補(bǔ)充資料-拉氏變換課件

自動(dòng)控制原理中常用的數(shù)學(xué)工具拉普拉斯變換LaplaceReplace補(bǔ)充資料--拉氏變換一、拉氏變換的基本概念?拉氏變換的定義其中x(t)是原函數(shù)，X(s)是象函數(shù)，復(fù)變量?拉氏反變換的定義補(bǔ)充資料--拉氏變換1)線性定理設(shè)（下同）2)微分定理補(bǔ)充資料--拉氏變換當(dāng)各初值為0時(shí)有3)積分定理當(dāng)各初值為0時(shí)有補(bǔ)充資料--拉氏變換4)終值定理5)初值定理6)延遲定理（實(shí)平移定理）補(bǔ)充資料--拉氏變換7)位移定理（復(fù)平移定理）8)卷積定理補(bǔ)充資料--拉氏變換三、用拉氏變換求解微分方程1)求解步驟 ?對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換 ?求系統(tǒng)輸出變量表達(dá)式 ?將輸出變量表達(dá)式展開為部分分式 ?查表求各分式的拉氏反變換 ?整理出方程解2)部分分式展開法 ?通分法（適用于簡(jiǎn)單函數(shù)）補(bǔ)充資料--拉氏變換例1補(bǔ)充資料--拉氏變換?留數(shù)法（適用于復(fù)雜函數(shù))設(shè)式中，和等均為實(shí)系數(shù)；m和n均為正整數(shù)。故可將像函數(shù)展開成部分分式，再輔以查拉普拉斯變換表即可求得對(duì)應(yīng)的原函數(shù)。()()()01110111asasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm++++++++=----LL補(bǔ)充資料--拉氏變換例2求的拉式反變換解：令，有三個(gè)根：，其中是單零點(diǎn)，而是二階零點(diǎn)，即補(bǔ)充資料--拉氏變換例3求滿足初始條件的解解：對(duì)方程程兩邊取拉氏變換，并注意到初始條件，得解上式這個(gè)代數(shù)方程，得

對(duì)上式取拉氏逆變換，得補(bǔ)充資料--拉氏變換分析和設(shè)計(jì)任何一個(gè)控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的方法分為解析法和實(shí)驗(yàn)法補(bǔ)充資料--拉氏變換解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)法：對(duì)系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號(hào)（階躍信號(hào)、單位脈沖信號(hào)、正弦信號(hào)等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識(shí)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。補(bǔ)充資料--拉氏變換總結(jié)：解析方法適用于簡(jiǎn)單、典型、常見的系統(tǒng)，而實(shí)驗(yàn)方法適用于復(fù)雜、非常見的系統(tǒng)。實(shí)際上常常是把這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有效。補(bǔ)充資料--拉氏變換2-1控制系統(tǒng)微分方程的建立基本步驟：分析各元件的工作原理，明確輸入、輸出量建立輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系消去中間變量標(biāo)準(zhǔn)化微分方程返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換列寫微分方程的一般方法例1.列寫如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程。RCuruci補(bǔ)充資料--拉氏變換解：由基爾霍夫定律得:式中:i為流經(jīng)電阻R和電容C的電流,消去中間變量i,可得:令（時(shí)間常數(shù)），則微分方程為：補(bǔ)充資料--拉氏變換例2.設(shè)有一彈簧

質(zhì)量

阻尼動(dòng)力系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的動(dòng)態(tài)方程。其中彈簧的彈性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為f，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m。補(bǔ)充資料--拉氏變換解：分析質(zhì)量塊m受力，有外力F,彈簧恢復(fù)力

Ky（t）阻尼力慣性力由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于質(zhì)量塊上的主動(dòng)力，約束力以及慣性力。將各力代入上等式，則得補(bǔ)充資料--拉氏變換式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系數(shù)（N·s/m);

K——彈簧剛度（N/m)。將式(2-4)的微分方程標(biāo)準(zhǔn)化補(bǔ)充資料--拉氏變換T稱為時(shí)間常數(shù)，為阻尼比。顯然，上式描述了m－K－f系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)關(guān)系，它是一個(gè)二階線性定常微分方程。令，即，則式可寫成補(bǔ)充資料--拉氏變換2－2非線性微分方程的線性化在實(shí)際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換于是，建立的動(dòng)態(tài)方程就是非線性微分方程，對(duì)其求解有諸多困難，因此，對(duì)非線性問題做線性化處理確有必要。對(duì)弱非線性的線性化如上圖（a），當(dāng)輸入信號(hào)很小時(shí)，忽略非線性影響，近似為放大特性。對(duì)（b）和（c），當(dāng)死區(qū)或間隙很小時(shí)（相對(duì)于輸入信號(hào)）同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示。平衡位置附近的小偏差線性化輸入和輸出關(guān)系具有如下圖所示的非線性特性。補(bǔ)充資料--拉氏變換在平衡點(diǎn)A（x0，y0）處，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾，y只在A附近變化，則可對(duì)A處的輸出—輸入關(guān)系函數(shù)按泰勒級(jí)數(shù)展開，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知，當(dāng)很小時(shí)，可用A處的切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性化。補(bǔ)充資料--拉氏變換可得，簡(jiǎn)記為y=kx。若非線性函數(shù)由兩個(gè)自變量，如z＝f（x,y），則在平衡點(diǎn)處可展成（忽略高次項(xiàng)）經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)系，從而使問題大大簡(jiǎn)化。但對(duì)于如圖（d）所示為強(qiáng)非線性，只能采用第七章的非線性理論來分析。對(duì)于線性系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。補(bǔ)充資料--拉氏變換疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性（或叫齊次性）。例：設(shè)線性微分方程式為若時(shí)，方程有解，而時(shí)，方程有解，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當(dāng)＋時(shí)，必存在解為，即為可疊加性。補(bǔ)充資料--拉氏變換

上述結(jié)果表明，兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)之和，而且外作用增強(qiáng)若干倍，系統(tǒng)響應(yīng)也增強(qiáng)若干倍，這就是疊加原理。若時(shí)，為實(shí)數(shù)，則方程解為，這就是齊次性。補(bǔ)充資料--拉氏變換2－2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型

傳遞函數(shù)

(transferfunction)傳遞函數(shù)的概念與定義

線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出初始條件均為零的條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換這里，“初始條件為零”有兩方面含義：一指輸入作用是t＝0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)，在t=時(shí)的值為零。二指輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即t=時(shí)，系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的。補(bǔ)充資料--拉氏變換一、傳遞函數(shù)的概念與定義G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=補(bǔ)充資料--拉氏變換傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的有理真分式，它的分子，分母的階次是：。二、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否則無法用拉氏變換導(dǎo)出；傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與輸入、輸出無關(guān)；傳遞函數(shù)只表明一個(gè)特定的輸入、輸出關(guān)系，對(duì)于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有統(tǒng)一的傳遞函數(shù)；（可定義傳遞函數(shù)矩陣，見第九章）補(bǔ)充資料--拉氏變換傳遞函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與之對(duì)應(yīng)。這將在第四章根軌跡中詳述。傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統(tǒng)的零狀態(tài)模型，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實(shí)意義，而且容易實(shí)現(xiàn)。補(bǔ)充資料--拉氏變換三、傳遞函數(shù)舉例說明例1.

