《偏微分方程》課程教學(xué)大綱

PAGEPAGE1《偏微分方程》課程教學(xué)大綱一、課程基本信息課程代碼：16002102課程名稱：偏微分方程英文名稱：PartialDifferentialEquations課程類別：專業(yè)課學(xué)時：32學(xué)分：2適用對象:數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)考核方式：考查先修課程：數(shù)學(xué)分析、常微分方程、高等代數(shù)二、課程簡介偏微分方程是以建立數(shù)學(xué)模型、進(jìn)行理論分析和解釋客觀現(xiàn)象并進(jìn)而解決實際問題為內(nèi)容的一門數(shù)學(xué)分支學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支。它在微分幾何、物理學(xué)、計算數(shù)學(xué)和計算機(jī)圖形學(xué)、金融數(shù)學(xué)等學(xué)科中都有許多重要應(yīng)用。本課程主要內(nèi)容包括：偏微分方程的基本概念，二階方程的特征理論和分類，分離變量法，雙曲型、拋物型及橢圓型方程的求解方法及基本理論。通過本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生初步認(rèn)識如何從實際問題出發(fā)建立微分方程模型，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決某些實際問題的能力，為日后的學(xué)習(xí)和工作打下堅實的基礎(chǔ)，提供強(qiáng)有力的工具。Partialdifferentialequationisabranchofmathematics

thatestablishesmathematicalmodels,analyzesandinterpretsobjectivephenomenaandthensolvespracticalproblems,isanimportantbranchofmodernmathematics.Italsohasmanyimportantapplicationsindifferentialgeometry,physics,computationalmathematicsandcomputergraphics,financialmathematicsandotherdisciplines.Themaincontentsofthiscourseinclude:thebasicconceptofpartialdifferentialequation,thecharacteristictheoryandclassificationofthesecondorderequations,themethodofseparationofvariables,themethodsofsolvinghyperbolic，parabolicandellipticequationsandthebasictheoryofthem.Throughlearningofthiscoursemakesstudentstoknowhowtoestablishadifferentialequationmodelstartingfromthepracticalproblems,tocultivatestudents'abilitytoanalyzeproblemsandsolvesomepracticalproblems,layasolidfoundationforfuturestudyandworkandprovideapowerfultool.三、課程性質(zhì)與教學(xué)目的課程性質(zhì)：專業(yè)選修教學(xué)目的：偏微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)課程。它的理論和方法，對于其他數(shù)學(xué)學(xué)科、物理、力學(xué)及工程技術(shù)中的某些問題，都有廣泛的應(yīng)用。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生正確理解偏微分方程的基本概念，掌握基本理論和基本方法，并為進(jìn)一步了解和學(xué)習(xí)現(xiàn)代偏微分方程的有關(guān)內(nèi)容提供幫助，同時培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決某些實際問題的能力。四、教學(xué)內(nèi)容及要求第一章方程的導(dǎo)出及定解問題的提法（一）目的與要求1.了解偏微分方程及其解、階、維數(shù)的概念。2.理解線性偏微分方程和非線性偏微分方程的概念。3.了解幾個經(jīng)典的偏微分方程的導(dǎo)出。4.了解偏微分方程定解問題的提法?！贾攸c與難點〗1.本章的重點內(nèi)容：偏微分方程的基本概念，定解問題的提法。2.本章的難點內(nèi)容：幾個經(jīng)典的方程的導(dǎo)出。（二）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)基本概念1.1什么是偏微分方程1.2偏微分方程的解1.3偏微分方程的階1.4線性偏微分方程1.5非線性偏微分方程第二節(jié)幾個經(jīng)典方程2.1弦振動方程2.2膜振動方程2.3熱傳導(dǎo)方程2.4Laplace方程第三節(jié)定解問題3.1定解問題

3.2三類典型的邊界條件

3.3適定性（三）思考與實踐勤學(xué)多練。著重理解偏微分方程的階、線性和非線性的概念。（四）教學(xué)方法與手段課堂講授為主，學(xué)生復(fù)習(xí)、輔導(dǎo)為輔。第二章二階方程的特征理論與分類（一）目的與要求1.了解二階線性方程的特征理論。2.了解二階線性方程的分類。3.掌握雙曲型、拋物型和橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)型?！贾攸c與難點〗1.本章的重點內(nèi)容：辨別方程的類型，常系數(shù)的雙曲型、拋物型和橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)型。2.本章的難點內(nèi)容：化多個自變量的二階方程為標(biāo)準(zhǔn)型。（二）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)二階方程的特征1.1兩個自變量的情形

