圓面積公式的推導(dǎo)分析

Word第第頁圓面積公式的推導(dǎo)分析〔第一種教法〕

〔１〕復(fù)習(xí)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式。

〔２〕讓同學(xué)自學(xué)課本中推導(dǎo)圓面積計(jì)算公式的過程。

〔３〕老師邊用教具演示，邊要求同學(xué)回答：

①拼成的圖形近似于什么圖形？想一想，假如等分的份數(shù)越多，拼成的圖形會(huì)怎么樣？

②拼成的圖形與原來圓的面積相等嗎？

③這個(gè)近似長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓的什么？它的寬相當(dāng)于圓的什么？

〔４〕老師要求同學(xué)說出由長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，推導(dǎo)出圓面積計(jì)算公式的方法〔可按課本說〕。

〔５〕揭示圓的面積公式。

〔評(píng)：這種教法，看起來是引導(dǎo)同學(xué)自學(xué)，并結(jié)合演示讓同學(xué)回答下列問題，好像同學(xué)學(xué)得較主動(dòng)，事實(shí)上同學(xué)未有實(shí)踐、思索的過程，只是“依樣畫葫蘆”，對(duì)其中的道理不能弄懂、弄通，這屬于機(jī)械的學(xué)習(xí)?！?/p>

〔其次種教法〕

１、導(dǎo)入新課。

老師讓同學(xué)回憶一下，以前學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算時(shí)，是用什么方法推導(dǎo)它們的計(jì)算公式的?！灿酶?、拼法拼成長(zhǎng)方形或平行四邊形進(jìn)行計(jì)算，老師出示割、拼教具分別作簡(jiǎn)潔的演示。〕接著，出示一張圓形硬紙片，問：“怎樣計(jì)算它的面積呢？”〔揭示課題〕老師指出：我們?nèi)钥捎靡郧皩W(xué)過的割、拼法，把圓轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的圖形，運(yùn)用此圖形的面積計(jì)算方法，推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算方法。

２、實(shí)際操作。

要求同學(xué)拿出圓面積的割拼圖形學(xué)具，在老師的指導(dǎo)下，邊操作，邊回答以下問題：

①把一個(gè)圓平分成兩半，每一個(gè)半圓形的哪一部分長(zhǎng)度相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的１／２？再把每一個(gè)半圓形平均分成８等份〔如課本的切割圖〕，那么哪一段的長(zhǎng)度相當(dāng)于圓的半徑？

②想一想：能不能把這些等分出的圖形，拼成近似于我們以前學(xué)過的圖形？怎樣拼？〔要求同學(xué)動(dòng)手實(shí)踐，并指名演示拼出的幾種不同的圖形。如：長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形等?！?/p>

③所拼出的圖形面積與原來圓面積相等嗎？

３．推導(dǎo)公式。

先以拼出的'近似長(zhǎng)方形的圖形為例，老師引導(dǎo)同學(xué)弄清，若平分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長(zhǎng)方形。進(jìn)而，老師要求同學(xué)據(jù)圖回答：割拼后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓的哪一部分的長(zhǎng)度？寬相當(dāng)于圓的哪一部分的長(zhǎng)度？從而

由長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬

↓↓

得圓的面積＝πｒ×ｒ＝πｒ［２］。

然后，出示拼出的近似的平行四邊形或梯形，再次推導(dǎo)看能否得出上面的圓面積公式〔略〕。這樣就得到了證明，使同學(xué)確信無疑。

〔評(píng)：這種教法比第一種教法有很大的改良，老師首先通過復(fù)習(xí)舊知，提出解決問題的方法，把新舊學(xué)問有機(jī)結(jié)合起來，明確了本課中心內(nèi)容，然后讓同學(xué)親自操作割拼成幾種已學(xué)過的圖形，引導(dǎo)同學(xué)觀看、思索、比較、推導(dǎo)，其間不囿于課本中的推導(dǎo)方法，讓同學(xué)思維得以發(fā)散，從而強(qiáng)化了轉(zhuǎn)化思想，多渠道地推得圓面積計(jì)算公式。同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中，始終處于主動(dòng)主動(dòng)的狀態(tài)，這種學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，不僅使他們“學(xué)會(huì)”，而且使他們“會(huì)學(xué)”，且有助于進(jìn)展同學(xué)的智能?！?/p>

