模型-隱形圓問題9大策略配套詳解全梳理-6.14

隱形圓問題第一講“形”現(xiàn)“圓”形問題如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，點(diǎn)P為等腰直角三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA⊥PB，則PC的取值范圍是__________．分析本題因?yàn)辄c(diǎn)P滿足PA⊥PB即∠APB＝90°，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可知點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓，要求PC的取值范圍，利用PC與圓心O三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，即可解決．可以發(fā)現(xiàn)，這里隱藏著一個(gè)圓，像這樣的問題，我們稱為“隱形圓”問題，本題利用初中的平面幾何的知識(shí)即可解決．變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的方程為y＝kx，直線l2的方程為x+ky-2k=0，若l1與l2的交點(diǎn)為P，定點(diǎn)，則PC的取值范圍是__________．分析可以發(fā)現(xiàn)直線l1與l2是互相垂直的，直線l1經(jīng)過原點(diǎn)O（B），直線l2經(jīng)過定點(diǎn)，P的軌跡是以AB為直徑的圓（不含A點(diǎn)），于是本題就轉(zhuǎn)換為上述問題，其平面幾何背景即為上述問題．變式2（2017年南京二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky－2＝0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線x－y－4＝0的距離的最大值為__________．分析直線l1過定點(diǎn)，直線l2過定點(diǎn)，AB＝，P的軌跡是以AB為直徑的圓（不含原點(diǎn)），其圓心為C(1，1)，到直線的距離為，點(diǎn)P到直線x－y－4＝0的距離的最大值為＝．圓是高中數(shù)學(xué)中一種簡(jiǎn)單但又非常重要的曲線，近幾年高考題和高考模擬題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一類有關(guān)圓的題目，這類題目在條件中沒有直接給出有關(guān)圓方面的信息，而是以隱性的形式出現(xiàn)，但我們通過分析和轉(zhuǎn)化，最終都可以利用圓的知識(shí)求解．這類題目構(gòu)思巧妙，綜合性強(qiáng),，充分考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學(xué)思想方法，處理這類題目關(guān)鍵在于能否把"隱形圓"找出來．圓作為幾何圖形，找“隱形圓”的一個(gè)角度可以從“形”的角度來發(fā)現(xiàn)．策略一由圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡）確定隱形圓例1（1）若圓(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)距離為1，實(shí)數(shù)a范圍是________．【解】到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，轉(zhuǎn)化到此單位圓與已知圓相交，從而有，解得．（2）（2016年南京二模）已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得∠APB＝60°，則a范圍為_________．【解】由題意得，所以P在以O(shè)為圓心2為半徑的圓上，即此圓與圓M有公共點(diǎn)，因此有．（3）（2017年蘇北四市一模）已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則范圍是_____．【解】取AB的中點(diǎn)M，由，則C1M=，所以M在以C1圓心，半徑為的圓上，且，轉(zhuǎn)化為兩圓上動(dòng)點(diǎn)距離最值，PMmin＝C1C2－1－＝5－1－＝，PMmax＝C1C2＋1＋＝5＋1＋＝，所以的取值范圍是．（4）若對(duì)任意R，直線l：xcos＋ysin＝2sin(＋)＋4與圓C：(x－m)2＋(y－m)2＝1均無公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．【解】直線l的方程為：(x-1)cos＋(y-)sin＝4，M(1,)到l距離為4，所以l是以M為圓心半徑為4的定圓的切線系，轉(zhuǎn)化為圓C內(nèi)含于圓M，所以MC＜3因?yàn)镸(m,m)，C(1,)，所以得到，解得．注：直線l：(x-x0)cos＋(y-y0)sin＝R為圓M：的切線系．（5）（2016年南通三模）在平面直角坐標(biāo)系中，圓，圓，若圓上存在點(diǎn)滿足：過點(diǎn)向圓作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，的面積為1，則正數(shù)的取值范圍是_________．【解】設(shè)P(x，y)，PA，PB的夾角為．△ABP的面積S=．由，解得，所以，所以點(diǎn)P在圓上．所以，解得．策略二由動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)A、B張角是（，或0）確定隱形圓例2（1）（2014年北京卷）已知圓C：和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m的取值范圍是_________．【解】由可知，若點(diǎn)P存在，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓O上，其半徑為m，所以圓O與圓C有公共點(diǎn)，從而則m的取值范圍是．