帶通采樣定理證明

-.z.帶通信號的采樣與重建一、帶通采樣定理的理論根底基帶采樣定理只討論了其頻譜分布在〔0，〕的基帶信號的采樣問題。作為接收機(jī)的模數(shù)轉(zhuǎn)換來說：接收信號大多為已調(diào)制的射頻信號。射頻信號相應(yīng)的頻率上限遠(yuǎn)高于基帶信號的頻率上限。這時(shí)如果想采用基帶采樣就需要非常高的采樣速率！這是現(xiàn)實(shí)中的A/D難以實(shí)現(xiàn)的。這時(shí)，低通采樣定理已經(jīng)不能滿足實(shí)際中的使用要求。帶通采樣定理是適用于這樣的帶通信號的采樣理論根底，下面給出定理。帶通采樣定理：設(shè)一個(gè)頻率帶限信號其頻帶限制在，如果其采樣速率滿足式：=〔2-1〕式中,取能滿足的最大整數(shù)〔0，1，2…〕，則用進(jìn)展等間隔采樣所得到的信號采樣值能準(zhǔn)確確實(shí)定原信號。帶通采樣定理使用的前提條件是：只允許在其中一個(gè)頻帶上存在信號，而不允許在不同的頻帶同時(shí)存在信號，否則將會引起信號混疊[1]。如圖2.3所示，為滿足這一條件的一種方案，采用跟蹤濾波器的方法來解決，即在采樣前先進(jìn)展濾波[1]，也就是當(dāng)需要對位于*一個(gè)中心頻率的帶通信號進(jìn)展采樣時(shí)，就先把跟蹤濾波器調(diào)到與之對應(yīng)的中心頻率上，濾出所感興趣的帶通信號，然后再進(jìn)展采樣，以防止信號混疊。這樣的跟蹤濾波器稱之為抗混疊濾波器。圖2.3帶通信號采樣式〔2-1〕用帶通信號的中心頻率和頻帶寬度B也可用式〔2-2〕表示：〔2-2〕式中，，取能滿足〔B為頻帶寬度〕的最大正整數(shù)。當(dāng)頻帶寬帶B一定時(shí)，為了能用最低采樣速率即兩倍頻帶寬度的采樣速率〔〕,帶通信號的中心頻率必須滿足。也即信號的最高或最低頻率是信號的整數(shù)倍。帶通采樣理論的應(yīng)用大大降低了所需的射頻采樣頻率，為后面的實(shí)時(shí)處理奠定了根底。但是從軟件無線電的要求來看，帶通采樣的帶寬應(yīng)是越寬越好，這樣對不同基帶帶寬的信號會有更好的適應(yīng)性，在一樣的工作頻率圍所需要的“盲區(qū)〞采樣頻率數(shù)量減少，有利于簡化系統(tǒng)設(shè)計(jì)。另外，當(dāng)對于一個(gè)頻率很高的射頻信號采樣時(shí)，如果采樣頻率設(shè)的太低，對提高采樣量化的信噪比是不利的。所以在可能的情況下，帶通采樣頻率應(yīng)該盡可能選的高一些，使瞬時(shí)采樣帶寬盡可能寬。但是隨著采樣速率的提高帶來的一個(gè)問題是采樣后的數(shù)據(jù)流速率很高。因此一個(gè)實(shí)際的無線電通信帶寬一般為幾千赫茲到幾百赫茲。實(shí)際對單信號采樣時(shí)采樣率是不高的。所以對這種窄帶信號的采樣數(shù)據(jù)流降速是完全可能的。多速率信號處理技術(shù)為這種降速處理實(shí)現(xiàn)提供了理論依據(jù)。二、帶通采樣過程待采樣信號為中頻是100MHz，帶寬為2MHz的帶通信號：fc0=100e6;//中頻頻率fc1=99e6;//信號一的頻率fc2=101e6;//信號二的頻率fs1=3e6;//欠采樣的采樣頻率fs2=4e6;//臨界采樣采樣頻率fs3=6e6;//大于2倍帶寬的采樣速率f0=250e6//用以模擬連續(xù)信號的離散信號采樣速率〔遠(yuǎn)大于nyquist率〕t=0:1/f0:1e-6;*t0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);待采樣信號的波形和頻譜如下圖：圖1原信號波形及頻譜按照如上的三種采樣頻率對待采樣信號進(jìn)展采樣，得到的三個(gè)信號及其幅度譜如下圖：欠采樣條件下得到的采樣信號：圖2欠采樣信號的波形及幅度譜2)臨界采樣：圖3臨界采樣信號的波形及幅度譜滿足采樣條件的采樣信號圖4正常采樣信號的波形及幅度譜三、信號重建1〕設(shè)計(jì)通帶為99～101MHz的4階巴特沃茲一型IIR濾波器來作為信號恢復(fù)的模擬濾波器，濾波器的設(shè)計(jì)過程及幅頻響應(yīng)特性如下圖：fs=250e6;N=4;figure(6);Wn=[0.7920.808];[b,a]=butter(N,Wn,'bandpass');[h,w]=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h));grid;title('AmplitudeResponse');*label('Frequency(Hz)');ylabel('Amplitude');圖1濾波器的幅度響應(yīng)2〕將三種采樣信號的到的數(shù)據(jù)流通過信號恢復(fù)濾波器，即上述的巴特沃茲一型濾波器，得到的結(jié)果如下：圖2欠采樣恢復(fù)圖3臨界采樣恢復(fù)圖3正常采樣恢復(fù)四、結(jié)果分析從結(jié)果可見：欠采樣信號進(jìn)展恢復(fù)時(shí)，從信號完整角度進(jìn)展觀察便可以發(fā)現(xiàn)信號的不同，缺少了原信號的局部信息。而臨界采樣信號的恢復(fù)，在信號周期上有一定的變化，比原信號的信息有所喪失。正常采樣下的信號可以恢復(fù)出原信號一個(gè)完整周期的頻譜。但由于所選取信號長度的問題，沒能恢復(fù)全部信號，但這已經(jīng)能夠證明帶通采樣定理的正確性，即采樣后的信號沒有喪失原信號的信息。附:%′?í¨2é?ù?¨àíμ??é?¤%%′?í¨?DD??μ?ê?afc=100MHz,D?o??μ?