2021年高考理數(shù)真題試卷（四川卷）514帶答案解析

2021年高考理數(shù)真題試卷（四川卷）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有

一個是符合題目要求的.

1.設(shè)集合人=僅|-2SX42},Z為整數(shù)集，則ACZ中元素的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【考點】交集及其運算

【解析】【解答】解：.「A={x|-24x42},Z為整數(shù)集，

AnZ={-2,-1,0,1,2},

則AnZ中元素的個數(shù)是5,

故選：C.

【分析】由A與Z,求出兩集合的交集，即可作出判斷.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x+i）6的展開式中含X，的項為（）

A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4

【答案】A

【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：（x+i）6的展開式中含X，的項為吟3=-15x4,

故選:A.

【分析】利用二項展開式的通項公式即可得到答案.；本題考查二項式定理，深刻理解二項展開式的通項

公式是迅速作答的關(guān)鍵，屬于中檔題.

3.為了得到函數(shù)丫=5析（2x-g）的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點（）

A.向左平行移動g個單位長度B.向右平行移動g個單位長度

C.向左平行移動g個單位長度D.向右平行移動?個單位長度

OO

【答案】D

【考點】函數(shù)y=Asin（3X+4））的圖象變換

【解析】【解答】解：把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)丫=5,2(x-)=sin(2x

oo

-T)的圖象，故選：D.

【分析】由條件根據(jù)函數(shù)丫=人$而(3*+巾)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.；本題主要考查函數(shù)y=Asin(3x+巾)

的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

4.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()

A.24B.48C.60D.72

【答案】D

【考點】排列、組合的實際應用

【解析】【解答】解：要組成無重復數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位只能排1,3,5中的一個數(shù)，共有3種排法，

然后還剩4個數(shù)，剩余的4個數(shù)可以在十位到萬位4個位置上全排列，共有A$24種排法.由分步乘法

計數(shù)原理得，由1、2、3、4、5組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有3x24=72個.

故選：D.

【分析】用1、2、3、4、5組成無重復數(shù)字的五位奇數(shù)，可以看作是填5個空，要求個位是奇數(shù)，其它位

置無條件限制，因此先從3個奇數(shù)中任選1個填入，其它4個數(shù)在4個位置上全排列即可.；本題考查了

排列、組合及簡單的計數(shù)問題，此題是有條件限制排列，解答的關(guān)鍵是做到合理的分布，是基礎(chǔ)題.

5.某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基

礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是

()

(參考數(shù)據(jù)：lgl.l2=0.05,lgl.3=0.11,lg2=0.30)

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

【答案】B

【考點】等比數(shù)列的通項公式

【解析】【解答】解：設(shè)第n年開始超過200萬元，

則130x(1+12%)12015〉200,

化為：(n-2015)Igl.l2>lg2-lgl.3,

0.30—0.11c

n-2015>F^=3.8.

取n=2019.

因此開始超過200萬元的年份是2019年.

故選：B.

【分析】設(shè)第n年開始超過200萬元，可得130x(1+12%)。2。15>200,兩邊取對數(shù)即可得出.；本題考

查了等比數(shù)列的通項公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

6.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項

式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項

式值的一個實例，若輸入n,x的值分別為3,2,則輸出v的值為（

A.9B.18C.20D.35

【答案】B

【考點】程序框圖

【解析】【解答】解：初始值n=3,x=2,程序運行過程如下表所示:

V=1

i=2v=lx2+2=4

i=lv=4x2+l=9

i=0v=9x2+0=18

i=-1跳出循環(huán)，輸出v的值為18.

故選：B.

【分析】由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的i,v的值，當i=-l時，不滿足條件泛0,跳

出循環(huán)，輸出v的值為18.；本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環(huán)得到的

i,v的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

y>x-1

7.設(shè)p：實數(shù)x,y滿足（x-1）2+（y-1）2<2,q：實數(shù)x,y滿足｛y21-x,則p是q的（）

y<1

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，簡單線性規(guī)劃的應用

【解析】【解答】解：（X-1）2+（y-1）242表示以（1,1）為圓心，以我為半徑的圓內(nèi)區(qū)域（包括邊

y>x-1\

界）；滿足的可行域如圖有陰影部分所示，

y<l）

故P是q的必要不充分條件,

故選：A

【分析】畫出p,q表示的平面區(qū)域，進而根據(jù)充要條件的定義，可得答案.；本題考查的知識是線性規(guī)

劃的應用，圓的標準方程，充要條件，難度中檔.

8.設(shè)0為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，M是線段PF上的點，且

|PM|=2|MF|,則直線0M的斜率的最大值為（）

A.—B,-C.—D.1

332

【答案】C

【考點】拋物線的簡單性質(zhì)

2

【解析】【解答】解：由題意可得F（號0）,設(shè)P（迎，yo）,

22p

顯然當yo<O,koM<0；當yo>O,koM>0.

要求的最大值，設(shè)yo>O,

2

則和0F+前0F+4FP=0^4<OP-0F)=切衣|oF=迎+與為），可得k°M=

6p33

2二2壁9IZ20.2p=亨

py。Vpy。

當且僅當y°2=2p2,取得等號.

故選：c.

【分析】由題意可得F(W，0),設(shè)P(迎，y。)，要求k°M的最大值，設(shè)y°>0,運用向量的加減運

22p

2

算可得0M=(漢+號也)，再由直線的斜率公式，結(jié)合基本不等式，可得最大值?；

336P33

本題考查拋物線的方程及運用，考查直線的斜率的最大值，注意運用基本不等式和向量的加減運算，考

查運算能力，屬于中檔題.

9.設(shè)直線h,l2分別是函數(shù)f(x)=「7居圖象上點Pl,P2處的切線，Il與I2垂直相交于

Lnx,x>1

點P，且h,L分別與y軸相交于點A,B,則APAB的面積的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+8)D.(1,+8)

【答案】A

【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

【解析】【解答】解：設(shè)Pi(xi,yi),P2(X2,y2)(0<xi<l<X2),當0<x<l時，F(xiàn)(x)=一2,

X

當x>l時，F(xiàn)(x)=1，h的斜率k.=--,12的斜率k2」，

xx1x2

.「Il與I2垂直，且X2>X1>O,

kj^2=---1,即xiX2=l.直線h：y=~—(x-xj-lnXpl2：

x]x2x]

y=—(x-x2)+lnx2.

x2

取x=0分別得到A(0,1-Inxi),B(0,-l+lnx2),

|AB|=|1-Inxi-(-1+lnx?)|=|2-(Inxi+lnxz)|=|2-lnxiX2|=2.

2xiXn112x<Xn

聯(lián)立兩直線方程可得交點P的橫坐標為x二一1，??.SAPAR^|ABH|XP|=~X2X—1二

x1+x2△尸即22x1+x2

2_2、

Xj+X2X+1.???函數(shù)y=x+1在(0,1)上為減函數(shù)，且0<X1V1,「.盯\—〉1+1=2,則

X[X]xx1

APAB的面積的取值范圍是(0,1).

故選：A.

【分析】設(shè)出點P1,P2的坐標，求出原分段函數(shù)的導函數(shù)，得到直線11與L的斜率，由兩直線垂直求

得Pi,P2的橫坐標的乘積為1,再分別寫出兩直線的點斜式方程，求得A,B兩點的縱坐標，得到

|AB|,聯(lián)立兩直線方程求得P的橫坐標，然后代入三角形面積公式，利用基本不等式求得△PAB的面積的

取值范圍.；本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用基本不等式求函數(shù)的最

值，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題.

10.在平面內(nèi)，定點A,B,C,D滿足|市|=\DB\=\DC\,DA?'DB='DB?DC=DC?DA=-

2,動點P,M滿足|萬|=1,兩=祝，貝U|麗『的最大值是()

AC37+60國

A.——43D37+2

4B-7.4.4

【答案】B

【考點】平面向量數(shù)量積的運算

【解析】【解答】解：由|=|5B|=?pc卜可得D為&ABC的外心，又DB-DB*DC=DC,

DA)可得而“DA-DC)=0>DC,(DE-DA)=0>即DB,AC=DC,/°，即有DB-1-AC'DC-1-

AB，可得D為△ABC的垂心，

則D為△ABC的中心，即△ABC為正三角形.

由DA,而=-2,即有I福|?|福|cosl20°=-2,解得I福1=2,△ABC的邊長為4cos30°=2、/9

以A為坐標原點，AD所在直線為x軸建立直角坐標系xOy,

可得B(3,-?),C(3,?),D(2,0),由|薪|=1，可設(shè)P(cos9,sin0),(0<8<2n),

由而=元，可得M為PC的中點，即有M(3+c”正等與)，貝|j|麗代(3-3+c°S9)

2

2+（遙+sin8+局2=（3-cos8）"+（3>/^+sin8）=37-6cos8+6V^sin8_

-27s-44

TT

37+12sin（8一萬），當sin（6-5=1,即。=爸時，取得最大值，且為號.

