第二章直線(xiàn)與圓的方程（知識(shí)歸納題型突破）（原卷版）

第二章直線(xiàn)與圓的方程（知識(shí)歸納+題型突破）1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線(xiàn)位置的幾何要素;2.理解直線(xiàn)傾斜角和斜率的概念,經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線(xiàn)斜率的過(guò)程,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式;3.能根據(jù)斜率判定兩條直線(xiàn)平行和垂直;4.根據(jù)確定直線(xiàn)位置的幾何要素,探索并掌握直線(xiàn)方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式);5.能用解方程組的方法求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo);6.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離；7.在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；8.判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系；9.用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.一、直線(xiàn)的傾斜角與斜率1．直線(xiàn)的傾斜角(1)傾斜角的定義①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)l向上的方向之間所成的角α叫做直線(xiàn)l的傾斜角．②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)直線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.2．直線(xiàn)的斜率(1)直線(xiàn)的斜率把一條直線(xiàn)的傾斜角α的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<0(3)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線(xiàn)的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【注】(1)傾斜角和斜率都可以表示直線(xiàn)的傾斜程度，二者相互聯(lián)系．(2)涉及直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)問(wèn)題，常根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，利用斜率公式求解．二、兩條直線(xiàn)平行和垂直的判定1．兩條直線(xiàn)(不重合)平行的判定類(lèi)型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線(xiàn)的斜率都不存在圖示2．兩條直線(xiàn)垂直的判定圖示對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線(xiàn)的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2【注】判斷兩條直線(xiàn)是否垂直時(shí)：在這兩條直線(xiàn)都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應(yīng)注意有一條直線(xiàn)與x軸垂直，另一條直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí)，這兩條直線(xiàn)也垂直．三、直線(xiàn)的方程1．直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程(1)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程的定義：

設(shè)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，斜率為k，則方程叫作直線(xiàn)l的點(diǎn)斜式方程.

(2)點(diǎn)斜式方程的使用方法：

①已知直線(xiàn)的斜率并且經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以直接使用該公式求直線(xiàn)方程.②當(dāng)已知直線(xiàn)的傾斜角時(shí)，若直線(xiàn)的傾斜角，則直線(xiàn)的斜率不存在，其方程不能用點(diǎn)斜式表示，但因?yàn)閘上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以直線(xiàn)方程為x=x1；若直線(xiàn)的傾斜角，則直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的方程為.2．直線(xiàn)的斜截式方程(1)直線(xiàn)的斜截式方程的定義：

設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線(xiàn)方程為y=kx+b，這個(gè)方程叫作直線(xiàn)l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直線(xiàn)的斜率以及直線(xiàn)在y軸上的截距時(shí)，可以直接使用該公式求直線(xiàn)方程.3．直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程(1)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程的定義：設(shè)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)()，則方程叫作直線(xiàn)l的兩點(diǎn)式方程.

(2)兩點(diǎn)式方程的使用方法：

①已知直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，且時(shí)，可以直接使用該公式求直線(xiàn)方程.

②當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為(或).

③當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為(或).4．直線(xiàn)的截距式方程(1)直線(xiàn)的截距式方程的定義：設(shè)直線(xiàn)l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線(xiàn)l的截距式方程.

(2)直線(xiàn)的截距式方程的適用范圍：

選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線(xiàn)l在兩條坐標(biāo)軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，也不能表示與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線(xiàn).

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直線(xiàn)在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時(shí)，可以直接使用該公式求直線(xiàn)方程.

②已知直線(xiàn)在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx，利用直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)求解k，得到直線(xiàn)方程.5．直線(xiàn)的一般式方程(1)直線(xiàn)的一般式方程的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線(xiàn).我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時(shí)為0)叫作直線(xiàn)的一般式方程.

對(duì)于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)：當(dāng)B≠0時(shí)，方程Ax+By+C=0可以寫(xiě)成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線(xiàn).特別地，當(dāng)A=0時(shí)，它表示垂直于y軸的直線(xiàn).

當(dāng)B=0時(shí)，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫(xiě)成x=，它表示垂直于x軸的直線(xiàn).

(2)一般式方程的使用方法：

直線(xiàn)的一般式方程是直線(xiàn)方程中最為一般的表達(dá)式，它適用于任何一條直線(xiàn).6．辨析直線(xiàn)方程的五種形式方程形式直線(xiàn)方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式不能表示與x軸垂直的直線(xiàn)①已知斜率；②已知

一點(diǎn)斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示與x軸垂直的直線(xiàn)①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點(diǎn)式不能表示與x軸、

y軸垂直的直線(xiàn)①已知兩個(gè)定點(diǎn)；②已知兩個(gè)截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)①已知兩個(gè)截距；②已知直線(xiàn)與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0

(A,B不全為0)表示所有的直線(xiàn)求直線(xiàn)方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程7．方向向量與直線(xiàn)的參數(shù)方程除了直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線(xiàn)方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線(xiàn)的方向向量唯一確定，與直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.如圖1，設(shè)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，=(m,n)是它的一個(gè)方向向量，P(x,y)是直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)，則向量與共線(xiàn).根據(jù)向量共線(xiàn)的充要條件，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，實(shí)數(shù)t是對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù).