（2）（海安2016屆高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(?1，0)，Q(2，1)，直線l：其中實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，若點(diǎn)P在直線l上的射影為H，則線段QH的取值范圍是_________．【解】直線l過定點(diǎn)R（1，-2），H在以PR為直徑的圓上，其圓的半徑為PR＝，設(shè)PR的中點(diǎn)為M（0，-1），則MQ＝2，所以QHmin＝2－＝，QHmax＝2＋＝3，則線段QH的取值范圍是．（3）（通州區(qū)2017屆高三下開學(xué)初檢測(cè)）設(shè)，直線：與直線：交于點(diǎn)，則的取值范圍是_________．【解】由，可知其表示到定點(diǎn)B(-1，0)的距離的平方減1．因?yàn)閘1過定點(diǎn)O(0，0)，l2過定點(diǎn)A(2，-4)，且l1⊥l2，則P在以O(shè)A為直徑的圓上，但是由于直線l1不能表示斜率為0的直線，直線l2不能表示斜率不存在的直線，所以要除去一點(diǎn)(2，0)．而上述圓的圓心為C(1，-2)，半徑為，由BC＝，PBmin＝BC－＝－，PBmax＝BC＋＝＋即．策略三由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓例3（1）已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC則面積的最大值為_________．【解】原式即為，由余弦定理得cosA＝，所以A＝60°，再由正弦定理，得外接圓的半徑為，設(shè)的外接圓的圓心為O，則O到BC的距離為，則邊BC上的高h(yuǎn)的最大值為+=，則面積的最大值為．（2）（2017年常州一模）在△ABC中，∠C＝45o，O是△ABC的外心，若(m，n∈R)，則m＋n的取值范圍是_________．【解】由圓周角的性質(zhì)，∠AOB＝2∠C＝90°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑OA的圓上（在優(yōu)弧AB上）．不妨以O(shè)為圓心，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由得到，所以m＋n＝，結(jié)合，得到，故m＋n的取值范圍是．當(dāng)圓周角是直角時(shí)，即為策略二情形．策略四由四點(diǎn)共圓的定理來確定隱形圓（如一個(gè)四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則該四邊形四點(diǎn)共圓）例4（2011年全國(guó)卷2）設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，若a－c與b－c的夾角為60°，則|c|的最大值等于．2【解】設(shè)向量a，b，c的起點(diǎn)為O，終點(diǎn)分別為A，B，C，由已知條件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，則點(diǎn)C在△AOB的外接圓上，當(dāng)OC經(jīng)過圓心時(shí)，|c|最大，在△AOB中，求得AB＝eq\r(3)，由正弦定理得△AOB外接圓的直徑是eq\f(\r(3),sin120°)＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c))的最大值是2．【同步練習(xí)】1．點(diǎn)A，B分別在x軸與y軸的正半軸上移動(dòng)，且AB＝2，若點(diǎn)A從(eq\r(3)，0)移動(dòng)到(eq\r(2)，0)，則AB中點(diǎn)D經(jīng)過的路程為．eq\f(,12)2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，,，則與夾角的范圍為．3．已知直線上存在點(diǎn)M滿足與兩點(diǎn),連線的斜率之積為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．4．已知圓C：x2＋y2＝1，點(diǎn)P(x0，y0)在直線x－y－2＝0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C上存在一點(diǎn)Q，使得∠OPQ＝30°，則x0的取值范圍是________．[0,2]5．如圖，已知點(diǎn)A(－1,0)與點(diǎn)B(1,0)，C是圓x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A,B不重合)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|＝|BC|，則線段PD的取值范圍．第二講“數(shù)”現(xiàn)“圓”形解析幾何中，找“隱形圓”的另一個(gè)角度可以從“數(shù)”的角度（求出其方程）來發(fā)現(xiàn)．策略五直接由圓（半圓）的方程確定隱形圓例1（1）(2016年泰州一模)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則的取值范圍為__________．【解】方法一令，，則原題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)x、y滿足，求的取值范圍，歸結(jié)為以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的斜率的取值范圍．方法二令，，原題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍，而動(dòng)點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，以下同方法一．y（2）若方程3－＝x＋b有解，則b的取值范圍是．yOxOx例1例1(2)【解】令y＝3－，其方程可化簡(jiǎn)為(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圓心為(2,3)，半徑為2的半圓．