〔第三種教法〕

１、引入新課。

老師開導(dǎo)：圓在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐及科學(xué)試驗(yàn)中，有著廣泛的應(yīng)用。上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的周長(zhǎng)計(jì)算，但仍不夠，還要學(xué)會(huì)計(jì)算圓的面積。如計(jì)算一個(gè)雷達(dá)圓形屏幕的面積，一個(gè)圓形花圃的面積等。怎樣才能算出它的面積呢？〔揭示、板書課題〕。

２、創(chuàng)設(shè)情境。

老師用幾張相等的圓紙片，運(yùn)用折紙、剪紙的方法，分別折剪成正四邊形、正八邊形、正十六邊形，然后再分別與原來的圖紙片疊在一起，見下列圖：

〔附圖{圖}〕

折四等份剪成折八等份剪成折十六等份剪成

正四邊形正八邊形正十六邊形

引導(dǎo)同學(xué)觀看、對(duì)比三個(gè)內(nèi)接正多邊形與圓的面積差〔陰影部分〕誰大誰小，并啟發(fā)同學(xué)歸結(jié)出：折成的等份數(shù)越多，剪成的正多邊形邊數(shù)越多，它就越接近圓。其中正多邊形的每等份〔三角形〕就越接近圓的每等份。

３、推導(dǎo)公式。

師：同學(xué)們?nèi)缃褚?jì)算圓的面積，選用哪種正多邊形為好？為什么？

生［，１］：選正十六邊形為好，由于它較接近圓。

生［，２］：選邊數(shù)越多的正多邊形更好，由于它更接近圓。

師：回答得很好，依據(jù)現(xiàn)有的右圖，怎樣計(jì)算圓的面積呢？請(qǐng)大家思索以下問題：

〔１〕圓的面積相當(dāng)于多少個(gè)三角形面積之和？

〔２〕這些三角形的底邊之和相當(dāng)于圓的什么？

〔３〕每個(gè)三角形的高相當(dāng)于圓的什么？

同學(xué)邊回答，老師邊板書：

正十六邊形的面積＝Ｓ［，三角形］×１６

↓

＝底邊×高÷２×１６

＝底邊×１６×高÷２

↓↓

圓的面積＝２πｒ×ｒ÷２

＝πｒ［２］

最終讓同學(xué)自學(xué)課本中的推導(dǎo)方法，質(zhì)疑解難。進(jìn)而老師小結(jié)：推導(dǎo)圓的面積公式與以前推導(dǎo)有關(guān)圖形面積公式一樣，把圓轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的圖形進(jìn)行計(jì)算，同學(xué)們課后如有愛好，還可將圓割拼為平行四邊形、梯形，看是否仍能推出Ｓ［，圓］＝πｒ［２］。

〔評(píng)：這種教法具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

１、導(dǎo)入新課開門見山，使同學(xué)感到學(xué)習(xí)圓的面積是實(shí)際中的需要，從而激發(fā)了同學(xué)的求知欲望。

２、在推導(dǎo)圓面積公式前，老師創(chuàng)設(shè)情境，讓同學(xué)領(lǐng)悟隱含于直觀演示中的初步“極限”思想，有助于進(jìn)展同學(xué)空間想象力和空間觀念，從而為推導(dǎo)公式作好鋪墊。這是前兩種教法所不及的。

３、運(yùn)用“整體－部分－整體”，分割求和的方法推導(dǎo)圓面積公式，新奇獨(dú)特，同學(xué)易于接受，又以課本中的方法及其他方法作驗(yàn)證，使同學(xué)加深理解，記憶堅(jiān)固。

４、小結(jié)中能促使新知與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)觀念建立起聯(lián)系，同學(xué)的學(xué)習(xí)是“有意義”的學(xué)習(xí)。

總評(píng)：教學(xué)圓面積公式的推導(dǎo)，要充分運(yùn)用直觀手段，引發(fā)同學(xué)