由上可知，對(duì)于直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)P(x,y)，存在唯一實(shí)數(shù)t使①成立；反之，對(duì)于參數(shù)t的每一個(gè)確定的值，由①可以確定直線(xiàn)l上的一個(gè)點(diǎn)P(x,y).我們把①稱(chēng)為直線(xiàn)的參數(shù)方程.四、求直線(xiàn)方程的方法1．求直線(xiàn)方程的一般方法(1)直接法

直線(xiàn)方程形式的選擇方法：

①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；

②已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；

③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；

④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.(2)待定系數(shù)法

先設(shè)出直線(xiàn)的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線(xiàn)方程.

利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線(xiàn)方程.

若已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則可以利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況).2．兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當(dāng)時(shí)，記為）垂直k1·k2=1（當(dāng)時(shí)，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當(dāng)時(shí)，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當(dāng)時(shí)，記為）五、直線(xiàn)的交點(diǎn)與距離1．兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)

一般地，將兩條直線(xiàn)的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線(xiàn)相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行；若方程組有無(wú)窮多解，則兩條直線(xiàn)重合.(2)兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線(xiàn),直線(xiàn).方程組的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解直線(xiàn)l1和l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)直線(xiàn)l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行1．兩點(diǎn)間的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.

特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=.2．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式(1)定義：點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離，就是從點(diǎn)P到直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是直線(xiàn)上的點(diǎn)與直線(xiàn)外該點(diǎn)的連線(xiàn)的最短距離.

(2)公式：

已知一個(gè)定點(diǎn)，一條直線(xiàn)為l:Ax+By+C=0，則定點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為d=.3．兩條平行直線(xiàn)間的距離公式(1)定義

兩條平行直線(xiàn)間的距離是指夾在兩條平行直線(xiàn)間的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng).

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線(xiàn)，，則它們之間的距離為d=.4．中點(diǎn)坐標(biāo)公式公式：

設(shè)平面上兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則.六、圓的方程1．圓的定義圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑).圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程(r>0)叫作以點(diǎn)(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．圓的一般方程(1)方程叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線(xiàn)，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線(xiàn)方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).4．二元二次方程與圓的方程(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程，對(duì)比圓的一般方程，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.(2)二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是5．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為.平面內(nèi)一點(diǎn).位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)點(diǎn)在圓上|MA|=r(x0a)2+(y0b)2=r2點(diǎn)在圓內(nèi)|MA|<r(x0a)2+(y0b)2<r2點(diǎn)在圓外|MA|>r(x0a)2+(y0b)2>r2七、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系1．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：位置相交相切相離交點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)圖形d與r的關(guān)系d<rd=rd>r方程組

解的情況有兩組不

同的解僅有一組解無(wú)解(2)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即>0，則直線(xiàn)與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即=0，則直線(xiàn)與圓相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即<0，則直線(xiàn)與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線(xiàn)的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷，當(dāng)d<r時(shí)，直線(xiàn)與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線(xiàn)與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線(xiàn)與圓相離.2．圓的切線(xiàn)及切線(xiàn)方程(1)自一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)的條數(shù)：

①若點(diǎn)在圓外，則過(guò)此點(diǎn)可以作圓的兩條切線(xiàn)；

②若點(diǎn)在圓上，則過(guò)此點(diǎn)只能作圓的一條切線(xiàn)，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；

③若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過(guò)此點(diǎn)不能作圓的切線(xiàn).

(2)求過(guò)圓上的一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程：

①求法：先求切點(diǎn)與圓心連線(xiàn)的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線(xiàn)斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求得切線(xiàn)方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線(xiàn)方程.②重要結(jié)論：a.經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為.

b.經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為.

c.經(jīng)過(guò)圓+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為.3．圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長(zhǎng)的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線(xiàn)的距離d、弦長(zhǎng)l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線(xiàn)方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A,B.

①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.

②若交點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)法簡(jiǎn)單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長(zhǎng)公式.九、圓與圓的位置關(guān)系1．圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱(chēng)為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱(chēng)為相切.(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關(guān)系表示如下：位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線(xiàn)條數(shù)外離d>r1+r2四條外切d=r1+r2三條相交|r1r2|<d<r1+r2兩條內(nèi)切d=|r1r2|一條內(nèi)含0≤d<|r1r2|無(wú)②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)即可作出判斷.