1.2多個自變量的情形第二節(jié)二階方程的分類2.1兩個自變量的情形

2.2多個自變量的情形（三）思考與實踐勤學(xué)多練。熟練利用判別式將二階線性常系數(shù)化成雙曲型、拋物型和橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)型。（四）教學(xué)方法與手段課堂講授為主，學(xué)生復(fù)習(xí)、輔導(dǎo)為輔。第三章分離變量法（一）目的與要求1.了解Sturm-Liouville問題。2.會用分離變量法求解齊次雙曲型、拋物型和橢圓型偏微分方程的混合問題。3.掌握邊界條件齊次化的方法。4.會用齊次化原理求解非齊次的雙曲型、拋物型和橢圓型偏微分方程的混合問題。〖重點與難點〗1.本章的重點內(nèi)容：齊次雙曲型、拋物型和橢圓型偏微分方程的混合問題與分離變量法。2.本章的難點內(nèi)容：邊界條件齊次化，求解非齊次雙曲型、拋物型和橢圓型偏微分方程的混合問題。（二）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)分離變量法的理論基礎(chǔ)第二節(jié)求解實例1.雙曲型方程的混合問題與分離變量法2.拋物型方程的混合問題與分離變量法3.橢圓型方程的邊值問題與分離變量法（三）思考與實踐勤學(xué)多練。熟練掌握用分離變量法解雙曲型、拋物型和橢圓型偏微分方程的混合問題。（四）教學(xué)方法與手段課堂講授為主，學(xué)生復(fù)習(xí)、輔導(dǎo)為輔。第四章雙曲型方程（一）目的與要求1.了解如何用Duhamel原理求解Cauchy問題。2.了解依賴區(qū)域和影響區(qū)域。3.掌握d'Alembert公式、Poisson公式及降維法并能應(yīng)用它們求解一維和高維波動方程。4.會應(yīng)用能量不等式證明Cauchy問題解的惟一性和穩(wěn)定性?！贾攸c與難點〗1.本章的重點內(nèi)容：Duhamel原理，應(yīng)用d'Alembert公式求解一維波動方程，應(yīng)用Poisson公式及降維法求解高維波動方程，應(yīng)用能量不等式證明Cauchy問題解的惟一性和穩(wěn)定性。2.本章的難點內(nèi)容：高維波動方程的求解以及理解依賴區(qū)域和影響區(qū)域。（二）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)Duhamel原理1.1Cauchy問題1.2混合問題第二節(jié)一維波動方程2.1齊次波動方程的Cauchy問題和特征線法2.2d'Alembert公式的物理意義2.3d'Alembert公式的幾何解釋2.4依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域2.5半直線上齊次波動方程的混合問題2.6非齊次波動方程的Cauchy問題2.7非齊次波動方程的混合問題第三節(jié)高維波動方程3.1三維齊次波動方程的Cauchy問題3.2二維波動方程與降維法3.3依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域3.4波的傳播速度3.5Poisson公式的物理意義3.6非齊次波動方程的Cauchy問題（三）思考與實踐勤學(xué)多練，熟練掌握利用d'Alembert公式求解一維波動方程。（四）教學(xué)方法與手段課堂講授為主，學(xué)生復(fù)習(xí)、輔導(dǎo)為輔。第五章拋物型方程（一）目的與要求1.掌握熱傳導(dǎo)方程的求解方法。2.了解極值原理的證明方法。3.理解極值原理并應(yīng)用其獲得解的最大模估計證明解的惟一性和穩(wěn)定性?！贾攸c與難點〗1.本章的重點內(nèi)容：求解齊次、非齊次熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題和混合問題。2.本章的難點內(nèi)容：應(yīng)用極值原理獲得解的最大模估計來證明解的惟一性和穩(wěn)定性。（二）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)熱傳導(dǎo)方程定解問題的求解1.1齊次方程的Cauchy問題1.2非齊次方程的Cauchy問題1.3半直線上的熱傳導(dǎo)方程的混合問題第二節(jié)極值原理、最大模估計、惟一性和穩(wěn)定性2.1弱極值原理2.2第一邊值問題解的最大模估計、惟一性與穩(wěn)定性2.3Cauchy問題解的最大模估計（三）思考與實踐思考：試舉例說明極值原理為什么對雙曲型方程不成立？（四）教學(xué)方法與手段課堂講授為主，學(xué)生復(fù)習(xí)、輔導(dǎo)為輔。第六章橢圓型方程（一）目的與要求1.掌握調(diào)和函數(shù)的定義和性質(zhì)。2.了解Green函數(shù)的定義和性質(zhì)。3.掌握球和半空間上Green函數(shù)的構(gòu)造，并會求解球和半空間上橢圓型方程的定解問題。4.理解Harnack不等式。5.了解橢圓型方程極值原理的證明方法，并應(yīng)用其正明解的惟一性和穩(wěn)定性。〖重點與難點〗1.本章的重點內(nèi)容：Green函數(shù)的性質(zhì)，球和半空間上Green函數(shù)的構(gòu)造，并會求解球和半空間上橢圓型方程的定解問題。2.本章的難點：橢圓型方程極值原理的證明，并由此證明解的唯一性和穩(wěn)定性。（二）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)調(diào)和函數(shù)1.1Green公式1.2調(diào)和函數(shù)與基本解1.3調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)第二節(jié)Green函數(shù)2.1Green函數(shù)的定義2.2Green函數(shù)的幾個重要性質(zhì)第三節(jié)球與半空間上的Dirichlet問題

3.1球上的Dirichlet問題3.2半空間上的Dirichlet問題3.3Harnack不等式及其應(yīng)用第四節(jié)極值原理、惟一性與穩(wěn)定性

4.1極值原理

4.2第一邊值問題解的惟一性和穩(wěn)定性（三）思考與實踐思考：本章討論了球和半空間上的Dirichlet問題，對于空間區(qū)域怎么構(gòu)造它的Green函數(shù)，從而求得在此區(qū)域上的Dirichlet問題？（四）教學(xué)方法與手段課堂講授為主，學(xué)生復(fù)習(xí)、輔導(dǎo)為輔。五、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)時數(shù)課程內(nèi)容講課習(xí)題課討論課實驗其他教學(xué)環(huán)節(jié)小計第一章2第二章4第三章4第四章8第五章6第六章8合計32六、推薦教材和教學(xué)參考資源1.朱長江，阮立志.偏微分方程簡明教程.北京：高等教育出版社，20152.張振宇，張立柱.偏微分方程.上海：復(fù)旦大