如圖所示的RLC無源網(wǎng)絡(luò)，圖中電感為L(zhǎng)（亨利），電阻為R（歐姆），電容為C（法），試求輸入電壓ui(t)與輸出電壓uo(t)之間的傳遞函數(shù)。補(bǔ)充資料--拉氏變換解：為了改善系統(tǒng)的性能，常引入圖示的無源網(wǎng)絡(luò)作為校正元件。無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容、電感組成，利用電路理論可方便地求出其動(dòng)態(tài)方程，對(duì)其進(jìn)行拉氏變換即可求出傳遞函數(shù)。這里用直接求的方法。因?yàn)殡娮琛㈦娙?、電感的?fù)阻抗分別為R、1∕Cs、Ls，它們的串并聯(lián)運(yùn)算關(guān)系類同電阻。則傳遞函數(shù)為補(bǔ)充資料--拉氏變換四、典型環(huán)節(jié)一個(gè)傳遞函數(shù)可以分解為若干個(gè)基本因子的乘積，每個(gè)基本因子就稱為典型環(huán)節(jié)。常見的幾種形式有：比例環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為：補(bǔ)充資料--拉氏變換積分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為一階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：，T為時(shí)間常數(shù)。補(bǔ)充資料--拉氏變換二階振蕩環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：T為時(shí)間常數(shù)，為阻尼系數(shù)。二階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：為時(shí)間常數(shù)，為阻尼系數(shù)此外，還經(jīng)常遇到一種延遲環(huán)節(jié)，設(shè)延遲時(shí)間為，該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：補(bǔ)充資料--拉氏變換2－3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖—?jiǎng)討B(tài)結(jié)構(gòu)圖動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖是一種數(shù)學(xué)模型，采用它將更便于求傳遞函數(shù)，同時(shí)能形象直觀地表明輸入信號(hào)在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換一、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的概念系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖由若干基本符號(hào)構(gòu)成。構(gòu)成動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本符號(hào)有四種，即信號(hào)線、傳遞方框、綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)。信號(hào)線

表示信號(hào)輸入、輸出的通道。箭頭代表信號(hào)傳遞的方向。補(bǔ)充資料--拉氏變換2.傳遞方框G(s)方框的兩側(cè)為輸入信號(hào)線和輸出信號(hào)線，方框內(nèi)寫入該輸入、輸出之間的傳遞函數(shù)G(s)。補(bǔ)充資料--拉氏變換3.綜合點(diǎn)綜合點(diǎn)亦稱加減點(diǎn)，表示幾個(gè)信號(hào)相加、減，叉圈符號(hào)的輸出量即為諸信號(hào)的代數(shù)和，負(fù)信號(hào)需在信號(hào)線的箭頭附近標(biāo)以負(fù)號(hào)。＋省略時(shí)也表示＋補(bǔ)充資料--拉氏變換4.引出點(diǎn)表示同一信號(hào)傳輸?shù)綆讉€(gè)地方。補(bǔ)充資料--拉氏變換二、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式1.串聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框與方框通過信號(hào)線相連，前一個(gè)方框的輸出作為后一個(gè)方框的輸入，這種形式的連接稱為串聯(lián)連接。補(bǔ)充資料--拉氏變換2.并聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)兩個(gè)或兩個(gè)以上的方框，具有同一個(gè)輸入信號(hào)，并以各方框輸出信號(hào)的代數(shù)和作為輸出信號(hào)，這種形式的連接稱為并聯(lián)連接。補(bǔ)充資料--拉氏變換3.反饋連接一個(gè)方框的輸出信號(hào)輸入到另一個(gè)方框后，得到的輸出再返回到這個(gè)方框的輸入端，構(gòu)成輸入信號(hào)的一部分。這種連接形式稱為反饋連接。G(s)R(s)－C(s)H(s)補(bǔ)充資料--拉氏變換三、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成構(gòu)成原則：

按照動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式，構(gòu)成系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)，連接成系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。補(bǔ)充資料--拉氏變換四結(jié)構(gòu)圖的等效變換思路：

在保證總體動(dòng)態(tài)關(guān)系不變的條件下，設(shè)法將原結(jié)構(gòu)逐步地進(jìn)行歸并和簡(jiǎn)化，最終變換為輸入量對(duì)輸出量的一個(gè)方框。補(bǔ)充資料--拉氏變換1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（１）串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)補(bǔ)充資料--拉氏變換串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)?G2(s)R(s)C(s)兩個(gè)串聯(lián)的方框可以合并為一個(gè)方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個(gè)方框傳遞函數(shù)的乘積。1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（４）補(bǔ)充資料--拉氏變換并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)

C(s)C1(s)C2(s)G1(s)

G2(s)R(s)C(s)兩個(gè)并聯(lián)的方框可以合并為一個(gè)方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個(gè)方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。補(bǔ)充資料--拉氏變換3.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換反饋結(jié)構(gòu)的等效變換圖G(s)R(s)

C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)補(bǔ)充資料--拉氏變換移動(dòng)前G(s)

R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)

R(s)C(s)？移動(dòng)后綜合點(diǎn)后移證明推導(dǎo)（移動(dòng)前后）補(bǔ)充資料--拉氏變換G(s)

R(s)C(s)Q(s)G(s)

R(s)C(s)Q(s)G(s)綜合點(diǎn)后移等效關(guān)系圖補(bǔ)充資料--拉氏變換G(s)

R(s)C(s)Q(s)綜合點(diǎn)前移證明推導(dǎo)（移動(dòng)前）補(bǔ)充資料--拉氏變換4.綜合點(diǎn)的移動(dòng)（前移）綜合點(diǎn)前移等效關(guān)系圖G(s)R(s)C(s)

Q(s)G(s)

R(s)C(s)Q(s)1/G(s)補(bǔ)充資料--拉氏變換4.綜合點(diǎn)之間的移動(dòng)結(jié)論：結(jié)論：多個(gè)相鄰的綜合點(diǎn)可以隨意交換位置。R(s)C(s)

Y(s)X(s)

R(s)C(s)

Y(s)X(s)

補(bǔ)充資料--拉氏變換引出點(diǎn)后移等效變換圖G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)補(bǔ)充資料--拉氏變換引出點(diǎn)前移等效變換圖G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)補(bǔ)充資料--拉氏變換引出點(diǎn)之間的移動(dòng)相鄰引出點(diǎn)交換位置，不改變信號(hào)的性質(zhì)。ABR(s)BAR(s)補(bǔ)充資料--拉氏變換五舉例說明（例1）例1：利用結(jié)構(gòu)圖變換法，求位置隨動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Qc(s)/Qr(s)。補(bǔ)充資料--拉氏變換例題分析由動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以看出該系統(tǒng)有兩個(gè)輸入

r，ML（干擾）。我們知道：傳遞函數(shù)只表示一個(gè)特定的輸出、輸入關(guān)系，因此，在求

c對(duì)r的關(guān)系時(shí)，根據(jù)線性疊加原理，可取力矩

ML＝0，即認(rèn)為ML不存在。要點(diǎn)：結(jié)構(gòu)變換的規(guī)律是：由內(nèi)向外逐步進(jìn)行。補(bǔ)充資料--拉氏變換結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)步驟小結(jié)確定輸入量與輸出量。如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個(gè)，則必須分別對(duì)每個(gè)輸入量逐個(gè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)，求得各自的傳遞函數(shù)。若結(jié)構(gòu)圖中有交叉聯(lián)系，應(yīng)運(yùn)用移動(dòng)規(guī)則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。對(duì)多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進(jìn)行變換，直至變換為一個(gè)等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。補(bǔ)充資料--拉氏變換結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)注意事項(xiàng)：有效輸入信號(hào)所對(duì)應(yīng)的綜合點(diǎn)盡量不要移動(dòng)；盡量避免綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)之間的移動(dòng)。補(bǔ)充資料--拉氏變換五、用梅森（S.J.Mason）

公式求傳遞函數(shù)梅森公式的一般式為：補(bǔ)充資料--拉氏變換梅森公式參數(shù)解釋：補(bǔ)充資料--拉氏變換注意事項(xiàng)：“回路傳遞函數(shù)”是指反饋回路的前向通路和反饋回路的傳遞函數(shù)的乘積，并且包含代表反饋極性的正、負(fù)號(hào)。補(bǔ)充資料--拉氏變換舉例說明（梅森公式）例1：試求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之一（例1）找出前向通路數(shù)n補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之一（例1）前向通路數(shù)：n＝1補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之二（例1）確定系統(tǒng)中的反饋回路數(shù)補(bǔ)充資料--拉氏變換1.尋找反饋回路之一補(bǔ)充資料--拉氏變換1.尋找反饋回路之二補(bǔ)充資料--拉氏變換1.尋找反饋回路之三補(bǔ)充資料--拉氏變換1.尋找反饋回路之四補(bǔ)充資料--拉氏變換利用梅森公式求傳遞函數(shù)(1)補(bǔ)充資料--拉氏變換利用梅森公式求傳遞函數(shù)(1)補(bǔ)充資料--拉氏變換利用梅森公式求傳遞函數(shù)(2)補(bǔ)充資料--拉氏變換求余子式1將第一條前向通道從圖上除掉后的圖，再用特征式的求法，計(jì)算補(bǔ)充資料--拉氏變換求余式1將第一條前向通道從圖上除掉后的圖圖中不再有回路，故

