（2）如圖：當(dāng)線段軸時(shí)，存在點(diǎn)關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”即“旋平點(diǎn)”與點(diǎn)在軸方向的距離最長(zhǎng)，∴，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓；以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，∴直線與半徑為的圓交點(diǎn)，直線與半徑為的圓交點(diǎn)，分別以直線，作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和，∵點(diǎn)，∴，，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查新定義圓和對(duì)稱的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解旋平點(diǎn)的定義，根據(jù)定義，進(jìn)行解題．【經(jīng)典例題五垂徑定理的推論】【例5】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，將△ACD沿CD對(duì)折得△A′CD．連接，連接AA′交CD于點(diǎn)E，若，，則CE的長(zhǎng)為（

）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】B【分析】由折疊性質(zhì)得AA′⊥CD，AD=A′D，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可證得CD=AD=BD=A′D，可證得A、C、A′、B共圓且AB為直徑，利用垂徑定理的推論和三角形的中位線性質(zhì)證得DE=A′B，進(jìn)而可求解CE的長(zhǎng)．【詳解】解：由折疊性質(zhì)得AA′⊥CD，AD=A′D，∵，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=BD=A′D=AB，∴A、C、A′、B共圓且AB為直徑，又AA′⊥CD，∴AE=A′E，又AD=BD，∴DE是△ABA′的中位線，∴DE=A′B，∵，，∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、折疊性質(zhì)、垂徑定理的推論，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形中，，，，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，，以為直徑的與交于點(diǎn)，．則的最大值為（

）．A．48 B．45 C．42 D．40【答案】A【分析】過A點(diǎn)作AH⊥BD于H，連接OM，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出BD=75，則利用面積法可計(jì)算出AH=36，再證明點(diǎn)O在AH上時(shí)，OH最短，此時(shí)HM有最大值，最大值為24，然后根據(jù)垂徑定理可判斷MN的最大值．【詳解】解：過A點(diǎn)作AH⊥BD于H，連接OM，如圖，在Rt△ABD中，BD=，∵×AH×BD=×AD×AB，∴AH==36，∵⊙O的半徑為26，∴點(diǎn)O在AH上時(shí)，OH最短，∵HM=，∴此時(shí)HM有最大值，最大值為：24，∵OH⊥MN，∴MN=2MH，∴MN的最大值為2×24=48．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱司匦蔚男再|(zhì)和勾股定理．2．（2021·浙江·九年級(jí)自主招生）如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M，N都在同一個(gè)圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是．【答案】【分析】先設(shè)的三邊長(zhǎng)為，，，其中為斜邊，設(shè)的半徑為，根據(jù)圖形找出，，，的關(guān)系，用含的式子表示和，即可求出比值．【詳解】如圖：取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，，則①取的中點(diǎn)為，是直角三角形圓心在和的垂直平分線上為圓心連接，，則，為半徑的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，在和中，由勾股定理得：②由①②得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即斜邊的中點(diǎn)為圓的圓心，解題關(guān)鍵在于找到圓心，用用含的式子表示和．3．（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，連結(jié)，分別以為直徑作半圓，其中分別是為直徑作半圓弧的中點(diǎn)，弧，弧的中點(diǎn)分別是，若，，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】先利用垂徑定理及其推論得到四點(diǎn)共線，四點(diǎn)共線，再利用三角形中位線定理等知識(shí)對(duì)線段之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求解．【詳解】解：連接和，與和的交點(diǎn)分別記為點(diǎn)和點(diǎn)，∵弧，弧的中點(diǎn)分別是，∴垂直平分，垂直平分，∴點(diǎn)和點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，∴，，∵分別是為直徑作半圓弧的中點(diǎn)，∴，，∴四點(diǎn)共線，四點(diǎn)共線，∴，，∴，∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論、三角形的中位線定義與定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是得到四點(diǎn)共線，四點(diǎn)共線，然后利用線段的和差關(guān)系求解．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圓．（1）如圖①，求⊙O的半徑；（2）如圖②，∠ABC的平分線交半徑OA于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D．求OE的長(zhǎng)．