《閱讀與思考集合中元素的個(gè)數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)(河北省縣級(jí)優(yōu)課)x-數(shù)學(xué)教案

《集合中元素的個(gè)數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)南和一中李娟一教材分析本節(jié)課的地位和作用本節(jié)課是人教A版必修1第一章第一節(jié)《集合》后面的一個(gè)閱讀與思考的內(nèi)容。主要介紹如何計(jì)算若干個(gè)有限集合并集中的元素個(gè)數(shù)。計(jì)算有限集中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題，在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛，特別是在各級(jí)各類(lèi)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽以及以后要學(xué)習(xí)的排列，組合和概率章節(jié)中要經(jīng)常用到。因此，了解掌握這部分內(nèi)容很有必要。而且通過(guò)對(duì)無(wú)限集合中元素個(gè)數(shù)的討論，還可以向同學(xué)們滲透數(shù)學(xué)文化，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本節(jié)內(nèi)容分析本節(jié)課主要介紹并集中元素個(gè)數(shù)的求法，首先從生活中最簡(jiǎn)單的例子入手，求兩個(gè)集合并集中元素的個(gè)數(shù)，再求三個(gè)集合并集中元素的個(gè)數(shù)，然后推廣到n個(gè)集合并集中元素的個(gè)數(shù)，從而總結(jié)出一般的公式，最后，介紹如何比較兩個(gè)無(wú)限集合中元素的個(gè)數(shù)大小，向?qū)W生滲透一部分?jǐn)?shù)學(xué)文化的知識(shí)。二學(xué)情分析學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合的概念，集合中元素的特征，以及集合之間的關(guān)系和運(yùn)算，對(duì)集合已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)，所以可以利用所學(xué)的集合知識(shí)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，使他們體會(huì)到數(shù)學(xué)是有用的。三教學(xué)目標(biāo)分析1知識(shí)與技能目標(biāo)：通過(guò)集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題的研究，探求有限集中元素的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，了解無(wú)限集中如何比較元素的個(gè)數(shù)大小。2過(guò)程與方法目標(biāo)：能多方面，多角度，多層面來(lái)探究問(wèn)題，運(yùn)用知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力。3情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣，享受探索成功的樂(lè)趣，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與科學(xué)精神。四教學(xué)重難點(diǎn)分析重點(diǎn)：有限集合中元素個(gè)數(shù)間的關(guān)系。難點(diǎn)：并集中元素個(gè)數(shù)的公式的推導(dǎo)。五教學(xué)過(guò)程分析引言一年一度的某中學(xué)藝術(shù)節(jié)又要到來(lái)了。本次藝術(shù)節(jié)共設(shè)三項(xiàng)：書(shū)畫(huà)比賽、歌詠比賽和圍棋比賽。初二·三班的文藝委員小紅對(duì)本班參賽人員進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果是：參加書(shū)畫(huà)比賽的15人，參加歌詠比賽的28人，參加圍棋比賽的25人，但使小紅百思不得其解的是，參加人員總計(jì)68人，而她的班里總共才有60人，剩余的8人是從何處來(lái)的呢？原來(lái)，這是由集合的性質(zhì)造成的。在前面我們學(xué)習(xí)了集合的概念和集合中元素的特征，按集合中元素的個(gè)數(shù)可把集合分為有限集和無(wú)限集，在有限集中，我們把集合中元素的個(gè)數(shù)用card來(lái)表示，比如,則設(shè)計(jì)意圖：明確集合中元素個(gè)數(shù)的表示方法和符號(hào)。（2）教師出示例題學(xué)校小賣(mài)部進(jìn)了兩次貨，第一次進(jìn)的貨有圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水共6種，第二次進(jìn)的貨是圓珠筆，鉛筆，火腿腸，方便面共4種，問(wèn)兩次一共進(jìn)了幾種貨？用集合A表示第一次進(jìn)貨的品種，集合B表示第二次進(jìn)貨的品種，則有A={圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水}，B={圓珠筆，鉛筆，火腿腸，方便面}，顯然card(A)=6,card(B)=4,求兩次一共進(jìn)了幾次貨？這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上求,顯然是錯(cuò)誤的，那么應(yīng)該等于幾呢？設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，為后面內(nèi)容做好鋪墊。（3）學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，應(yīng)該等于的是8，因?yàn)榧螦和集合B有兩個(gè)相同的品種，即,那么同學(xué)們能否探究一下之間的關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題的過(guò)程。橡皮筆記本汽水方便面圓珠筆火腿腸鉛筆橡皮筆記本汽水方便面圓珠筆火腿腸鉛筆鋼筆由Venn圖可以得出：例1學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類(lèi)運(yùn)動(dòng)會(huì)。這個(gè)班有12名同學(xué)參賽，兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的有3人。兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班共有多少名同學(xué)參賽？例2.某班學(xué)生參加數(shù)學(xué)課外小組的人數(shù)是參加物理課外小組的人數(shù)的2倍，同時(shí)參加兩個(gè)課外小組的人數(shù)是5人，至少參加一個(gè)課外活動(dòng)小組的人數(shù)為25人.試求參加數(shù)學(xué)小組、物理小組的人數(shù)各是多少？例3.在100個(gè)學(xué)生中，有美術(shù)愛(ài)好者63人，音樂(lè)愛(ài)好者75人（并非每個(gè)學(xué)生都有愛(ài)好），對(duì)美術(shù)和音樂(lè)都愛(ài)好的學(xué)生最多有多少人？最少有多少人？