當(dāng)>0時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)=0時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)<0時(shí)，兩圓無(wú)公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.2．兩圓的公切線(xiàn)(1)兩圓公切線(xiàn)的定義

兩圓的公切線(xiàn)是指與兩圓相切的直線(xiàn)，可分為外公切線(xiàn)和內(nèi)公切線(xiàn).

(2)兩圓的公切線(xiàn)位置的5種情況①外離時(shí)，有4條公切線(xiàn)，分別是2條外公切線(xiàn)，2條內(nèi)公切線(xiàn)；

②外切時(shí)，有3條公切線(xiàn)，分別是2條外公切線(xiàn)，1條內(nèi)公切線(xiàn)；

③相交時(shí)，有2條公切線(xiàn)，都是外公切線(xiàn)；

④內(nèi)切時(shí)，有1條公切線(xiàn)；

⑤內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線(xiàn).

判斷兩圓公切線(xiàn)的條數(shù),實(shí)質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系。

(3)求兩圓公切線(xiàn)方程的方法

求兩圓的公切線(xiàn)方程時(shí)，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線(xiàn)的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線(xiàn)的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線(xiàn)的斜率可能不存在.3．兩圓的公共弦問(wèn)題(1)求兩圓公共弦所在的直線(xiàn)的方程的常用方法兩圓相交時(shí)，有一條公共弦，如圖所示.設(shè)圓:，①

圓:，②

①②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線(xiàn)的方程.若為圓與圓的交點(diǎn)，則點(diǎn)滿(mǎn)足且，所以.即點(diǎn)適合直線(xiàn)方程，故在③所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)上，③表示過(guò)兩圓與交點(diǎn)的直線(xiàn)，即公共弦所在的直線(xiàn)的方程.(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求公共弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線(xiàn)的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長(zhǎng).題型一直線(xiàn)的傾斜角與斜率【例1】若直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)位于第一象限，則直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．反思總結(jié)(1)對(duì)于一條與α軸相交的直線(xiàn),以α軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)l向上的方向之間所成的角α,即為直線(xiàn)l的傾斜角,也就是說(shuō)把α軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線(xiàn)重合時(shí),所轉(zhuǎn)的最小正角記為α,那么α就稱(chēng)為直線(xiàn)的傾斜角.(2)規(guī)定:當(dāng)直線(xiàn)l與α軸平行或重合時(shí),它的傾斜角為0.(3)范圍:直線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍是[0,π).(4)斜率公式:經(jīng)過(guò)P(x1，y1),P(x2,y2)(x1≠x2)>兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).(5)任何一條直線(xiàn)都有傾斜角,但并非所有直線(xiàn)都有斜率,傾斜角為eq\f(π,2)的直線(xiàn)斜率不存在.鞏固訓(xùn)練：1.已知直線(xiàn)，若，則a＝（

）A．0 B．C．1 D．±12.已知直線(xiàn)，，若；，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.已知直線(xiàn)，則（

）A．若，則的一個(gè)方向向量為 B．若，則或C．若，則 D．若不經(jīng)過(guò)第二象限，則4.已知直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)，直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)若l1∥l2，求的值；(2)若l1⊥l2，求的值.題型二直線(xiàn)的方程【例2】過(guò)點(diǎn)作一條直線(xiàn)，它夾在兩條直線(xiàn)：和：之間的線(xiàn)段恰被點(diǎn)平分，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．反思總結(jié)求直線(xiàn)方程是解析幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能。求直線(xiàn)的方程,一般采用待定系數(shù)法,將直線(xiàn)方程設(shè)成點(diǎn)斜式或斜截式。或者根據(jù)題目條件的特點(diǎn)，使用其他直線(xiàn)方程的基本形式。直線(xiàn)方程綜合問(wèn)題的兩大類(lèi)型及解法(1)與函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題：一般是利用直線(xiàn)方程中x，y的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決．(2)與方程、不等式相結(jié)合的問(wèn)題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．鞏固訓(xùn)練1.求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)方程．(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率等于直線(xiàn)斜率的3倍；(2)過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為12．2.已知直線(xiàn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，__________．在①直線(xiàn)的斜率是直線(xiàn)的斜率的2倍，②直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)中，并解答下列問(wèn)題．(1)求的一般式方程；(2)若與在軸上的截距相等，求的值．3.已知直線(xiàn)．求證：無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn)M．4.設(shè)直線(xiàn)l的方程為(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線(xiàn)的方程.(2)若直線(xiàn)l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線(xiàn)l的方程.題型三直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式[例3]已知?jiǎng)又本€(xiàn)：和：，是兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，、是兩直線(xiàn)和分別過(guò)的定點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C．的最大值為10 D．的軌跡方程為反思總結(jié)(1)求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線(xiàn)方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)方程，先解方程組求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線(xiàn)方程．也可借助直線(xiàn)系方程，利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)方程.利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線(xiàn)y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線(xiàn)間的距離公式要把兩條直線(xiàn)方程中x，y的系數(shù)化為相等．鞏固訓(xùn)練1．若動(dòng)點(diǎn)分別在直線(xiàn)和上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．42．直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．33.已知直線(xiàn)：，.(1)證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線(xiàn)的方程；(3)若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍.4.已知三條直線(xiàn)；，，：，且原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是．(1)求a的值；(2)若，能否找到一點(diǎn)，使同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)在第一象限；②點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍；③點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是，若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．5.若三條直線(xiàn)相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為．