當(dāng)直線l：y＝x＋b與此半圓相切時(shí)，滿足圓心(2,3)到直線y＝x＋b距離等于2，解得b＝1＋2或b＝1－2，因?yàn)槭窍掳雸A，故可得b＝1＋2．當(dāng)直線過(0,3)時(shí)，解得b＝3，故1－2≤b≤3．（3）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則x+y的最大值是__________．【解】設(shè)，，則,，代入原式并整理，得．因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓位于第一象限的一段圓?。êcx軸、y軸的正半軸的交點(diǎn)），此圓的圓心為，半徑為，而x+y，所以（x+y）max．另法：（基本不等式）原式化為，平方后為即，解得x+y≤4（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”）．策略六直接由圓（半圓）的參數(shù)方程確定隱形圓例2（1）已知，則的取值范圍是__________．【解】點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，在直線上，轉(zhuǎn)化為圓上的動(dòng)點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的取值范圍，圓心到直線的距離為，所以，圓上的動(dòng)點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值為，其平方為．（2）（2008年重慶高考）函數(shù)f(x)=()的值域是________．【解】f(x)＝當(dāng)sinx＝1時(shí)，f(x)＝0；當(dāng)-1≤sinx＜1時(shí)，f(x)其中的幾何意義為以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)構(gòu)成直線的斜率，則，所以得到-1≤f(x)≤0．策略七由兩定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足（是常數(shù)）,求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程確定隱形圓例3已知圓和兩點(diǎn)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則m的取值范圍是__________．【解】設(shè)點(diǎn)，滿足，得，這是一個(gè)圓的方程，從而轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)，得，解得m的取值范圍是．注若，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上．變式1（2017年南通密卷3）已知點(diǎn)，，點(diǎn)P在直線上，若滿足等式的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【解】設(shè)P(x，y)，則，，根據(jù)，有.由題意圓：與直線相交，圓心到直線的距離，所以.變式2（2017年江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在圓上，若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是__________．【解】設(shè)點(diǎn)，由，即，表示點(diǎn)P在此圓內(nèi)部（含邊界），又在圓O上，故聯(lián)立，得或，結(jié)合圓O的最左邊點(diǎn)為，所以的橫坐標(biāo)的取值范圍是．策略八由兩定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足是定值確定隱形圓例4（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，點(diǎn)A(0，2)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2＋MO2＝10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________【解】設(shè)M(x，y)，由MA2＋MO2＝10，A(0，2)，得x2＋(y－1)2＝4，而M又在圓C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，故它們有公共點(diǎn)，則1≤a2＋(a－3)2≤9，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，3]．（2）（2017屆鹽城三模）已知四點(diǎn)共面，，，，則的最大值為．【解】以BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，由，得，所以O(shè)A＝3．取，故，所以ED＝3OA＝9，所以點(diǎn)D在以E為圓心，半徑為9的圓上，故的最大值為EB＋9＝10．變式在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(－1，0)、B(0，1)，則滿足PA2－PB2＝4且在圓x2＋y2＝4上的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________．2【解】設(shè)P(x，y)，由PA2－PB2＝4知[(x＋1)2＋y2]－[x2＋(y－1)2]＝4，整理，得x＋y－2＝0．又圓心(0，0)到直線x＋y－2＝0距離d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)＜2，因此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)．