ê?af1=99MHzoíf2=101MHz%%2é?ù?ù?ê·?±e?a3MHz?￠4MHz?￠6MHz%%%%%B=2MHz,àí??é?μ±2é?ù?μ?ê′?μ??t±?′??íê±￡oD?o?μ??μ?×2??á?ìμt?￡%%%%clearall;clc;closeall;fc0=100e6;fc1=99e6;%D?o?1μ??μ?êfc2=101e6;%D?o?2μ??μ?êfs1=3e6;%μíóú?t±?′??íμ?2é?ù?μ?êfs2=4e6;%áù??2é?ù?μ?êfs3=6e6;%′óóú?t±?′???μ?2é?ù?μ?êf0=250e6;%±íê??-D?o?μ?2é?ù?μ?ê￡?±è??2é?ù?μ?ê??ò???êyá???%%%μíí¨2é?ù?¨àíμ?2é?ù×÷?a?-?￡?aD?o?%%%t=0:1/f0:1e-6;N=1e-6*f0;*t0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,*t0);title('′y2é?ùD?o?2¨D?');*label('*');ylabel('*t');yjw0=fft(*t0,N);absy0=abs(yjw0);f=(0:N-1)*f0/N;subplot(2,1,2);plot(f,absy0);title('′y2é?ùD?o??μ?×')*label('êy×??μ?ê');ylabel('·ù?è?×')%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%′?í¨2é?ù?¨àí??μ??·2é?ù2¨D??°?μ?×%%%t=0:1/fs1:5e-5;N=5e-5*fs1;*ts1=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(2);subplot(2,1,1);plot(t,*ts1);title('?·2é?ùD?o?2¨D?');*label('*');ylabel('*t');yjws1=fft(*ts1,N);absys1=abs(yjws1);f=(0:N-1)*fs1/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys1);*label('êy×??μ?ê');ylabel('·ù?è?×')title('?·2é?ùD?o??μ?×')%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%′?í¨2é?ù?¨àí??áù??2é?ùμ?2¨D??°?μ?×%%%t=0:1/fs2:5e-5;N=5e-5*fs2;*ts2=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(3);subplot(2,1,1);plot(t,*ts2);title('áù??2é?ùD?o?2¨D?');*label('*');ylabel('*t');yjws2=fft(*ts2,N);absys2=abs(yjws2);f=(0:N-1)*fs2/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys2);*label('êy×??μ?ê');ylabel('·ù?è?×')title('áù??2é?ùD?o??μ?×');%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%′óóúáù??2é?ù?μ?êμ?′?í¨2é?ùμ?2¨D??°?μ?×%%%t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5*fs3;*ts3=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(4);subplot(2,1,1);plot(t,*ts3);title('′óóúáù??2é?ùD?o?2¨D?');*label('*');ylabel('*t');yjws3=fft(*ts3,N);absys3=abs(yjws3);f=(0:N-1)*fs3/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys3);*label('êy×??μ?ê');ylabel('·ù?è?×')title('′óóúáù??2é?ùD?o??μ?×');%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fs=250e6;N=4;figure(6);Wn=[0.7920.808];[b,a]=butter(N,Wn,'bandpass');[h,w]=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h));grid;title('AmplitudeResponse');*label('Frequency(Hz)');ylabel('Amplitude');%%%?·2é?ùD?o?μ????′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%figure(7);yrets1=filter(b,a,*ts1);plot(yrets1);title('?·2é?ù???′')%%%%%áù??2é?ùD?o?μ????′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%figure(8);yrets2=filt