1=1補(bǔ)充資料--拉氏變換利用梅森公式求傳遞函數(shù)(3)補(bǔ)充資料--拉氏變換例2：用梅森公式求傳遞函數(shù)試求如圖所示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之一：確定反饋回路補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之一：確定反饋回路補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之一：確定反饋回路補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之一：確定反饋回路補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之一：確定反饋回路補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之二：確定前向通路補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之二：確定前向通路補(bǔ)充資料--拉氏變換求解步驟之三：求總傳遞函數(shù)補(bǔ)充資料--拉氏變換例3：對(duì)例2做簡(jiǎn)單的修改補(bǔ)充資料--拉氏變換①求反饋回路1補(bǔ)充資料--拉氏變換②求反饋回路2補(bǔ)充資料--拉氏變換③求反饋回路3補(bǔ)充資料--拉氏變換④求反饋回路4補(bǔ)充資料--拉氏變換2.①兩兩互不相關(guān)的回路1補(bǔ)充資料--拉氏變換②兩兩互不相關(guān)的回路2補(bǔ)充資料--拉氏變換３.①求前向通路1補(bǔ)充資料--拉氏變換3.②求前向通路2補(bǔ)充資料--拉氏變換4.求系統(tǒng)總傳遞函數(shù)補(bǔ)充資料--拉氏變換脈沖響應(yīng)函數(shù)即脈沖過渡函數(shù)，就是系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)輸入的響應(yīng)，用k(t)表示。2－5系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)由此可知系統(tǒng)（或元件）的傳函的拉氏反變換就等于它的脈沖響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)傳函為，而所以有概念和定義返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換對(duì)于任意輸入信號(hào)r(t)，系統(tǒng)輸出為c(t)，則用拉氏變換的卷積定理可得：由此可知，對(duì)于線性系統(tǒng)，只要知道它的脈沖過渡函數(shù)k(t)，就可以計(jì)算出系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)r(t)的時(shí)間響應(yīng)過程c(t)。注：傳遞函數(shù)簡(jiǎn)稱傳函（下同）補(bǔ)充資料--拉氏變換下面用線性系統(tǒng)的疊加原理說明式(2-5-1)的物理含義補(bǔ)充資料--拉氏變換設(shè)任意輸入信號(hào)r(t)，如上圖所示，分成一系列寬度為的相鄰矩形脈沖。則一矩形脈沖可表為式中是發(fā)生在時(shí)刻的理想脈沖。則式表示的矩形脈沖引起的系統(tǒng)輸出為，由物理系統(tǒng)的因果關(guān)系，可知當(dāng)時(shí)，有。由疊加原理得：補(bǔ)充資料--拉氏變換當(dāng)時(shí)，記，上式可寫為當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，則單位階躍響應(yīng)記作h(t)，由(2-5-1)式得所以知道系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，就可以惟一確定其單位階躍響應(yīng)，反之亦然，即補(bǔ)充資料--拉氏變換2－6典型反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)輸入：控制輸入干擾輸入輸出：由控制作用產(chǎn)生的輸出由干擾作用產(chǎn)生的輸出返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換一、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不含極性閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：它是當(dāng)主反饋回路斷開時(shí)反饋信號(hào)B(s)與輸入信號(hào)之間的傳遞函數(shù)。補(bǔ)充資料--拉氏變換二、系統(tǒng)在r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)＝0補(bǔ)充資料--拉氏變換注：該系統(tǒng)為負(fù)反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)傳函中分母為1+開環(huán)傳遞函數(shù)，反之，若主反饋為正反饋時(shí)，則系統(tǒng)傳函為1－開環(huán)傳函補(bǔ)充資料--拉氏變換三、系統(tǒng)在n(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令r(t)＝0補(bǔ)充資料--拉氏變換四、系統(tǒng)總輸出線性系統(tǒng)滿足疊加原理。系統(tǒng)總輸出的拉氏變換式為：補(bǔ)充資料--拉氏變換五、閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)按上圖規(guī)定誤差為：e(t)=r(t)-b(t)E(s)=R(s)-B(s)補(bǔ)充資料--拉氏變換

1.r(t)作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)

此時(shí)令n(t)=0，則結(jié)構(gòu)圖如下所示補(bǔ)充資料--拉氏變換此時(shí)令n(t)=0，則結(jié)構(gòu)圖如下所示

2.n(t)作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)

補(bǔ)充資料--拉氏變換

3.系統(tǒng)總誤差

補(bǔ)充資料--拉氏變換六、閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式無論是系統(tǒng)傳遞函數(shù)還是誤差傳遞函數(shù)，它們都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，擁有相同的分母，這就是閉環(huán)系統(tǒng)的本質(zhì)特征，我們將閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。它與輸入無關(guān)，僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。補(bǔ)充資料--拉氏變換本章引入了傳遞函數(shù)這一基本概念，概念的引入過程、所介紹的主要內(nèi)容以及這些內(nèi)容間的關(guān)系可以用示意圖表示如下：考慮負(fù)載效應(yīng)拉氏變換(零初條件)(零初條件)(零初條件)拉氏變換消元法抽象物理、化學(xué)定律簡(jiǎn)化假定克萊姆法則線性化方法自動(dòng)控制系統(tǒng)物理模型系統(tǒng)部件微分方程組系統(tǒng)增量動(dòng)態(tài)方程組系統(tǒng)象函數(shù)方程組系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖(信號(hào)流圖)梅森公式結(jié)構(gòu)圖等效變換法則C(s)系統(tǒng)原理方塊圖系統(tǒng)輸入輸出動(dòng)態(tài)關(guān)系式傳遞函數(shù)補(bǔ)充資料--拉氏變換傳遞函數(shù)概念與后幾章的關(guān)系可用下圖來表示。傳遞函數(shù)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)第三章時(shí)域分析第四章根軌跡法第五章頻率域分析拉氏反變換補(bǔ)充資料--拉氏變換3－1時(shí)域分析基礎(chǔ)

一、時(shí)域分析法的特點(diǎn)它根據(jù)系統(tǒng)微分方程，通過拉氏變換，直接求出系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。依據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及時(shí)間響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)控制性能，并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。這是一種直接方法，而且比較準(zhǔn)確，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換二、典型初始狀態(tài)，典型外作用1.典型初始狀態(tài)通常規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)。即在外作用加于系統(tǒng)之前，被控量及其各階導(dǎo)數(shù)相對(duì)于平衡工作點(diǎn)的增量為零，系統(tǒng)處于相對(duì)平衡狀態(tài)。補(bǔ)充資料--拉氏變換2.典型外作用單位階躍函數(shù)1(t)tf(t)0?íì<3==0t00t1)t(1)t(f其拉氏變換為：s1dte1)s(F)]t(f[L0st===ò￥-其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：補(bǔ)充資料--拉氏變換t