【分析】由|DA|=|DB|=|DCb可得D為△ABC的外心,又福?徐瓦?許說?五，可得可

得D為△ABC的垂心，則D為△ABC的中心，即△ABC為正三角形.運用向量的數(shù)量積定義可得△ABC的

邊長，以A為坐標原點，AD所在直線為x軸建立直角坐標系xOy,求得B,C的坐標，再設(shè)P(cos。，

sin6),(O<0<2n),由中點坐標公式可得M的坐標，運用兩點的距離公式可得BM的長，運用三角函

數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值.；本題考查向量的定義和性質(zhì)，以及模的

最值的求法，注意運用坐標法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔

題.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

ll.cos2--sin2-=.

88------------------------

【答案】立

2

【考點】二倍角的余弦公式

【解析】【解答】解：cos2--sin2^=cos(2x—)=cos.

88842

故答案為：立

2

【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值，即可得到所求式子

的值.；此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)

鍵.

12.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中

成功次數(shù)X的均值是.

【答案】|

【考點】離散型隨機變量的期望與方差

【解析】【解答】解：..?同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成

功，，這次試驗成功的概率p=l-(5)2=■!，?,?在2次試驗中成功次數(shù)X?B(2,.?.在2次試驗

244

中成功次數(shù)x的均值E(X)=2x3=故答案為：4

【分析】由對立事件概率計算公式求出這次試驗成功的概率，從而得到在2次試驗中成功次數(shù)X?B(2,

3),由此能求出在2次試驗中成功次數(shù)X的均值E(X).；本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，

4

是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用.

13.已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_

【答案】叵

3

【考點】由三視圖求面積、體積

【解析】【解答】解：.??三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形,

結(jié)合給定的三棱錐的正視圖，

可得：三棱錐的底面是底為2M，高為1,

棱錐的高為1,

故棱錐的體積v=(5X2折1)Xl=爽，故答案為：近

【分析】由己知結(jié)合給定的三棱錐的正視圖，可得：三棱錐的底面是底為2V3-高為1，棱錐的高為1，

進而得到答案.；本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的

形狀是解答的關(guān)鍵.

14.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當OVx<l時，f(x)=4乂,則

【答案】-2

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】解：f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，，f(-|)=f(-2-；)=f(-)

=-f(”

xG(0,1)時，f(x)=4X,

f(-：)=-2,

2

「f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，

???f(-1)=f(1),f(-1)=-f(1),

f(1)=0,

??.f(--)+f(1)=-2.

2

故答案為：-2

【分析】根據(jù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)即可得到f(-|)=f(-2-)=f(-)=-f(|),利

用當0<x<l時，f(x)=4*,求出f(-|),再求出f(1),即可求得答案.；考查周期函數(shù)的定

義，奇函數(shù)的定義，學會這種將自變量的值轉(zhuǎn)化到函數(shù)解析式f(x)所在區(qū)間上的方法.

15.在平面直角坐標系中，當P(x,y)不是原點時，定義P的"伴隨點”為P，(擊，岳)；當P是

原點時，定義P的"伴隨點"為它自身，平面曲線C上所有點的"伴隨點”所構(gòu)成的曲線C定義為曲線C的“伴

隨曲線現(xiàn)有下列命題：

①若點A的"伴隨點"是點A\則點A，的"伴隨點”是點A；

②單位圓的"伴隨曲線"是它自身；

③若曲線C關(guān)于x軸對稱，則其"伴隨曲線"C關(guān)于v軸對稱;

④一條直線的“伴隨曲線"是一條直線.

其中的真命題是(寫出所有真命題的序列).

【答案】②③

【考點】命題的真假判斷與應用

y-xy

【解析】【解答】解：①若點A(x,y)的"伴隨點"是點AY一9'F—9)，貝I點A'(二

x+yx+yx+y

X

99)的"伴隨點”是點(-X,-y),故不正確；

x+y

②由①可知，單位圓的“伴隨曲線"是它自身，故正確；

y

③若曲線C關(guān)于x軸對稱，點A(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,-y),"伴隨點"是點A*(-/9,

x+y

A

9n),則其"伴隨曲線"C關(guān)于y軸對稱，故正確；

x"+y

④設(shè)直線方程為y=kx+b(bwO)，點A(x,y)的"伴隨點”是點A，(m,n),則

???點A(x,y)的"伴隨點"是點A'(J二二「.x=-產(chǎn)y=m=

1n

x^+yx4+yykn+mkn+m

??.代入整理可得n^+n2-4n-l=0表示圓，故不正確.

x'+yb

故答案為：②③.

【分析】利用新定義，對4個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論.；此題考查點的坐標規(guī)律，讀懂題目信

息，理解“伴隨點”的定義是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，

擬確定一個合理的月用水量標準x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部

分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：

噸)，將數(shù)據(jù)按照［0,0.5),［0.5,1),…，［4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方

頻率

0.52

圖

6

0.12

0.8

0.4

0.

o511.522.533.544.5月均用水里(噸)

(1)求直方圖中a的值；

(2)設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；

(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由.

【答案】(1)解：:0.5x(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,

a=0.3

(2)解：由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為：0.5x(0.12+0.08+0.04)=0.12,

由30x0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)約為3.6萬

(3)解:由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率為：0.5x(0.08+0.16+0.3+0.4+0,52)=0.73<85%；

月均用水量低于3噸的頻率為：0.5x(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3)=0.88>85%；

則x=2.5+0.5x----73=2.9噸

0.3X0.5

【考點】頻率分布直方圖，用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

【解析】【分析】(1)根據(jù)各組的累積頻率為1,構(gòu)造方程，可得a值；

(2)由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率，進而可估算出月均用水量不低于3噸的人數(shù)；

(3)由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率及月均用水量低于3噸的頻率，進而可得x值.

本題考查的知識點是頻率分布直方圖，用樣本估計總體，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

17.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且――+=――.

abc

(1)證明：sinAsinB=sinC；

(2)若b2+c2-a2=|be,求tanB.

【答案】（1）證明：在AABC中，?.?誓+等=等

cosA,cosBsinC

由正弦定理得:---------1---------=-------

sinAsinBsinC

,cosAsinB+cosBsinA_sin(4+B)

sinAsinBsinAsinB

sin(A+B)=sinC.

整理可得：sinAsinB=sinC

（2）解：b2+c2-a2=|be,由余弦定理可得cosA二|.

.“4cosA3

sinA=-,--=-

5smA4

cosA,cosBsinC.cosB1

sirMsinBsinCsinB4

tanB=4.

【考點】正弦定理，余弦定理，余弦定理的應用

【解析】【分析】（1）將已知等式通分后利用兩角和的正弦函數(shù)公式整理，利用正弦定理，即可證明.

（2）由余弦定理求出A的余弦函數(shù)值，利用（1）的條件，求解B的正切函數(shù)值即可.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式的

應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADIIBC,NADC=NPAB=90。，BC=CD=1AD.E為棱AD的中點，異面直

線PA與CD所成的角為90。.

（1）在平面PAB內(nèi)找一點M,使得直線CMII平面PBE,并說明理由:

（2）若二面角P-CD-A的大小為45。，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

【答案】(1)解：延長AB交直線CD于點M,?.,點E為AD的中點，，AE=ED=9AD,

BC=CD=-AD,ED=BC,

2

ADIIBC,即EDIIBC.四邊形BCDE為平行四邊形,即EBIICD.

ABnCD=M,/.MGCD,z.CMIIBE,

BE評面PBE,CMII平面PBE,

MGAB,ABc?P?PAB,

MW平面PAB,故在平面PAB內(nèi)可以找到一點M(M=ABnCD),使得直線CMII平面PBE

(2)解：如圖所示,

,.1ZADC=ZPAB=90。，異面直線PA與CD所成的角為90°,ABnCD=M,

，APJ■平面ABCD.CD±PD,PA±AD.因此NPDA是二面角P-CD-A的平面角，大小為

45".PA=AD.不妨設(shè)AD=2,則BC=CD=|AD=1./.P(0,0,2),E(0,1,0),C(-1,2,0),

EC=(-1,1,0),~PE=(0,1,-2),AP=(0,0,2),設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,

z),則｛五*竺=。，可得：｛，一之=2.令y=2,則x=2,z=l,n=(2,2,1).

nxEC^O'—x+y=0

設(shè)直線PA與平面PCE所成角為。，則sin0=|cos(Q㈤|=靠調(diào)==|?

【考點】直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角

【解析】【分析】(1)延長AB交直線CD于點M,由點E為AD的中點，可得AE=ED=：AD,由BC=CD=

|AD,可得ED=BC,已知EDIIBC.可得四邊形BCDE為平行四邊形，即EBIICD.利用線面平行的判定定

理證明得直線CMII平面PBE即可.