策略九由兩定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足確定隱形圓（阿波羅尼斯圓）例5（1）（2016年南通一模）在平面直角坐標(biāo)中，已知點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)P使得,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【解】點(diǎn)P滿足圓的方程為，轉(zhuǎn)化到直線與圓有交點(diǎn)的問題.變式1若呢？【解】點(diǎn)P在圓：的內(nèi)部（含邊界），仍然轉(zhuǎn)化到直線與圓有交點(diǎn)的問題.變式2（2013年江蘇卷第17題改編）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，．如果圓上總存在點(diǎn)M使得，則圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．【解】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)為，其表示以為圓心，半徑為2的圓，則圓D與圓C有公共點(diǎn)，得，解得的取值范圍是．（2）（2016屆常州一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作圓O，O1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若滿足的點(diǎn)P有且僅有兩個(gè)，則b的取值范圍_________．【解】由平方得，故．設(shè)，代入上式得，其表示以為圓心，半徑為的圓，由題意，則直線與圓Q由兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故，解出b的取值范圍為．（3）已知曲線的方程，，存在一定點(diǎn)和常數(shù)，對(duì)曲線上的任意一點(diǎn)，都有成立，則點(diǎn)到直線的最大距離為_________．【解】方法一：由得即故，將代入得，得，（舍去），故．又直線恒過定點(diǎn)，所以由幾何性質(zhì)知點(diǎn)到直線的最大距離為點(diǎn)與的距離為．方法二：作為小題，由知是阿氏圓軌跡，故取圓直徑上的兩個(gè)點(diǎn)，即可得，解得，（舍去），故，以下同方法一．

例6（2017年南通二模）一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊．已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行．（1）（2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說明理由．【解】（1）略（2）如圖乙，以為原點(diǎn)，正北方向所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．則，設(shè)緝私艇在處（緝私艇恰好截住走私船的位置）與走私船相遇，則，即．整理得，，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．因?yàn)閳A心到領(lǐng)海邊界線：的距離為1.55，大于圓半徑，所以緝私艇能在領(lǐng)海內(nèi)截住走私船．【同步練習(xí)】1．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(0，－1)，B(0,1)．P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PA|2＋|PB|2取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．【解】P(x0，y0)，則|PA|2＋|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2，顯然xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)的最大值為(5＋1)2，∴dmax＝74，此時(shí)eq\o(OP,\s\up6(→))＝－6eq\o(PC,\s\up6(→))，結(jié)合點(diǎn)P在圓上，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(24,5))).2．（2016年鹽城三模）已知線段AB的長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)C滿足（為常數(shù)），且點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓內(nèi)，則負(fù)數(shù)的最大值是__________．略解：動(dòng)點(diǎn)C滿足方程.3．（2016年蘇北四市一模）已知，，，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若恒成立，則最小正整數(shù)的值為________．44．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為直線x＝3上一動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心的圓記為圓M，若圓M截x軸所得的弦長(zhǎng)恒為4．過點(diǎn)O作圓M的一條切線，切點(diǎn)為P，則點(diǎn)P到直線2x＋y－10＝0距離的最大值為_____．3eq\R(,5)【提示】設(shè)M(3，t)，P(x0，y0)，因?yàn)镺P⊥PM，所以eq\o(OP,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(PM,\d\fo1()\s\up7(→))＝0，可得x02＋y02－3x0－ty0＝0=1\*GB3①又圓M截x軸所得的弦長(zhǎng)為4，所以4＋t2＝(x0－3)2＋(y0－t)2，整理得x02＋y02－6x0－2ty0＋5＝0=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得x02＋y02＝5，即點(diǎn)P在圓x2＋y2＝5上，于是P到直線2x＋y－10＝0距離的最大值為eq\F(10,eq\R(,5))＋eq\R(,5)＝3eq\R(,5)．5．已知且滿足，則的取值范圍是．

