多元函數(shù)泰勒公式與極值課件

§8.6多元函數(shù)的極值及其求法

主要內(nèi)容1、多元函數(shù)泰勒公式2、多元函數(shù)的極值和最值3、條件極值拉格朗日乘數(shù)法§8.6多元函數(shù)的極值及其求法1一元函數(shù)的泰勒公式：§8.6多元函數(shù)泰勒公式與極值一、問題的提出一元函數(shù)的泰勒公式：§8.6多元函數(shù)泰勒公式與極值一、問2引入函數(shù)顯然利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得由的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得(*)引入函數(shù)顯然利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得由3多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件4多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件5二、二元函數(shù)的泰勒公式二、二元函數(shù)的泰勒公式6一般地,記號一般地,記號7其中其中8上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式.上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式.9例1解例1解10多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件11其中其中12多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件13多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件141、多元函數(shù)極值的定義設(shè)PRn,函數(shù)u=f(p)在p0的某鄰域U(p0,)內(nèi)有定義，對任何pU(p0,),,都有f(p)<f(p0),稱函數(shù)u=f(p)在p0點有極大值；若都有f(p)>f(p0),稱函數(shù)u=f(p)在p0點有極小值。1、多元函數(shù)極值的定義設(shè)PRn,函數(shù)u=f(p)在15(1)(2)(3)例1例２例３極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.(1)(2)(3)例1例２例３極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函162、多元函數(shù)取得極值的條件證2、多元函數(shù)取得極值的條件證17多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件18注：1）極值點處的切平面平行于xoy平面；2）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，稱為函數(shù)的駐點.駐點極值點如何判定駐點是否為極值點？注意：注：1）極值點處的切平面平行于xoy平面；駐點極值點如何判定19多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件20多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件21多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件22多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件23求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.3、多元函數(shù)的最值求最值的一般方法：3、多元函數(shù)的最值24第三步，比較以上兩步所得各函數(shù)值，最大者為M，最小者為m．故M=25，m=9．第三步，比較以上兩步所得各函數(shù)值，最大者為M，25解解26(舍去x1)(舍去x1)27解由

x=y解由x=y28無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.29實例：張三有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買張磁盤，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問題的實質(zhì)：求在條件下的極值點．四、條件極值拉格朗日乘數(shù)法實例：張三有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機30條件極值：對自變量有附加條件的極值．條件極值：對自變量有附加條件的極值．31多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件32解則

2x=3y,y=2z解則2x=3y,y=2z33解解34多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件35多元函數(shù)泰勒公式與極值ppt課件36可得即可得即371.在橢圓上求一點，使其到直線的距離最短。解設(shè)P(x，y)為橢圓上任意一點，則P到直線的距離為求d的最小值點即求的最小值點。作1.在橢圓38由Lagrange乘數(shù)法，令得方程組解此方程組得于是由問題的實際意義最短距離存在，因此即為所求點。由Lagrange乘數(shù)法，令得方程組解此方程組得于是由問題的39多元函數(shù)泰勒公式與極值p