.題型四直線(xiàn)綜合[例4]如圖，射線(xiàn)，所在直線(xiàn)的方向向量分別為，，點(diǎn)在內(nèi)，于，于.（1）若，，求的值；（2）若，的面積是，求的值；（3）已知為常數(shù)，，的中點(diǎn)為，且，當(dāng)變化時(shí)，求的取值范圍.反思總結(jié)定點(diǎn)問(wèn)題：(一)將直線(xiàn)方程化為點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x—x0)，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(x0,y0)(二）含參直線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化為等式恒成立問(wèn)題直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)說(shuō)明與參數(shù)的取值無(wú)關(guān)，求定點(diǎn)只需把方程整理成關(guān)于參數(shù)的式子,令參數(shù)的系數(shù)為零。(三）從特殊到一般從直線(xiàn)系的角度看方程,交點(diǎn)即為定點(diǎn).所以要求定點(diǎn)、定值,可以先根據(jù)特殊位置找到這個(gè)定點(diǎn)(定值),明確了解決問(wèn)題的目標(biāo)﹐然后進(jìn)行一般情況下的推理證明.鞏固訓(xùn)練1.已知的頂點(diǎn)，，，設(shè)的外心（三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)）到直線(xiàn)的距離為，垂心（三邊高的交點(diǎn)）到頂點(diǎn)的距離為，則.2．已知不同的兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則ab＝.題型五圓的方程[例5]方程表示的曲線(xiàn)是以為圓心，為半徑的圓，則的值分別為（

）A． B．C． D．反思總結(jié)求解圓的方程常用思路:一是結(jié)合平面圖形的有關(guān)特點(diǎn),先求圓心坐標(biāo)和半徑,再利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出圓的方程﹔二是充分利用待定系數(shù)法﹐先設(shè)圓的方程為一般式(或標(biāo)準(zhǔn)式),再結(jié)合題設(shè)求得參數(shù)D，E,F(或a,b,r)的值,這樣就可以寫(xiě)出圓的方程.鞏固訓(xùn)練1.圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．2.若圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3.已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是，，則該圓的方程為．4.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱(chēng)為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿(mǎn)足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為．①軌跡的方程為.②在軸上存在異于的兩點(diǎn)，使得.③當(dāng)三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，射線(xiàn)是的角平分線(xiàn).④在上存在點(diǎn)，使得.以上說(shuō)法正確的序號(hào)是．5.點(diǎn)在動(dòng)直線(xiàn)上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，那么的最小值為.題型六直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系[例6]若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．反思總結(jié)弦長(zhǎng)問(wèn)題：但凡涉及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系時(shí),都會(huì)遇到弦長(zhǎng)問(wèn)題,但高考中單純的以求弦長(zhǎng)為目標(biāo)的問(wèn)題較少。小題中大多是已知弦長(zhǎng)求參數(shù)的值(范圍)這一類(lèi)的逆向思維問(wèn)題,大題中往往是將弦長(zhǎng)作為條件的綜合問(wèn)題,因此,弦長(zhǎng)問(wèn)題舉足輕重。解決直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題的核心:在由弦心距(即圓心到直線(xiàn)的距離)弦長(zhǎng)的一半及半徑所構(gòu)成的直角三角形中運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。最值與范圍問(wèn)題：最值問(wèn)題是范圍問(wèn)題的特例,因此,研究的方法、手段基本相同。在處理直線(xiàn)與圓的方程的最值與范圍問(wèn)題時(shí),主要有以下兩種途徑:一是利用圓的幾何性質(zhì)直接判斷,如過(guò)圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)的最值與范圍問(wèn)題,就可以結(jié)合圖形利用弦長(zhǎng)與弦心距之間的關(guān)系進(jìn)行判斷;二是構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的解析式,然后利用函數(shù)或基本不等式研究最值與范圍。另外,在特定的情境中,利用“三角形兩邊之差小于第三邊”來(lái)研究最