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾個(gè)例題，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)公式的理解和應(yīng)用。（5）三個(gè)集合并集中元素的個(gè)數(shù)例4.某學(xué)校高一年級(jí)共有480名學(xué)生，其中報(bào)名參加學(xué)校文學(xué)社的有100人，參加英語(yǔ)角的有80人，參加數(shù)學(xué)興趣班的有50人，既參加文學(xué)社又參加英語(yǔ)角的有60人，既參加文學(xué)社又參加數(shù)學(xué)興趣班的有30人，既參加英語(yǔ)角又參加數(shù)學(xué)興趣班的有20人，這三項(xiàng)都參加的有10人，問(wèn)，還有多少人上述三項(xiàng)都沒(méi)有參加？設(shè)集合A={參加文學(xué)社的學(xué)生}，集合B={參加英語(yǔ)角的學(xué)生}，集合C={參加數(shù)學(xué)興趣班的學(xué)生}，由題意得：設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生小組合作，共同討論，得出公式：card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）+card（A∩B∩C）（6）猜想四個(gè)集合并集中元素個(gè)數(shù)并推廣到n個(gè)集合的并集中元素的個(gè)數(shù)card（A∪B∪C∪D）=card（A）+card（B）+card（C）+card（D）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）-card（A∩D）+card（A∩B∩C）+card（A∩B∩D）+card（B∩C∩D）-card（A∩B∩C∩D）（7）提出新問(wèn)題：有限集合中元素的個(gè)數(shù)，我們可以一一數(shù)出來(lái)，而對(duì)于元素個(gè)數(shù)無(wú)限的集合，如A={1，2，3，4，?，n，?}，B={2，4，6，8，?，2n，?}，我們無(wú)法數(shù)出集合中的元素個(gè)數(shù)，但可以比較這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)的多少．你能設(shè)計(jì)一個(gè)比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎?（8）針對(duì)上面的問(wèn)題，學(xué)生的疑惑主要有：?jiǎn)栴}1：上述兩集合中元素個(gè)數(shù)是不是相同?問(wèn)題2：集合B是不是集合A的真子集?問(wèn)題3：若B是A的真子集，集合B與集合A中元素個(gè)數(shù)又怎么比較？問(wèn)題4：平時(shí)同學(xué)們一常常說(shuō)：“N是Z的真子集．因?yàn)閆中的元素個(gè)數(shù)比N中的元素個(gè)數(shù)多．”這又怎么解釋呢?設(shè)計(jì)意圖：提出新問(wèn)題，勾起學(xué)生的好奇心，進(jìn)一步探究如何比較兩個(gè)無(wú)限集中元素的多少。（9）要想解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先要了解一個(gè)人，這個(gè)人就是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家康托爾。關(guān)于集合的理論是19世紀(jì)末開(kāi)始形成的。當(dāng)時(shí)德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾試圖回答一些涉及無(wú)窮量的數(shù)學(xué)難題，例如“整數(shù)究竟有多少？”“一個(gè)圓周上有多少點(diǎn)？”0—1之間的數(shù)比1寸長(zhǎng)線(xiàn)段上的點(diǎn)還多嗎？”等等。而“整數(shù)”、“圓周上的點(diǎn)”、“0—1之間的數(shù)”等都是集合，因此對(duì)這些問(wèn)題的研究就產(chǎn)生了集合論。集合論最初的一個(gè)基本課題就是研究元素個(gè)數(shù)有多少的問(wèn)題，稱(chēng)之為集的勢(shì)論．為便于解決上述問(wèn)題，先引進(jìn)一個(gè)概念：設(shè)A，B為兩個(gè)集合，若在這兩個(gè)集合之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：即集合A中的每一個(gè)元素都有集合B中惟一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，集合B中的每一個(gè)元素都有集合A中的惟一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng))，則稱(chēng)A與B是對(duì)等的記作：A～B，也稱(chēng)集合A,B等勢(shì)?？低袪栆蔡岢鲇靡灰粚?duì)應(yīng)準(zhǔn)則來(lái)比較無(wú)窮集元素的個(gè)數(shù)，把元素間能建立一一對(duì)應(yīng)的集合稱(chēng)為個(gè)數(shù)相同，即稱(chēng)為等勢(shì)．這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾．而康托爾認(rèn)為這恰恰是無(wú)窮集的特征．那么由“等勢(shì)”的概念，可以回答問(wèn)題1了。集合={l，2，3，4，?}與集合B={2，4，6，8，?}是可以找到一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的．集合中的每一個(gè)元素都有集合B中惟一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，集合B中的每一個(gè)元素都有集合A中的惟一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，所以?xún)蓚€(gè)集合中的元素個(gè)數(shù)是相同的，即等勢(shì)．而問(wèn)題2，從子集的定義就可知道，集合B是集合A的真子集．問(wèn)題3的答案是：B是A真子集，集合A與集合B元素個(gè)數(shù)相同．問(wèn)題4所提到的：“N是Z的真子集，因?yàn)閆中的元素個(gè)數(shù)比N中的元素個(gè)數(shù)多．”這句話(huà)前半部分是正確的，學(xué)習(xí)了“勢(shì)”概念后，可以知道后半句話(huà)是不確切的．因此，教師也不能用有限集的語(yǔ)言或理論來(lái)描述無(wú)限集這一特性．故集合A和集合B是等勢(shì)的，不存在哪個(gè)集合元素多的問(wèn)題．從上述思考題．觀察到無(wú)限集與其真子集之間是可以等勢(shì)的。但這在有限集合是絕對(duì)不行的．這也是有限集合和無(wú)限集合的根本差別．．設(shè)計(jì)意圖：其實(shí)，要回答無(wú)限集中元素個(gè)數(shù)比較的問(wèn)題，一定程度上超出了《課標(biāo)》的要求．但作為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還是有一定的引導(dǎo)作用．增長(zhǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會(huì)了無(wú)限集的一點(diǎn)奧妙．正如法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