【答案】（1）⊙O的半徑為；（2）OE【分析】(1)過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，如圖①，利用等腰三角形的性質(zhì)得BH=CH=3，根據(jù)垂徑定理的推論可判斷點(diǎn)O在AH上，則利用勾股定理可計(jì)算出AH=4，連接OB，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4-r）2=r2，然后解方程即可；(2)作EF⊥AB于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EH=EF，利用面積法得到，所以EHAH，然后利用（1）得OH,從而計(jì)算EH-OH得到OE的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，如圖①，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝CHBC＝3，即AH垂直平分BC，∴點(diǎn)O在AH上，在Rt△ABH中，AH4，連接OB，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r，即⊙O的半徑為；（2）作EF⊥AB于F，如圖②∵BD平分∠ABC，∴EH＝EF，∵S△ABEBH?AEAB?EF，∴，∴EHAH4，由（1）得OH＝AH﹣OA＝4，∴OE=EH-OH．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，掌握三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交邊DC于E、F兩點(diǎn)，AD＝1，BC＝5，設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為r．（1）聯(lián)結(jié)OF，當(dāng)OF∥BC時(shí)，求⊙O的半徑長(zhǎng)；（2）過點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為點(diǎn)H，設(shè)OH＝y(tǒng)，試用r的代數(shù)式表示y；（3）設(shè)點(diǎn)G為DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OG、OD，△ODG是否能成為等腰三角形？如果能，試求出r的值；如不能，試說明理由．【答案】(1)3；(2)y=；(3)△ODG能成為等腰三角形，r=2【分析】(1)證OF為梯形ABCD的中位線，得出r=OF=(AD+BC)=3即可；(2)聯(lián)結(jié)OD、OC，過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，則CM=BC﹣BM=4，由勾股定理得出DC=2，由四邊形ABCD的面積=△DOC的面積+△AOD的面積+△BOC的面積，進(jìn)而得出答案；(3)證OG是梯形ABCD的中位線，得出OG∥AD，OG=3，DG=CD=，由勾股定理得OD=，分三種情況，分別求解即可．【詳解】解：(1)∵OF∥BC，OA=OB，∴OF為梯形ABCD的中位線，∴OF=(AD+BC)=(1+5)=3，即⊙O的半徑長(zhǎng)為3；(2)聯(lián)結(jié)OD、OC，過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，如圖1所示：∵AD∥BC，∠ABC=90°，且DM⊥BC，∴四邊形ABMD為矩形，則BM=AD=1，∴CM=BC﹣BM=4，∴DC=，∵四邊形ABCD的面積=△DOC的面積+△AOD的面積+△BOC的面積，∴(1+5)×2r=×2×y+r×1+r×5，整理得：y=；(3)△ODG能成為等腰三角形，理由如下：∵點(diǎn)G為DC的中點(diǎn)，OA=OB，∴OG是梯形ABCD的中位線，∴OG∥AD，OG=(AD+BC)=(1+5)=3，DG=CD=，由勾股定理得：OD=，分三種情況：①DG=DO時(shí)，則，無解；②OD=OG時(shí)，如圖2所示：，解得：；③GD=GO時(shí)，作OH⊥CD于H，如圖3所示：∠GOD=∠GDO，∵OG∥AD，∴∠ADO=∠GOD，∴∠ADO=∠GDO，∴DO是∠ADG的平分線，由題意知：OA⊥AD，又OH⊥CD，∴OA=OH，則此時(shí)圓O和CD相切，不合題意；綜上所述，△ODG能成為等腰三角形，r=．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、梯形中位線定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握垂徑定理和梯形中位線定理是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【例6】（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，，，主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，，是半徑，且，，在中，，，解得：，故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）為了測(cè)量圓形工件的直徑．甲：如圖1，在工作臺(tái)上用邊長(zhǎng)相同的兩個(gè)立方體小木塊頂在圓形工件的兩側(cè)，測(cè)得兩木塊間的距離b和小木塊的邊長(zhǎng)a即可；乙：如圖2，把兩個(gè)小木塊換成兩個(gè)相同的小圓柱，量得圓柱半徑n和兩個(gè)圓心之間的距離m即可．下面的說法正確的是（

）A．甲對(duì)乙不對(duì) B．甲不對(duì)乙對(duì) C．兩人都不對(duì) D．兩人都對(duì)【答案】D【分析】甲：如圖1，連接，，，過O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，根據(jù)圖形可知：，，利用垂直定理以及勾股定理即可作答；乙：如圖2，連接，，，過O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，根據(jù)圖形可知：，，同理利用垂直定理以及勾股定理即可作答．【詳解】甲：如圖1，連接，，，過O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，根據(jù)圖形可知：，，∵，∴，設(shè)圓O的半徑為r，∴，在中，有：，∴，解方程即可求出r，即甲的說法正確；乙：如圖2，連接，，，過O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，根據(jù)圖形可知：，，設(shè)圓O的半徑為r，同理可得：，解方程即可求出r，即乙的說法正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理的知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為5厘米，厘米．若從日前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時(shí)間為8分鐘，則①現(xiàn)在“圖上”太陽與海平線的位置關(guān)系是；②“圖上”太陽升起的平均速度為厘米/分．【答案】相交1【分析】首先根據(jù)海平面與圓有兩個(gè)交點(diǎn)可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，然后連接，過點(diǎn)O作于D，由垂徑定理求出的長(zhǎng)，再由勾股定理求出的長(zhǎng)，然后計(jì)算出太陽在海平線以下部分的高度，即可求解．【詳解】解：∵海平面與圓有兩個(gè)交點(diǎn)∴現(xiàn)在“圖上”太陽與海平線的位置關(guān)系是相交；設(shè)“圖上”圓的圓心為O，連接，過點(diǎn)O作于D，如圖所示：∵厘米，∴（厘米），∵厘米，∴（厘米），∴海平線以下部分的高度（厘米），∵太陽從所處位置到完全跳出海平面的時(shí)間為8分鐘，∴“圖上”太陽升起的速度（厘米/分），故答案為：相交，1．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的運(yùn)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)溫州繡山中學(xué)?？计谥校┤鐖D1是某學(xué)校食堂墻壁上“光盤行動(dòng)，從我做起”的長(zhǎng)方形宣傳畫，畫的左側(cè)為一個(gè)圓盤上擺放一雙筷子，畫的下邊緣為水平線，圖2是其示意圖，水平線上的點(diǎn)在圓心的正下方，筷子與右下方交于，兩點(diǎn)，線段，分別垂直于點(diǎn)，．測(cè)得，，則圓盤的半徑為．【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，易證四邊形、是矩形，從而得出，，，設(shè)，則可求，，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程，即可求出的值，最后在中根據(jù)勾股定理即可求出半徑．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，∵線段，分別垂直于點(diǎn)，∴，∴，∵水平線上的點(diǎn)在圓心的正下方，∴，∴四邊形、都是矩形，∴，，，

∵，，∴，，設(shè)，則，，在中，，在中，，又∵，∴，∴，∴，∴，即圓盤的半徑為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理建立關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將圖中破損的輪子復(fù)原，已知點(diǎn)，，在弧上．(1)尺規(guī)作圖：作出該輪子的圓心（不寫作法，用黑色筆將作圖痕跡加黑）；(2)連接，若點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，點(diǎn)到的距離是，求輪子的半徑．【答案】(1)作圖見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論，分別作弦和的垂直平分線，兩垂直平分線交點(diǎn)即為所求；（2）連接，，利用垂徑定理推論和勾股定理可求出圓片的半徑．【詳解】（1）解：如圖，分別作垂直平分、垂直平分，交于點(diǎn)，∴和都經(jīng)過弧所在圓的圓心，∴點(diǎn)為該輪子的圓心．則點(diǎn)即為所作．（2）如圖，連接交于，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，，∵點(diǎn)到的距離是，輪子的半徑，∴，∵，，在中，，∴，解得：，∴輪子的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的推論，可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論敘述為：一條直線①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧，在應(yīng)用垂徑定理解題時(shí)，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．掌握垂徑定理的推論是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問題情境：筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的．如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)，經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)，）

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到米）【答案】(1)；(2)該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離為米．【分析】（1）先求得該盛水筒的運(yùn)動(dòng)速度，再利用周角的定義即可求解；（2）作于點(diǎn)C，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，∴每秒旋轉(zhuǎn)，當(dāng)經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處時(shí)，，∵，∴；（2）解：作于點(diǎn)C，設(shè)與水平面交于點(diǎn)D，則，

在中，，，∴，，在中，，，∴，∴(米)，答：該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離為米．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【經(jīng)典例題七利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】【例7】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，的頂點(diǎn)A、B、C均在上，點(diǎn)A是中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得出各線段、角的關(guān)系即可解答．【詳解】解：A、∵點(diǎn)A是中點(diǎn)，∴，∴，無法得出，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、如圖：連接，∵，∴，∵，∴，∴，故此選項(xiàng)正確；C、∵，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D、無法得出，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）將半徑為5的如圖折疊，折痕長(zhǎng)為8，C為折疊后的中點(diǎn)，則長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接、、、，根據(jù)圓心角、弧、弦、的關(guān)系由得到，可以判斷是的垂直平分線，則，再利用勾股定理求出，所以，然后利用點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱得出，最后計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接、、、，如圖，∵C為折疊后的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，在中，,∴，∵沿折疊得到，，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊變換，圓的對(duì)稱性，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性及折疊前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系．