單位斜坡函數(shù)0t0t0t)t(1t)t(f<3?íì=.=其拉氏變換為：20sts1dtet)s(F)]t(f[L===ò￥-f(t)0其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：補(bǔ)充資料--拉氏變換單位脈沖函數(shù)000)()(=1?íì￥==ttttfd其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其拉氏變換為：1)()]([==sFtfLò+￥￥-=1)(dttd定義：圖中1代表了脈沖強(qiáng)度。單位脈沖作用在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，它是某些物理現(xiàn)象經(jīng)數(shù)學(xué)抽象化的結(jié)果。補(bǔ)充資料--拉氏變換正弦函數(shù)其拉氏變換為：220sin)()]([ωsωdteωtsFtfLst+===ò￥-000sin)(<3?íì=ttωttf其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：f(t)補(bǔ)充資料--拉氏變換三、典型時(shí)間響應(yīng)初狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型輸入作用下輸出量的動(dòng)態(tài)過程，稱為典型時(shí)間響應(yīng)。補(bǔ)充資料--拉氏變換1.單位階躍響應(yīng)定義：系統(tǒng)在單位階躍輸入[r(t)=1(t)]作用下的響應(yīng)，常用h(t)表示。若系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為，則h(t)的拉氏變換為故補(bǔ)充資料--拉氏變換2.單位斜坡響應(yīng)定義：系統(tǒng)在單位斜坡輸入[r(t)=t·1(t)]作用下的響應(yīng)，常用表示。故則有補(bǔ)充資料--拉氏變換3.單位脈沖響應(yīng)定義：系統(tǒng)在單位脈沖輸入r(t)=δ(t)作用下的響應(yīng)，常用k(t)表示。注：關(guān)于正弦響應(yīng)，將在第五章里討論故則有補(bǔ)充資料--拉氏變換4.三種響應(yīng)之間的關(guān)系由式(3-1-3)可將式(3-1-1)和式(3-1-2)寫為：相應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為補(bǔ)充資料--拉氏變換四、階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)t)(th)(pth1ptst誤差帶0補(bǔ)充資料--拉氏變換1、峰值時(shí)間tp：指h(t)曲線中超過其穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。2、超調(diào)量％：指h(t)中對(duì)穩(wěn)態(tài)值的最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。3、調(diào)節(jié)時(shí)間ts：指響應(yīng)曲線中，h(t)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值附近5%h()或2%h()誤差帶，而不再超出的最小時(shí)間。4、穩(wěn)態(tài)誤差ess：指響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與期望值之差。補(bǔ)充資料--拉氏變換注意事項(xiàng)：補(bǔ)充資料--拉氏變換3－2一、二階系統(tǒng)分析與計(jì)算定義：由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng)返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型微分方程：動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖：傳遞函數(shù)：補(bǔ)充資料--拉氏變換一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)輸入：輸出：補(bǔ)充資料--拉氏變換單位階躍響應(yīng)曲線初始斜率：補(bǔ)充資料--拉氏變換性能指標(biāo)1.平穩(wěn)性：2.快速性ts：3.準(zhǔn)確性ess：非周期、無振蕩，

＝0補(bǔ)充資料--拉氏變換舉例說明（一階系統(tǒng)）一階系統(tǒng)如圖所示，試求：當(dāng)KH＝0.1時(shí)，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts，放大倍數(shù)K，穩(wěn)態(tài)誤差ess；如果要求ts＝0.1秒，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)KH應(yīng)調(diào)整為何值？討論KH的大小對(duì)系統(tǒng)性能的影響及KH與ess的關(guān)系?？炊}3-1并回答上述各題補(bǔ)充資料--拉氏變換二、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng)定義：由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。補(bǔ)充資料--拉氏變換二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的微分方程一般式為：補(bǔ)充資料--拉氏變換二階系統(tǒng)的反饋結(jié)構(gòu)圖補(bǔ)充資料--拉氏變換二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：補(bǔ)充資料--拉氏變換二階系統(tǒng)的特征方程為解方程求得特征根：當(dāng)輸入為階躍信號(hào)時(shí)，則微分方程解的形式為：式中為由r(t)和初始條件確定的待定的系數(shù)。s1,s2完全取決于，n兩個(gè)參數(shù)。補(bǔ)充資料--拉氏變換此時(shí)s1,s2為一對(duì)共軛復(fù)根，且位于復(fù)平面的左半部。①特征根分析—（欠阻尼）補(bǔ)充資料--拉氏變換②特征根分析—（臨界阻尼）此時(shí)s1,s2為一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根。

s1=s2=-n補(bǔ)充資料--拉氏變換⑷特征根分析—（過阻尼）此時(shí)s1,s2為兩個(gè)負(fù)實(shí)根，且位于復(fù)平面的負(fù)實(shí)軸上。補(bǔ)充資料--拉氏變換⑤特征根分析—（零阻尼）此時(shí)s1,s2為一對(duì)純虛根，位于虛軸上。S1,2=jn補(bǔ)充資料--拉氏變換⑥特征根分析—（負(fù)阻尼）此時(shí)s1,s2為一對(duì)實(shí)部為正的共軛復(fù)根，位于復(fù)平面的右半部。補(bǔ)充資料--拉氏變換⑦特征根分析—（負(fù)阻尼）此時(shí)s1,s2為兩個(gè)正實(shí)根，且位于復(fù)平面的正實(shí)軸上。補(bǔ)充資料--拉氏變換二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)1.過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)取C(s)拉氏反變換得：補(bǔ)充資料--拉氏變換過阻尼系統(tǒng)分析衰減項(xiàng)的冪指數(shù)的絕對(duì)值一個(gè)大，一個(gè)小。絕對(duì)值大的離虛軸遠(yuǎn)，衰減速度快，絕對(duì)值小的離虛軸近，衰減速度慢；衰減項(xiàng)前的系數(shù)一個(gè)大，一個(gè)?。欢A過阻尼系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)呈非周期性，沒有振蕩和超調(diào)，但又不同于一階系統(tǒng)；離虛軸近的極點(diǎn)所決定的分量對(duì)響應(yīng)產(chǎn)生的影響大，離虛軸遠(yuǎn)的極點(diǎn)所決定的分量對(duì)響應(yīng)產(chǎn)生的影響小，有時(shí)甚至可以忽略不計(jì)。補(bǔ)充資料--拉氏變換過阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)補(bǔ)充資料--拉氏變換與一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的比較tc(t)0二階過阻尼系統(tǒng)一階系統(tǒng)響應(yīng)1補(bǔ)充資料--拉氏變換二階過阻尼系統(tǒng)階躍響應(yīng)指標(biāo)分析對(duì)于過阻尼二階系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)，只著重討論，它反映了系統(tǒng)響應(yīng)過渡過程的長(zhǎng)短，是系統(tǒng)響應(yīng)快速性的一個(gè)方面，但確定的表達(dá)式是很困難的，一般根據(jù)（3－1－4）取相對(duì)量及經(jīng)計(jì)算機(jī)計(jì)算后制成曲線或表格。補(bǔ)充資料--拉氏變換2.欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)補(bǔ)充資料--拉氏變換二階欠阻尼系統(tǒng)的輸出拉氏反變換得：補(bǔ)充資料--拉氏變換二階欠阻尼系統(tǒng)輸出分析二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成。穩(wěn)態(tài)分量值等于1，暫態(tài)分量為衰減過程，振蕩頻率為ωd。補(bǔ)充資料--拉氏變換下圖為二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線。補(bǔ)充資料--拉氏變換下面根據(jù)上圖來分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、對(duì)階躍響應(yīng)的影響平穩(wěn)性（％）結(jié)論：越大，ωd越小，幅值也越小，響應(yīng)的振蕩傾向越弱，超調(diào)越小，平穩(wěn)性越好。反之，越小，ωd越大，振蕩越嚴(yán)重，平穩(wěn)性越差。補(bǔ)充資料--拉氏變換當(dāng)＝0時(shí)，為零阻尼響應(yīng)，具有頻率為的不衰減（等幅）振蕩。阻尼比和超調(diào)量的關(guān)系曲線如下圖所示補(bǔ)充資料--拉氏變換結(jié)論：對(duì)于二階欠阻尼系統(tǒng)而言，大，

小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。在一定的情況下，越大，振蕩頻率

也越高，響應(yīng)平穩(wěn)性也越差。補(bǔ)充資料--拉氏變換快速性從圖中看出，對(duì)于5％誤差帶，當(dāng)時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，即快速性最好。同時(shí)，其超調(diào)量<5％，平穩(wěn)性也較好，故稱為最佳阻尼比?？偨Y(jié)：越大，調(diào)節(jié)時(shí)間越短；當(dāng)一定時(shí)，越大，快速性越好。補(bǔ)充資料--拉氏變換穩(wěn)態(tài)精度從上式可看出，瞬態(tài)分量隨時(shí)間t的增長(zhǎng)衰減到零，而穩(wěn)態(tài)分量等于1，因此，上述欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。補(bǔ)充資料--拉氏變換欠阻尼二階系統(tǒng)

單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo)1.上升時(shí)間：令，則所以：補(bǔ)充資料--拉氏變換根據(jù)極值定理有：該項(xiàng)不可能為零2.峰值時(shí)間：補(bǔ)充資料--拉氏變換取n=1得:補(bǔ)充資料--拉氏變換3.超調(diào)量：將峰值時(shí)間代入下式得:所以:補(bǔ)充資料--拉氏變換4.調(diào)節(jié)時(shí)間寫出調(diào)節(jié)時(shí)間的表達(dá)式相當(dāng)困難。在分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)十，經(jīng)常采用下列近似公式。當(dāng)阻尼比時(shí)補(bǔ)充資料--拉氏變換三、二階系統(tǒng)舉例2設(shè)位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)給定輸入為單位階躍時(shí)，試計(jì)算放大器增益KA＝200，1500，13.5時(shí)，輸出位置響應(yīng)特性的性能指標(biāo)：峰值時(shí)間tp，調(diào)節(jié)時(shí)間ts和超調(diào)量