第三講“隱圓”綜合隱藏圓問題可以和很多知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，在三角形、向量、圓錐曲線等背景的一些問題中看上去和圓無關(guān)，但卻隱藏著圓．一、三角形中的隱形圓例1（1）（2017年南京、鹽城一模）在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為，若，則面積的最大值為__________．【解】以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建系.設(shè)，，，則由，得，即，所以點(diǎn)C在此圓上，S≤（2）（2008年高考江蘇卷）若，則的最大值是__________．【解】以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建系.則，，設(shè)，由題意得，化簡(jiǎn)可得，從而C到AB的距離最大值為，故則的最大值是．變式已知中，B為CD的中點(diǎn)，且，則的最大值是_____．【解】是的兩倍，從而轉(zhuǎn)化為上題．例2（1）在中，BC＝eq\r(2)，AC＝1，以AB為邊作等腰直角三角形ABD(B為直角頂點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè))．當(dāng)∠C變化時(shí)，線段CD長(zhǎng)的最大值為【解】過點(diǎn)B作CB的垂線，取E點(diǎn)，使得BE＝，連接ED，有BE＝BC，BD＝BA，∠DBE＝∠ABC，則△BED≌△BCA，故ED＝1，D在以E為圓心，1為半徑的圓上．故CDmax＝DE＋CE＝1＋2＝3．（2）在中，點(diǎn)D在邊BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【解】不妨設(shè)AB＝3，則AD＝k，AC＝1，由DC＝2BD，取AB上一點(diǎn)E，使得AE＝2EB，則DE，故D在以E為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則，即二、向量中的隱形圓例3（1）已知向量a、b、c滿足，，若，則的最大值是__________．【解】易知a、b的夾角為45°，作，，，則所以C在以AB為直徑的圓上，AB＝，變式1已知向量a、b、c滿足，，若，則的最大值是__________．【解】由得，易知a、b的夾角為45°，作，，，，，由余弦定理知，而，所以C在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為D，則BD＝，從而．變式2（1）已知向量a，b，c滿足|a|=1，|a-b|=|b|，（a-c）·（b-c）=0，若對(duì)每一個(gè)確定的向量b，|c|的最大值和最小值分別為m，n，則對(duì)于任意向量b，m+n的最小值是__________．【解】作，，，由|a-b|=|b|得OB＝AB，且，所以C在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則m＋n＝(OD＋CD)＋(OD－CD)＝2OD因?yàn)镺Dmin＝，所以m＋n的最小值是．（2）（2016年高考四川理數(shù)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==，===-2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則的最大值是__________．【解】由已知可得∠ADC＝∠ADB＝∠BDC＝120°，DA＝DB＝DC=2，故△ABC為等邊三角形．由M為PC的中點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)E，則ME為△ACP的中位線，ME＝，所以M在以E為圓心，半徑為的圓E上BE＝，故BM的最大值為BE＋ME＝3＋＝，則的最大值是．例4已知，為非零的不共線的向量，設(shè)．定義點(diǎn)集．當(dāng)、時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為__________．【解】由即，所以，由，有，所以，即CK為∠AKB的角平分線，由角平分線定理得，所以，故K的軌跡為阿波羅尼斯圓，其圓心在AB直線上，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則，即為此圓的直徑，設(shè)此圓和直線AB的交點(diǎn)為M、N，則MN為圓的直徑，當(dāng)r≥2時(shí)，，故，所以，實(shí)數(shù)的最小值為．例5（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，點(diǎn)P，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，若，則的最小值為__________．【解】方法一：顯然四邊形PMQN為矩形，設(shè)MN與PQ的交點(diǎn)為R(x，y)，則OM2＝OR2+RM2＝OR2+PR2，即得，所以R的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，由PS＝，所以PRmin＝，故．方法二：顯然四邊形PMQN為矩形，由矩形的幾何性質(zhì)（矩形所在平面上的任意一點(diǎn)到其對(duì)角線上的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和相等），有，所以O(shè)Q＝，故Q在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上，因?yàn)镺P＝，所以PQ的最小值為．變式1（2017年南通市一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且AB⊥AC，則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為__________．