2．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在半圓O中半徑為，，與交于點(diǎn)D（1）＝；（2）當(dāng)點(diǎn)D恰好為的中點(diǎn)時(shí)，＝．【答案】60°【分析】（1）根據(jù)，，得，所以，由為圓O的直徑，得，所以；（2）設(shè)，得，，，在中，根據(jù)勾股定理得，即可求出答案．【詳解】解：（1）,，，，，為圓O的直徑，，；故答案為：；（2）設(shè)，∵點(diǎn)D恰好為的中點(diǎn)，，在中，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，即，解得（舍去），∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確利用勾股定理解決問題．3．（2022春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，以的半徑為半徑，自上的A點(diǎn)起，在圓上依次畫弧截取點(diǎn)B，C，D，E，F(xiàn)．正方形EFGH的中心為，連接FA，，則．【答案】75°/75度【分析】連接OA，OF，OE，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓心角、弧、弦關(guān)系，求得∠AFE=120°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求得∠O1FE=45°，計(jì)算角的差即可解答；【詳解】解：如圖，連接OA，OF，OE，∵FE=OF=OE，∴△OFE是等邊三角形，∴∠OFE=60°，∴弧FE=60°，由圓心角、弧、弦關(guān)系可得弧FE=弧ED=弧DC=弧CB=弧BA=60°，∴弧AF=360°-60°×5=60°，∴∠AOF=60°，∵OA=OF，∴△OAF是等邊三角形，∴∠AFO=60°，∴∠AFE=∠AFO+∠OFE=120°，∵O1是正方形的中心，∴∠O1FE=45°，∴∠AFO1=∠AFE-∠O1FE=75°，故答案為：75°；【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等；等邊三角形的判定和性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在半圓O中半徑為，，，與交于點(diǎn)D，(1)__________；(2)當(dāng)點(diǎn)D恰好為的中點(diǎn)時(shí)，__________．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，，得，所以，由為圓O的直徑，得，所以；（2）設(shè)，得，，，在中，根據(jù)勾股定理得，即可求出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∵為圓O的直徑，∴，∴；故答案為：60°；（2）解：設(shè)，∵點(diǎn)D恰好為的中點(diǎn)，∴，在中，，∴，，在中，根據(jù)勾股定理得，，∵圓O半徑為，則，∴，解得（舍去），∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確利用勾股定理解決問題．5．（2023秋·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)仔細(xì)閱讀以下材料：定理一：一般地，如圖，四邊形中，如果連接兩條對(duì)角線后形成的，則四點(diǎn)共圓．我們由定理可以進(jìn)一步得出結(jié)論：，，．定理二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．溫馨提示：下面問題的關(guān)鍵地方或許能夠用到上述定理，如果用到，請(qǐng)直接運(yùn)用相關(guān)結(jié)論；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法為主，只要正確，一樣得分．探究問題：如圖，在和中，，，，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證；(2)請(qǐng)直接寫出___________度，___________度；(3)若，求證．【答案】(1)證明過程見詳解(2)，(3)證明過程見詳解【分析】（1）根據(jù)題意，證明即可求證；（2）由（1）可知，在，中即可求解；根據(jù)定理一，可知四點(diǎn)共圓，由此即可求解；（3）根據(jù)定理二，如圖所示（見詳解），，證明是等腰三角形，即可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴．（2）解：由（1）可知，，∴，在，，∴在中，，∴；∵，根據(jù)定理一，可知四點(diǎn)共圓，如圖所示，∵，，∴是等腰直角三角形，即，∵是圓周角，且與圓周角所對(duì)弧相同，∴，故答案為：，．（3）解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由（2）可知，，，∴在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴根據(jù)定理二，可知，即，∴是等腰三角形，且，∵是外角，∴，在中，，∴，∴是等腰三角形，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓、直角三角形、等腰三角形的綜合，掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)，定理一，定理二，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】【例8】．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，為的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的直徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，首先證明，設(shè),在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題【詳解】解：如圖，連接．，，，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，，，，，設(shè),在中，則有，解得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，弧，弦之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北承德·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知銳角，觀察下圖中的作圖痕跡，