，并分析比較之。補(bǔ)充資料--拉氏變換例題解析(1)輸入：?jiǎn)挝浑A躍系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：補(bǔ)充資料--拉氏變換例題解析(2)當(dāng)KA＝200時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)照得：補(bǔ)充資料--拉氏變換例題解析(3)當(dāng)KA＝1500時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)照得：補(bǔ)充資料--拉氏變換例題解析(4)當(dāng)KA＝13.5時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)照得：無補(bǔ)充資料--拉氏變換系統(tǒng)在單位階躍作用下的響應(yīng)曲線補(bǔ)充資料--拉氏變換四改善二階系統(tǒng)響應(yīng)的措施1.誤差信號(hào)的比例－微分控制補(bǔ)充資料--拉氏變換系統(tǒng)開環(huán)傳函為：閉環(huán)傳函為：等效阻尼比：補(bǔ)充資料--拉氏變換可見，引入了比例－微分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼比加大了，從而抑制了振蕩，使超調(diào)減弱，可以改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性。微分作用之所以能改善動(dòng)態(tài)性能，因?yàn)樗a(chǎn)生一種早期控制（或稱為超前控制），能在實(shí)際超調(diào)量出來之前，就產(chǎn)生一個(gè)修正作用。補(bǔ)充資料--拉氏變換前面圖的相應(yīng)的等效結(jié)構(gòu)由此知道：補(bǔ)充資料--拉氏變換和及的大致形狀如下一方面，增加項(xiàng)，增大了等效阻尼比，使曲線比較平穩(wěn)。另一方面，它又使加上了它的微分信號(hào)，加速了c(t)的響應(yīng)速度，但同時(shí)削弱了等效阻尼比的平穩(wěn)作用。補(bǔ)充資料--拉氏變換總結(jié)：引入誤差信號(hào)的比例－微分控制，能否真正改善二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性，還需要適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)。若大一些，使具有過阻尼的形式，而閉環(huán)零點(diǎn)的微分作用，將在保證響應(yīng)特性平穩(wěn)的情況下，顯著地提高系統(tǒng)的快速性。補(bǔ)充資料--拉氏變換2.輸出量的速度反饋控制將輸出量的速度信號(hào)c(t)采用負(fù)反饋形式，反饋到輸入端并與誤差信號(hào)e(t)比較，構(gòu)成一個(gè)內(nèi)回路，稱為速度反饋控制。如下圖示。補(bǔ)充資料--拉氏變換閉環(huán)傳函為：等效阻尼比：等效阻尼比增大了，振蕩傾向和超調(diào)量減小，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。補(bǔ)充資料--拉氏變換3.比例－微分控制和速度反饋控制比較從實(shí)現(xiàn)角度看，比例－微分控制的線路結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，成本低；而速度反饋控制部件則較昂貴。從抗干擾來看，前者抗干擾能力較后者差。從控制性能看，兩者均能改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，在相同的阻尼比和自然頻率下，采用速度反饋不足之處是其會(huì)使系統(tǒng)的開環(huán)增益下降，但又能使內(nèi)回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利影響大大削弱。補(bǔ)充資料--拉氏變換五高階系統(tǒng)的時(shí)域分析定義：用高階微分方程描述的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。由于求高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)很是困難，所以通?？偸菍⒍鄶?shù)高階系統(tǒng)化為一、二階系統(tǒng)加以分析。通常對(duì)于高階系統(tǒng)來說，離虛軸最近的一個(gè)或兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在時(shí)間響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，而其他離虛軸較遠(yuǎn)的極點(diǎn)，他們?cè)跁r(shí)間響應(yīng)中相應(yīng)的分量衰減較快，只起次要作用，可以忽略。補(bǔ)充資料--拉氏變換這時(shí)，高階系統(tǒng)的時(shí)域分析就轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一、二階系統(tǒng)。這就是所謂的主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，將在第四章中詳細(xì)介紹。一、二階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布如下：補(bǔ)充資料--拉氏變換3－3系統(tǒng)穩(wěn)定性分析本節(jié)主要內(nèi)容：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的概念系統(tǒng)穩(wěn)定的條件和穩(wěn)定性的判定方法。返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換一、系統(tǒng)穩(wěn)定的概念是指系統(tǒng)當(dāng)擾動(dòng)作用消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復(fù)平衡狀態(tài)，就稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，若系統(tǒng)在擾動(dòng)作用消失后不能恢復(fù)平衡狀態(tài)，且偏差越來越大，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。補(bǔ)充資料--拉氏變換二、穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)條件設(shè)系統(tǒng)的線形化增量方程為：補(bǔ)充資料--拉氏變換對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：其中：D(s)為系統(tǒng)閉環(huán)特征式，也稱輸出端算子式；M(s)稱為輸入端算子式。R(s)為輸入，C(s)為輸出，M0(s)為總的初始條件，與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)的多項(xiàng)式?；蚝?jiǎn)寫為：補(bǔ)充資料--拉氏變換則有：假定：將C(s)等式右的兩項(xiàng)分別展開成部分分式，可得補(bǔ)充資料--拉氏變換再進(jìn)行拉氏反變換，得該部分為穩(wěn)態(tài)分量，即微分方程的特解，取決于輸入作用。補(bǔ)充資料--拉氏變換該為瞬態(tài)分量，即微分方程的通解，運(yùn)動(dòng)規(guī)律取決于，由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。補(bǔ)充資料--拉氏變換系統(tǒng)去掉擾動(dòng)后的恢復(fù)能力，應(yīng)由瞬態(tài)分量決定。此時(shí)，系統(tǒng)的輸入為零。故：穩(wěn)定性定義可轉(zhuǎn)化為：式中：Ai，Ci均為常值，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于特征根si的性質(zhì)。補(bǔ)充資料--拉氏變換特征根的性質(zhì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響當(dāng)si為實(shí)根時(shí)，即si＝

i，補(bǔ)充資料--拉氏變換補(bǔ)充資料--拉氏變換特征根與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系(2)當(dāng)si為共軛復(fù)根時(shí)，即si，i+1＝