【解】方法一（標(biāo)解）：設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以的取值范圍是，所以的取值范圍是．方法二：以AB、AC為鄰邊作矩形BACN，則BC＝AN，由矩形的幾何性質(zhì)（矩形所在平面上的任意一點(diǎn)到其對(duì)角線上的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和相等），有，所以O(shè)N＝，故N在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上，因?yàn)镺A＝，所以的取值范圍是．變式2已知圓：，圓：，定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)分別在圓和圓上，滿足，則線段的取值范圍__________．【解】以PA、PB為鄰邊構(gòu)造矩形APBQ，則AB＝PQ，由矩形的幾何性質(zhì)（矩形所在平面上的任意一點(diǎn)到其對(duì)角線上的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和相等），有，所以O(shè)Q2＝12，即OQ＝，故Q在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上，因?yàn)镺P＝1，所以AB的取值范圍是．變式3已知向量a、b、c滿足，則范圍為__________．【解】作向量，，，則，，不妨以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則本題轉(zhuǎn)化為上題．三、圓錐曲線中的隱形圓例6在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓均與軸相切且圓心，與原點(diǎn)共線，，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為6，設(shè)圓與圓相交于，兩點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值為__________．【解】設(shè)圓心O1，O2在直線y＝tx上，P(x0，y0)，可設(shè)O1(m，mt)，O2(n，nt)，則mn＝6，所以⊙O1：(x－m)2+(y－mt)2=(mt)2，⊙O2：(x－n)2+(y－nt)2=(nt)2，所以(x0－m)2+(y0－mt)2=(mt)2，(x0－n)2+(y0－nt)2=(nt)2，所以m、n為(x0－x)2+(y0－tx)2=(tx)2即x2－2(x0+y0t)x+的兩根．由二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得mn所以P(x0，y0)在圓x2+y2=6上，其圓心為O(0，0)，O到l的距離為，則點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值為．變式（2015年江蘇初賽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O1、圓O2都與直線l：y＝kx及x軸正半軸相切．若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為P(2，2)，求直線l方程．【解】由題意，圓心O1，O2都在x軸與直線l的角平分線上．若直線l的斜率k＝tanα，設(shè)t＝taneq\f(α,2)，則k＝eq\f(2t,1－t2)．圓心O1，O2在直線y＝tx上，可設(shè)O1(m，mt)，O2(n，nt)．交點(diǎn)P(2，2)在第一象限，m，n，t＞0．所以⊙O1：(x－m)2+(y－mt)2=(mt)2，⊙O2：(x－n)2+(y－nt)2=(nt)2，所以eq\b\lc\{(\a\al((2－m)2＋(2－mt)2＝(mt)2，,(2－n)2＋(2－nt)2＝(nt)2，))即eq\b\lc\{(\a\al(m2－(4＋4t)m＋8＝0，,n2－(4＋4t)n＋8＝0，))所以m，n是方程X2－(4+4t)X＋8=0的兩根，mn＝8．由半徑的積(mt)(nt)＝2，得t2＝eq\f(1,4)，故t＝eq\f(1,2)．所以k＝eq\f(2t,1－t2)＝eq\f(1,1－\f(1,4))＝eq\f(4,3)，直線l：y＝eq\f(4,3)x．例7設(shè)橢圓E：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥？【解】假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為x2＋y2＝R2，其中0＜R＜2．設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m， ①將其代入橢圓E的方程并整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.得x1＋x2＝－eq\f(4km,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2m2－8,2k2＋1). ②因?yàn)椤?，所以x1x2＋y1y2＝0. ③把①代入③并整理得(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.結(jié)合②得m2＝eq\f(8,3)(1＋k2)． ④因?yàn)橹本€AB和圓相切，因此R＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，由④得R＝eq\f(2\r(6),3)，所以存在圓x2＋y2＝eq\f(8,3)滿足題意．當(dāng)切線AB的斜率不存在時(shí)，易得，由橢圓E的方程得，容易判斷⊥．綜上所述，存在圓x2＋y2＝eq\f(8,3)滿足題意．法二：（引入k算出A、B坐標(biāo)）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖冢也粸?時(shí)