(2)如圖所示，由NADC=NPAB=90。，異面直線PA與CD所成的角為9(rABnCD=M,可得APJL平面

ABCD.由CDJLPD,PA±AD.因此NPDA是二面角P-CD-A的平面角，大小為45。.PA=AD.不妨設(shè)

AD=2,則BC=CD=|AD=1.可得P(0,0,2),E(0,1,0),C(-1,2,0),利用法向量的性質(zhì)、

向量夾角公式、線面角計算公式即可得出.

本題考查了空間位置關(guān)系、空間角計算公式、法向量的性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

19.已知數(shù)列同｝的首項為1,Sn為數(shù)列同｝的前n項和，Sn+i=qSn+l,其中q>0,n￡N*.

(1)若2a2,a3,a?+2成等差數(shù)列，求an的通項公式；

(2)設(shè)雙曲線x2-事=1的離心率為en,且e2=|,證明：ei+e2+--?+en>9號.

【答案】(1)解：??,Sn+i=qSn+l①，，當*2時,Sn=qSn」+l②,兩式相加你可得am=q?an,

即從第二項開始，數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，公比為q.

當n=l時，.數(shù)列｛aj的首項為1,ai+a2=S2=q?ai+l,a2=q=ai?q,

???數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，公比為q.

V2a2,a3,a?+2成等差數(shù)列，

2q+q+2=2q2,求得q=2,或q=-1.

根據(jù)q>0，故取q=2,，an=2nr,nGN*

(2)證明：設(shè)雙曲線x2-二=1的離心率為en,

...en=姮尹=Jl+an2.

由于數(shù)列｛aj為首項等于1、公比為q的等比數(shù)列，

???e2=-=71+a22=Ji+q2,q=§,

22n2

an=(y-1，；.en=y/1+an=Jl+2n->(^)~=(］尸.

2n-11

/.ei+e2+--?+en>l+|+(^)+...+(^)=;匕=,原不等式得證

3

【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列與解析幾何的綜合

【解析】【分析】(1)由條件利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求得數(shù)列｛an｝為首項等于1、公比為q的等比

數(shù)列，再根據(jù)2a2,a3,az+2成等差數(shù)列求得公比q的值，可得｛a。｝的通項公式.

(2)利用雙曲線的定義和簡單性質(zhì)求得，根據(jù)ez=|="口7，求得q的值，可得｛aj

的解析式，再利用放縮法可得en=J1+>g)n-1,從而證得不等式成立.

本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，用放縮法進行數(shù)列求和，數(shù)曲線的簡單性質(zhì)，屬于難

題.

20.已知橢圓E：[+[=1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線I：

a2b2

y=-X+3與橢圓E有且只有一個公共點T.

(1)求橢圓E的方程及點T的坐標；

(2)設(shè)O是坐標原點，直線I，平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A、B,且與直線I交于點P.證明：

存在常數(shù)入，使得|PT|241PAi?|PB|,并求人的值.

【答案】(1)解：設(shè)短軸一端點為C(0,b),左右焦點分別為Fi(-c,0),F2(c,0),其中c>0,

則c2+b2=a2；

由題意，AFiF2c為直角三角形，

22

\F1F2\=+\F2C\,解得b=c=*a,

，橢圓E的方程為三+\=1；

2a2

代人直線I：y=-x+3,nJW3x2-12x+18-2b2=0,

又直線I與橢圓E只有一個交點，則4=122-4x3(18-2b2)=0,解得b2=3,

橢圓E的方程為蘭+4=1；

63

由b?=3,解得x=2,則y=-x+3=l,所以點1■的坐標為(2,1)

(2)證明：設(shè)P(xo,3-xo)在I上，由k0T=\,I'平行OT,

得I'的參數(shù)方程為｛、,“U，

y=3—%o+f

2

代人橢圓E中，得(x()+2t)2+2(3-x0+0=6，

22

整理得2t+4t+x0-4xo+4=O；

設(shè)兩根為tA,tB,則有tA?tB=魚包；

2

而IPTI2=_2+2t)2+(3—%o+《)2?=2(%o—2)2,

|PA|=+2以)-％o[2+[(3-％o+以)一(3—&)[2=|V5tA|,

|PB|=J[(%o+25)一&]2+[(3-+J)—(3—%o)[2=|V5te|,

且|PT/二入|PA|?|PB|,

?1-IP"_2(&-2產(chǎn)_4

2

??一\PA\X\PB\-1(X0-2)?5，

即存在滿足題意的入值.

【考點