i±

jωi補(bǔ)充資料--拉氏變換共軛復(fù)根情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性補(bǔ)充資料--拉氏變換結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說都位于S平面的虛軸之左。注：拉氏變換性質(zhì)中的終值定理的適用條件：SE(S)在S平面的右半平面解析，就是上面穩(wěn)定條件的另一種表示，即特征方程的所有根Si位于S平面的虛軸之左。補(bǔ)充資料--拉氏變換三、穩(wěn)定性判據(jù)判據(jù)之三：勞斯(Routh)判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表中第一列所有元素的計(jì)算值均大于零。補(bǔ)充資料--拉氏變換若系統(tǒng)的特征方程為：則勞思表中各項(xiàng)系數(shù)如下圖：補(bǔ)充資料--拉氏變換關(guān)于勞斯判據(jù)的幾點(diǎn)說明如果第一列中出現(xiàn)一個(gè)小于零的值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定；如果第一列中有等于零的值，說明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；第一列中數(shù)據(jù)符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實(shí)部根的數(shù)目，即系統(tǒng)中不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。補(bǔ)充資料--拉氏變換例1設(shè)系統(tǒng)特征方程如下：試用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定正實(shí)部根的數(shù)目。補(bǔ)充資料--拉氏變換解：將特征方程系數(shù)列成勞斯表結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)正實(shí)部的根。補(bǔ)充資料--拉氏變換勞斯表判據(jù)的特殊情況在勞斯表的某一行中，第一列項(xiàng)為零。在勞斯表的某一行中，所有元素均為零。在這兩種情況下，都要進(jìn)行一些數(shù)學(xué)處理，原則是不影響勞斯判據(jù)的結(jié)果。補(bǔ)充資料--拉氏變換例2設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。補(bǔ)充資料--拉氏變換解：將特征方程系數(shù)列成勞斯表由表可見，第二行中的第一列項(xiàng)為零，所以第三行的第一列項(xiàng)出現(xiàn)無窮大。為避免這種情況，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可為任意正數(shù)，這里取a=1。補(bǔ)充資料--拉氏變換于是得到新的特征方程為：將特征方程系數(shù)列成勞斯表：結(jié)論：第一列有兩次符號(hào)變化，故方程有兩個(gè)正實(shí)部根。補(bǔ)充資料--拉氏變換例3設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：試用勞思判據(jù)確定正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。補(bǔ)充資料--拉氏變換解：將特征方程系數(shù)列成勞斯表勞思表中出現(xiàn)全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。這時(shí)，可用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程，對(duì)其求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)下去直到得到全部勞思表。補(bǔ)充資料--拉氏變換用行的系數(shù)構(gòu)造系列輔助方程求導(dǎo)得：用上述方程的系數(shù)代替原表中全零行，然后按正常規(guī)則計(jì)算下去，得到補(bǔ)充資料--拉氏變換補(bǔ)充資料--拉氏變換表中的第一列各系數(shù)中，只有符號(hào)的變化，所以該特征方程只有一個(gè)正實(shí)部根。求解輔助方程，可知產(chǎn)生全零行的根為。再可求出特征方程的其它兩個(gè)根為。補(bǔ)充資料--拉氏變換四.結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定及改進(jìn)措施某些系統(tǒng)，僅僅靠調(diào)整參數(shù)仍無法穩(wěn)定，稱結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。如下圖液位可能控制系統(tǒng)。補(bǔ)充資料--拉氏變換消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的措施有兩種改變積分性質(zhì)引入比例－微分控制，補(bǔ)上特征方程中的缺項(xiàng)。該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：系數(shù)缺項(xiàng)，顯然不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，且無論怎么調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。補(bǔ)充資料--拉氏變換1.改變積分性質(zhì)用反饋包圍積分環(huán)節(jié)或者包圍電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)，破壞其積分性質(zhì)。補(bǔ)充資料--拉氏變換2.引入比例－微分控制在原系統(tǒng)的前向通路中引入比例－微分控制。補(bǔ)充資料--拉氏變換其閉環(huán)特征方程為：由穩(wěn)定的充分必要條件：引入比例－微分控制后，補(bǔ)上了特征方程中s的一次項(xiàng)系數(shù)。只要適當(dāng)匹配參數(shù)，滿足上述條件，系統(tǒng)就可以穩(wěn)定。補(bǔ)充資料--拉氏變換3－4穩(wěn)態(tài)誤差分析計(jì)算一.誤差與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的誤差e(t)常定義為：e(t)=期望值－實(shí)際值誤差:(1)e(t)=r(t)-c(t)(2)e(t)=r(t)-b(t)返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換穩(wěn)態(tài)誤差定義：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，e(t)極限存在，則穩(wěn)態(tài)誤差為二.穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算若e(t)的拉普拉斯變換為E(s)，且補(bǔ)充資料--拉氏變換在計(jì)算系統(tǒng)誤差的終值(穩(wěn)態(tài)誤差)時(shí)，遇到的誤差的象函數(shù)一般是s的有理分式函數(shù)，這時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臉O點(diǎn)均在左半面，就可保證存在，式就成立。注：sE(s)的極點(diǎn)均在左半面的條件中，蘊(yùn)涵了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。補(bǔ)充資料--拉氏變換對(duì)上述系統(tǒng)，若定義e(t)=r(t)-b(t),則E(s)=R(s)-B(s)補(bǔ)充資料--拉氏變換稱之為系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的誤差傳遞函數(shù)。稱為系統(tǒng)對(duì)干擾的誤差傳遞函數(shù)。補(bǔ)充資料--拉氏變換例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖。當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t),干擾n(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)的總的穩(wěn)態(tài)誤差解：①判別穩(wěn)定性。由于是一階系統(tǒng)，所以只要參數(shù)大于零，系統(tǒng)就穩(wěn)定。②求E(s)。補(bǔ)充資料--拉氏變換根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可以求出：依題意：R(s)=N(s)=1/s,則③應(yīng)用終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差補(bǔ)充資料--拉氏變換三輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系當(dāng)系統(tǒng)只有輸入r(t)作用時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：RECB補(bǔ)充資料--拉氏變換將G(s)H(s)寫成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)形式：當(dāng)sE(s)的極點(diǎn)全部在s平面的左半平面時(shí)，可用終值定理求得：上式表明：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除與輸入有關(guān)外，只與系統(tǒng)的開環(huán)增益K和積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。補(bǔ)充資料--拉氏變換1.階躍信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差要消除階躍信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有一個(gè)積分環(huán)節(jié)。但是，積分環(huán)節(jié)多會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。補(bǔ)充資料--拉氏變換2.斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差要消除斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)。補(bǔ)充資料--拉氏變換3.等加速信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差要消除等加速信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有三個(gè)積分環(huán)節(jié)。但是，積分環(huán)節(jié)多會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。補(bǔ)充資料--拉氏變換由以上分析可見，要消除系統(tǒng)在冪函數(shù)輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，則要求增加積分環(huán)節(jié)的數(shù)目，要減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，則要求提高開環(huán)增益。系統(tǒng)型別是針對(duì)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)而言的。=０的系統(tǒng)稱為０型系統(tǒng)；＝１的系統(tǒng)稱為Ⅰ型系統(tǒng)；＝２的系統(tǒng)稱為Ⅱ型系統(tǒng)；補(bǔ)充資料--拉氏變換例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：若輸入信號(hào)為試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：①判別穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為補(bǔ)充資料--拉氏變換②

根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系，可以直接求從結(jié)構(gòu)圖看出，該系統(tǒng)為單位反饋且屬Ⅱ型系統(tǒng)。因此補(bǔ)充資料--拉氏變換注意事項(xiàng)系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，否則計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差沒有意義；以上結(jié)論僅適用于輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不適用于干擾作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；上述公式中Ｋ必須是系統(tǒng)的開環(huán)增益，也即開環(huán)傳遞函數(shù)中，各典型環(huán)節(jié)的常數(shù)項(xiàng)均為１時(shí)的系數(shù)。以上規(guī)律是根據(jù)誤差定義E(s)=R(s)-B(s)推得的。補(bǔ)充資料--拉氏變換四干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系用一待定的來代替上圖中的，然后找出消除系統(tǒng)在干擾n(t)作用下的誤差時(shí)，需具備的條件。補(bǔ)充資料--拉氏變換補(bǔ)充資料--拉氏變換以上分析表明，是誤差信號(hào)到干擾作用點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)，系統(tǒng)在時(shí)間冪函數(shù)干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與干擾作用點(diǎn)到誤差信號(hào)之間的積分環(huán)節(jié)數(shù)目和增益大小有關(guān)，而與干擾干擾作用點(diǎn)后面的積分環(huán)節(jié)數(shù)目和增益大小無關(guān)。補(bǔ)充資料--拉氏變換例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，已知干擾n(t)=1(t),試求干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差解：①判斷穩(wěn)定性。系統(tǒng)開環(huán)傳函為補(bǔ)充資料--拉氏變換所以閉環(huán)特征方程為②求穩(wěn)態(tài)誤差從圖中可以看出，誤差信號(hào)到干擾作用點(diǎn)之前的傳遞函數(shù)中含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，所以可得出，系統(tǒng)在階躍干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零。補(bǔ)充資料--拉氏變換補(bǔ)充資料--拉氏變換本章知識(shí)點(diǎn)及聯(lián)系

誤差的定義公式、圖線公式、圖線勞斯判據(jù)、赫爾維茨判據(jù)一階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式閉環(huán)特征式穩(wěn)定性終值定理判穩(wěn)等效單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)判穩(wěn)誤差系數(shù)補(bǔ)充資料--拉氏變換根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)求出閉環(huán)極點(diǎn)（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)帶來了極大的方便。閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)在復(fù)平面的位置決定，因此，分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)確定出閉環(huán)極點(diǎn)位置是十分有意義的。定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個(gè)參數(shù)（如開環(huán)增益K）從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。4－1根軌跡與根軌跡方程當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)為正反饋時(shí)，對(duì)應(yīng)的軌跡為零度根軌跡；而負(fù)反饋系統(tǒng)的軌跡為根軌跡。一、根軌跡返回子目錄例子如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)。沒有零點(diǎn)，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為閉環(huán)傳遞函數(shù)為從特征根的表達(dá)式中看出每個(gè)特征根都隨K的變化

而變化。例如，設(shè)K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。二、閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4－4）圖4－3控制系統(tǒng)將前向通道傳遞函數(shù)G（s）表示為：（4－5）

為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益式中為反饋通道的根軌跡增益。（4－7）（4－6）（4－8）閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為閉環(huán)零、極點(diǎn)。式中：（4－10）比較式（4－8）和式（4－10）可得出以下結(jié)論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益；閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)由前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的極點(diǎn)組成；閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及開環(huán)根軌跡增益有關(guān)。根軌跡法的任務(wù)是在已知開環(huán)零、極點(diǎn)分布的情況下，如何通過圖解法求出閉環(huán)極點(diǎn)。三、根軌跡方程根軌跡方程

G(s)H(s)=-1（4-12）式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系。

閉環(huán)特征方程

D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-11）閉環(huán)極點(diǎn)就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)有m個(gè)零點(diǎn)，n個(gè)極點(diǎn)，并假定n≥m，這時(shí)式（4－12）又可以寫成：（4－13）不難看出，式子為關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。相角方程（4－15）模值方程（4－14）注意在實(shí)際應(yīng)用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點(diǎn)的值。

模值方程不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而相角方程只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)。

相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。例4-1它們應(yīng)滿足相角方程（4－15）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試證明復(fù)平面上點(diǎn)是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。若系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為證明：

該系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)圖4－4例4－1開環(huán)零、極點(diǎn)分布圖(k=0)以為試驗(yàn)點(diǎn)，可得以為試驗(yàn)點(diǎn)，觀察圖4－4，可得圖4－4證畢可見，都滿足相角方程，所以，點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)。例4－2已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)變化時(shí)其根軌跡如圖4-5所示，求根軌跡上點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的K值。解

根據(jù)模值方程求解值模值方程圖4-5根據(jù)圖4－5可得所以圖4-5上面兩個(gè)例子說明如何應(yīng)用根軌跡方程確定復(fù)平面上一點(diǎn)是否是閉環(huán)極點(diǎn)以及確定根軌跡上一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值。根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點(diǎn)時(shí)，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時(shí)閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即根軌跡。4－2繪制根軌跡的基本法則一、根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)＝開環(huán)極點(diǎn)數(shù)

＝開環(huán)特征方程的階數(shù)二、根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸閉環(huán)極點(diǎn)為實(shí)數(shù)→在實(shí)軸上復(fù)數(shù)→共軛→對(duì)稱于實(shí)軸返回子目錄起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。三、根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)由根軌跡方程有：

若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m<開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n(有個(gè)開環(huán)零點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處)則有()條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)→→

起點(diǎn)→→終點(diǎn)四、實(shí)軸上的根軌跡

實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。證明：設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖。在實(shí)軸上任取一試驗(yàn)點(diǎn)代入相角方程則所以相角方程成立，即是根軌跡上的點(diǎn)。一般，設(shè)試驗(yàn)點(diǎn)右側(cè)有L個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，h個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，則有關(guān)系式證畢如滿足相角條件必有所以，L-h必為奇數(shù)，當(dāng)然L+h也為奇數(shù)。例4－3設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求時(shí)的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求時(shí)的閉環(huán)根軌跡。最后繪制出根軌跡如圖4－7所示。法則一，有兩條根軌跡法則三，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)0、－2，一條終于有限零點(diǎn)－1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。法則四，在負(fù)實(shí)軸上，0到－1區(qū)間和－2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡。按繪制根規(guī)跡法則逐步進(jìn)行：圖4－7例4－3根軌跡法則五、根軌跡的漸近線漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為：漸近線與實(shí)軸相交點(diǎn)的坐標(biāo)為：例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)法則五，求出根軌跡的漸近線。極點(diǎn)解：零點(diǎn)按照公式得以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(a)(b)(c)(d)法則六、根軌跡的起始角和終止角根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在該點(diǎn)處的切線與水平正方向的夾角。根軌跡的起始角是指根軌跡在起點(diǎn)處的切線與水平正方向的夾角。起始角與終止角計(jì)算公式起始角計(jì)算公式：終止角計(jì)算公式：例4－5設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。解

將開環(huán)零、極點(diǎn)畫在圖4－12的根平面上，逐步畫圖：圖4－12例4－5根軌跡n=2，有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)(-1-j2),(-1+j2)；終于開環(huán)零點(diǎn)(-2-j),(-2+j)確定起始角,終止角。如圖4－13所示。例4－5根軌跡的起始角和終止角圖4－13定義：幾條（兩條或兩條以上）根軌跡在s平面上相遇又分開的點(diǎn)。若根軌跡位于實(shí)軸兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間，則此二極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)。若根軌跡位于實(shí)軸兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間，則此二極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)會(huì)合點(diǎn)。七、根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)d分離點(diǎn)的坐標(biāo)d可由下面方程求得式中：為各開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值，為各開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值。例4－6已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點(diǎn)坐標(biāo)d，并概略繪制出根軌跡圖。解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點(diǎn)按步驟：n=2,m=1,有兩條根軌跡兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)實(shí)軸上根軌跡位于有限零點(diǎn)－1和無窮零點(diǎn)之間，因此判斷有分離點(diǎn)離開復(fù)平面極點(diǎn)的初始角為漸近線（舍去）6、求分離點(diǎn)坐標(biāo)d此系統(tǒng)根軌跡如圖4-15所示圖4－15八、分離角與會(huì)合角所謂分離角是指根軌跡離開分離點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。分離角計(jì)算公式（4－45）所謂會(huì)合角是指根軌跡進(jìn)入重極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。會(huì)合角計(jì)算公式分離角與會(huì)合角不必經(jīng)公式計(jì)算，可以用下列簡(jiǎn)單法則來確定：若有條根軌跡進(jìn)入d點(diǎn)，必有條根軌跡離開d點(diǎn)；條進(jìn)入d點(diǎn)的根軌跡與條離開d點(diǎn)的根軌跡相間隔；任一條進(jìn)入d點(diǎn)的根軌跡與相鄰的離開d點(diǎn)的根軌跡方向之間的夾角為；因此只要確定了d點(diǎn)附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點(diǎn)附近所有的根軌跡方向，而確定d點(diǎn)附近根軌跡方向的方法可根據(jù)法則2、法則4或取試驗(yàn)點(diǎn)用相角條件來驗(yàn)證。九、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)如根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的值和值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的，然后分別令其實(shí)部和虛部為零求得。例4－7設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解：按步驟畫圖有4條根軌跡各條根軌跡分別起于開環(huán)極點(diǎn)0，-3，-1+j1,-1-j1；終于無窮遠(yuǎn)實(shí)軸上的根軌跡在0到-3之間漸近線確定分離點(diǎn)d解方程得（舍去）確定起始角確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。令代入上式解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為圖4－17例4－7根軌跡十、根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式閉環(huán)特征根的負(fù)值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項(xiàng)系數(shù)。若根之和與開環(huán)根軌跡增益無關(guān)。Tips在開環(huán)極點(diǎn)已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-m2的系統(tǒng)，當(dāng)增益Ｋ的變動(dòng)使某些閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上向左移動(dòng)時(shí)，則必有另一些極點(diǎn)向右移動(dòng)，這樣才能保證極點(diǎn)之和為常值。這對(duì)于判斷根軌跡的走向很有意義。閉環(huán)特征根之積乘以，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項(xiàng)。例4－8已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點(diǎn)。解；根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計(jì)算：n=4，有四條根軌跡；起始于開環(huán)極點(diǎn)0，-20，-2-j4,-2+j4，終于無窮遠(yuǎn)處；實(shí)軸上的根軌跡在（0，-20）區(qū)間；n=4,m=0,則有4條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)，它們的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角為取根軌跡的起始角。解得分離點(diǎn)坐標(biāo)d。舍根軌跡與虛軸交點(diǎn)。系統(tǒng)特征方程解得則兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)令代入此時(shí)特征方程為利用綜合除法，可求出其他兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)圖4－19例4－8根軌跡圖圖4-18常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖4－4系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布

