2021.05.30-71個模型 模型30-32：3類角平分線模型 模型分析 經(jīng)典例題 鞏固提升盡有?。ǜ絯ord）

模型30和角平分線有關的輔助線問題【模型分析】由角平分線想到的輔助線角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點向兩邊作垂線；②利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。與角有關的輔助線（一）截取構全等如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。（二）角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。（三）作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。（四）以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線

【經(jīng)典例題】例1．（2020·鹽城市鹽都區(qū)實驗初中八年級月考）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④例

2．（2020·山東泰安市·七年級期末）如圖所示，的外角的平分線CP與的平分線相交于點P，若，則_______．

例3．（2021·北京順義區(qū)·八年級期末）已知：如圖，，，分別平分和，點E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關系，并證明．

【鞏固提升】1．（2019·浙江杭州市·）如圖，中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點，則下列結論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．

2．（2020·黑龍江哈爾濱市·九年級其他模擬）如圖，四邊形中，，為上一點，連接，，，若，則線段的長為_______．

3．（2018·浙江八年級月考）如圖，BP平分∠ABC，，E、F分別是角兩邊上點，現(xiàn)有四個結論知其一定能得其余結論的有①；②；③；④，_____.

4．（2020·廣西南寧市·八年級期末）已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當點E在線段AB上時，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與BE之間的等量關系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．

5．（2020·全國九年級課時練習）（特例感知）（1）如圖（1），是的圓周角，BC為直徑，BD平分交于點D，，，求點D到直線AB的距離．（類比遷移）（2）如圖（2），是的圓周角，BC為的弦，BD平分交于點D，過點D作，垂足為點E，探索線段AB，BE，BC之間的數(shù)量關系，并說明理由．（問題解決）（3）如圖（3），四邊形ABCD為的內接四邊形，，BD平分，，，求的內心與外心之間的距離．

模型31三角形角平分線交角模型問題【模型分析】

【經(jīng)典例題】例1．（2020·孝感市孝南區(qū)教學研究室八年級期中）如圖，中，與的平分線交于點，過點作交于點，交于點，那么下列結論：①和都是等腰三角形②；③；④若，則．其中正確的有（）個A．1 B．2 C．3 D．4

例2．（2021·全國八年級）如圖，在中，，和的平分線交于點，得，和的平分線交于點，得；；和的平分線交于點，則__．（用表示）

例3．（2020·利辛縣啟明中學八年級月考）如圖①所示是一個飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：；（2）如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點D，若，求的度數(shù)．

【鞏固提升】1．（2020·河北邢臺市·八年級月考）在中，，若的平分線交于點，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．

2．（2020·四川成都市·成都實外七年級期中）如圖，已知的兩條高、交于點，的平分線與外角的平分線交于點，若，則________

3．（2020·湖北十堰市·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=________．

4．（2020·安陸市涢東學校八年級月考）平面內，四條線段AB，BC，CD，DA首尾順次連接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分線交于點M（如圖1），求∠AMC的大?。?）點E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD平分線交于點N（如圖2），求∠ANC．

5．（2020·遼寧葫蘆島市·八年級期中）如圖1，點A、B分別在射線、上運動（不與點O重臺），、分別是和的角平分線，延長線交于點G．（1）若，則________；（直接寫出答案）（2）若，求出的度數(shù)；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖2．若，過點C作交于點F，求與數(shù)量關系．

模型32角平分線和高線的夾角模型問題【模型分析】

【經(jīng)典例題】例1．（2019·浙江杭州市·九年級其他模擬）中，邊上的高相交于點F，的角平分線交于點G，若，則______．

例2．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·八年級期中）如圖，在中，是高，、是角平分線，它們相交于點，，．求和度數(shù)．

例3．（2020淄博·七年級期中）中，是的角平分線，是的高．（1）如圖1，若，請說明的度數(shù)；（2）如圖2（），試說明的數(shù)量關系；（3）如圖3，延長到點，和的角平分線交于點，請求出的度數(shù)．

【鞏固提升】1．（2020·哈爾濱市第四十七中學七年級期中）如圖，在中，、分別是的高和角平分線，，，則__________度．

2．（2019·上海市市西初級中學八年級期末）如圖，中，一內角和一外角的平分線交于點連結，_______________________.

3．（2020·山西晉城市·七年級期末）（1）如圖1，的內角的平分線與外角的平分線相交于P點，請?zhí)骄颗c的關系，并說明理由（2）如圖②③，四邊形ABCD中，設為四邊形ABCD的內角與外角的平分線所在直線相交而形成銳角，請利用（1）中的結論完成下列問題：①如圖②，若，求的度數(shù)（用的代數(shù)式表示，記得把圖轉化為圖）②如圖③，若，請在圖③中畫出，并直接寫出=______（用的代數(shù)式表示）

4．（2018·山西晉城市·七年級期末）在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D．①當α＝70°時，∠BDC度數(shù)＝度（直接寫出結果）；②∠BDC的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠AC