基本不等式 課件

2.2基本不等式【素養(yǎng)目標(biāo)】1．了解基本不等式的代數(shù)和幾何背景．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解并掌握基本不等式及其變形．(邏輯推理)3．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．(數(shù)學(xué)運算)4．會用基本不等式進行代數(shù)式大小的比較及證明不等式．(邏輯推理)5．會用基本不等式求最值問題和解決簡單的實際問題．(數(shù)學(xué)運算)會標(biāo)2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)思考1：這圖案中含有哪些幾何圖形？思考2：你能發(fā)現(xiàn)圖案中的相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（1）大正方形邊長為___________，

面積S為______________（2）四個直角三角形________，面積和S’為_______________（3）S與S’的大小關(guān)系是_________，故有_______思考3：S與S’可能相等嗎？滿足什么條件時相等？ADCBHFGEABCDE(FGH)aba=b時，S與S’能相等重要不等式：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。替換后得到：即：即：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.定理

基本不等式均值不等式定理

基本不等式均值不等式

一般地，對于任意實數(shù)a,b>0，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.基本不等式：a,b的算術(shù)平均數(shù)a,b的幾何平均數(shù)兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).公式定理基本不等式均值不等式

變形式證明:例

已知a,b,c都是整數(shù)，求證：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立；當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號成立；當(dāng)且僅當(dāng)c=a時，等號成立；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立；即證原不等式成立.定理基本不等式均值不等式基本不等式

基本不等式的幾何解釋ABCDEabO如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關(guān)系怎樣?OD_____CD≥幾何意義：半徑不小于半弦長當(dāng)點C在什么位置時OD=CD？此時a與b的關(guān)系是？基本不等式的前提條件

方法總結(jié)核心素養(yǎng)之

邏輯推理+數(shù)學(xué)建模

問題分析

基本不等式從一側(cè)到另一側(cè)，本質(zhì)上是一種放大或縮??；當(dāng)一側(cè)為定值時，即為另一側(cè)的一最值；當(dāng)然，要滿足取等的條件.

方法總結(jié)核心素養(yǎng)之

邏輯推理+數(shù)學(xué)運算問題分析

不等式證明過程中，可以先局部使用基本不等式放縮，再整體觀察化歸；

也可以先兩邊平方或開方，再用基本不等式.3.某企業(yè)要建造一個容積為18cm3,深為2m的長方體形無蓋貯水池，如果池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，怎樣設(shè)計該水池可使得總造價最低？最低總造價為多少？方法總結(jié)核心素養(yǎng)之

數(shù)學(xué)抽象+數(shù)學(xué)建模

問題分析

目標(biāo)函數(shù)中出現(xiàn)兩個正變量的和，則依據(jù)基本不等式可得其最小值，最后要確認(rèn)取等條件成立.

目標(biāo)檢測只要把式子倒過來，就可以推出原不等式成立．即，即

，即需證

，而

顯然成立，已知a，b∈R，求證

1證明：要證明

，只需證明

，

目標(biāo)檢測（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相應(yīng)的x值．當(dāng)且僅當(dāng)

，即

時，等號成立．所以

的最小值為

，這時

．（1）已知x＞0，求

的最小值及相應(yīng)的x值．2解：（1）∵x＞0，∴

，目標(biāo)檢測由當(dāng)且僅當(dāng)1－x＝x，即

時取等號．（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相應(yīng)的x值．（1）已知x＞0，求

的最小值及相應(yīng)的x值．2解：（2）∵0＜x＜1，∴1－x＞0，

目標(biāo)檢測（1）

；

（2）

．又由于x≠y，所以等號取不到．∴

，∴．已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：3證明：（1）∵x，y都是正數(shù)，

目標(biāo)檢測又由于x≠y，所以等號取不到．∴，∴．兩邊同乘

，得

．（1）

；

（2）

．已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：3證明：（2）∵x，y都是正數(shù)，

目標(biāo)檢測當(dāng)兩條直角邊的長度各為10cm時，兩條直角邊的和最小，最小值為20．則由已知得＝50，即ab＝100，∵

，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝10時取等號．已知直角三角形的面積等于50cm2，當(dāng)兩條直角邊的長度各為多少時，兩條直角邊的和最??？最小值是多少？4解：設(shè)直角三角形兩邊為a，b，1課堂小結(jié)1、利用基本不等式求最值時，要注意2、已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y