與階躍響應(yīng)的關(guān)系由開環(huán)→閉環(huán)極點(diǎn)的根軌跡求閉環(huán)極點(diǎn)確定閉環(huán)傳函閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能主要任務(wù)：返回子目錄一、用閉環(huán)零、極點(diǎn)表示的階躍響應(yīng)表達(dá)式Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：設(shè)輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(shè)

(s)中無重極點(diǎn)，上式分解為部分分式將C(s)表達(dá)式進(jìn)行拉式反變換得：（4－74）從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點(diǎn)及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布有關(guān)。二、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定

性關(guān)系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點(diǎn)位于s平面的左半部；復(fù)數(shù)極點(diǎn)設(shè)置在s平面中與負(fù)實(shí)軸成夾角線附近；平穩(wěn)性快速性閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸；動(dòng)態(tài)過程盡快消失小，閉環(huán)極點(diǎn)之間間距大,零點(diǎn)與極點(diǎn)間間距小。三、主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子主導(dǎo)極點(diǎn)：就是對(duì)動(dòng)態(tài)過程影響占主導(dǎo)地位的極點(diǎn)，一般是離虛軸最近的極點(diǎn)。偶極子：就是一對(duì)靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)。四、利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)既然主導(dǎo)極點(diǎn)在動(dòng)態(tài)過程中起主要作用，那么，計(jì)算性能指標(biāo)時(shí)，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分量，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng)，直接應(yīng)用第三章中計(jì)算性能指標(biāo)的公式和曲線。例4-12試近似計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解：這是三階系統(tǒng)，有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)其零、極點(diǎn)分布如圖4-25所示。某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為極點(diǎn)離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為，而其他兩個(gè)極點(diǎn)可以忽略。圖4-25這時(shí)系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為式中：T=0.67s根據(jù)時(shí)域分析可知一階系統(tǒng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間例4-13系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)試估計(jì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解：閉環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖(4-26)所示圖4-26系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)對(duì)應(yīng)性能指標(biāo)例4-14已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比0.5時(shí)的性能指標(biāo)。解：圖4-27根軌跡圖圖4-27根軌跡圖按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖4-27所示。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性在平面上畫出時(shí)的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為，從圖上測(cè)得，與之共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)為。已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個(gè)極點(diǎn)，用長(zhǎng)除法求出第三個(gè)極點(diǎn)。使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的性能指標(biāo)：4－5系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析例4－15已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4－28所示。試畫出當(dāng)由時(shí)的閉環(huán)根軌跡，并分析對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的影響。圖4－28返回子目錄解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)0，－2；有一個(gè)零點(diǎn)－4。此類帶零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的根軌跡，其復(fù)數(shù)部分為一個(gè)圓，其圓心在開環(huán)零點(diǎn)處，半徑為零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離。根軌跡如圖4－29所示。圖4－29系統(tǒng)根軌跡分離點(diǎn)對(duì)應(yīng)開環(huán)增益當(dāng)開環(huán)增益在（0～0.686）內(nèi)，閉環(huán)為兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)在階躍信號(hào)下響應(yīng)為非周期的。當(dāng)開環(huán)增益在（0.686～23.4）內(nèi)，閉環(huán)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其階躍響應(yīng)為振蕩衰減過程。下面求系統(tǒng)最小阻尼比對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。過原點(diǎn)做與根軌跡圓相切的直線，此切線與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦即為系統(tǒng)的阻尼比。3.當(dāng)開環(huán)增益在內(nèi)，閉環(huán)又為負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其階躍響應(yīng)又為非周期的。對(duì)應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)系統(tǒng)階躍響應(yīng)具有較好的平穩(wěn)性。例4－16單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解：此系統(tǒng)開環(huán)有三個(gè)極點(diǎn)0，0，－10圖4-30按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖4-30所示。圖中兩條根軌跡位于s平面右半部，即閉環(huán)始終有兩個(gè)右極點(diǎn)。說明開環(huán)增益無論取何值，系統(tǒng)均不穩(wěn)定。若在系統(tǒng)中附加一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)z1，用來改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，則系上統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖4-31附加零點(diǎn)后的根軌跡圖4-32附加零點(diǎn)后的根軌跡因此，引入的附加零點(diǎn)要恰當(dāng)，才能使系統(tǒng)的性能有所改善。本章總線索T法則開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)pi,zi閉環(huán)根軌跡(加上閉環(huán)零點(diǎn))簡(jiǎn)化處理一、二階系統(tǒng)系統(tǒng)性能指標(biāo)定性分析,求K的取值范圍“法則”是指繪制根軌跡的基本法則，“簡(jiǎn)化處理”是指利用主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子的概念，將高階系統(tǒng)近似地看成一階或二階系統(tǒng)?！岸ㄐ苑治觥笨梢园A躍響應(yīng)的不同形式對(duì)K取值的要求，例如階躍響應(yīng)單調(diào)收斂，振蕩收斂，最佳阻尼比，系統(tǒng)穩(wěn)定等。一、控制系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出5－1頻率特性輸入信號(hào)：其拉氏變換式返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換輸出拉氏反變換得其中補(bǔ)充資料--拉氏變換同理將B、D代入（5－5）則（5－6）補(bǔ)充資料--拉氏變換式中從式（5－6）看出，線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量是和輸入同頻率的正弦信號(hào)。補(bǔ)充資料--拉氏變換二、頻率特性的定義線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)作用下，輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比，稱為系統(tǒng)的頻率特性（即為幅相頻率特性，簡(jiǎn)稱復(fù)相特性）。頻率特性表達(dá)式為補(bǔ)充資料--拉氏變換例子以RC網(wǎng)絡(luò)為例其傳遞函數(shù)頻率特性補(bǔ)充資料--拉氏變換三、頻率特性的幾種表示方法1、幅頻特性、相頻特性、幅相特性=，為系統(tǒng)的幅頻特性。為系統(tǒng)的相頻特性。補(bǔ)充資料--拉氏變換圖5－2RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性補(bǔ)充資料--拉氏變換圖5－3RC網(wǎng)絡(luò)的幅相特性曲線補(bǔ)充資料--拉氏變換2。對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱伯德（Bode)圖，包括對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻兩條曲線對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性:補(bǔ)充資料--拉氏變換圖5－4對(duì)數(shù)坐標(biāo)刻度圖補(bǔ)充資料--拉氏變換注意縱坐標(biāo)是以幅值對(duì)數(shù)分貝數(shù)刻度的，是均勻的；橫坐標(biāo)按頻率對(duì)數(shù)標(biāo)尺刻度，但標(biāo)出的是實(shí)際的值，是不均勻的?！@種坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。在橫軸上，對(duì)應(yīng)于頻率每增大10倍的范圍，稱為十倍頻程(dec)，如1-10，5-50，而軸上所有十倍頻程的長(zhǎng)度都是相等的。為了說明對(duì)數(shù)幅頻特性的特點(diǎn)，引進(jìn)斜率的概念，即橫坐標(biāo)每變化十倍頻程（即變化）所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)分貝數(shù)的變化量。補(bǔ)充資料--拉氏變換5－2典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）幅頻特性相頻特性對(duì)數(shù)幅相特性返回子目錄補(bǔ)充資料--拉氏變換圖5－5比例環(huán)節(jié)的頻率特性曲線補(bǔ)充資料--拉氏變換二、積分環(huán)節(jié)幅相特性傳遞函數(shù)相頻特性是一常值補(bǔ)充資料--拉氏變換圖5－6積分環(huán)節(jié)的幅頻、相頻、幅相特性曲線補(bǔ)充資料--拉氏變換對(duì)數(shù)頻率特性圖5－7補(bǔ)充資料--拉氏變換三、慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）傳遞函數(shù)幅相特性補(bǔ)充資料--拉氏變換圖5－8慣性環(huán)節(jié)的幅頻、相頻、幅相特性曲線補(bǔ)充資料--拉氏變換對(duì)數(shù)頻率特性

當(dāng)當(dāng)補(bǔ)充資料--拉氏變換圖5－9慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線補(bǔ)充資料--拉氏變換四、振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）傳遞函數(shù)頻率特性補(bǔ)充資料--拉氏變換1.幅頻