2023年上海市春季高考數(shù)學(xué)真題試卷含詳解

2023年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫

結(jié)果，第1題至第6題每個空格填對得4分，第7題至第12題每個空格填對得5分，否則

一律得零分.

1.（4分）己知集合人={1,2},B={1,a},且4=B,貝！]a=.

2.（4分）已知向量7=（3,4）,E=（1,2）,則7-2%=.

3.（4分）若不等式|x-1|W2,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.

4.（4分）已知圓C的一般方程為/+"+/=（）,則圓C的半徑為.

5.（4分）已知事件A發(fā)生的概率為P（A）=0.5,則它的對立事件仄發(fā)生的概率P（A）

6.（4分）己知正實(shí)數(shù)a、b滿足“+46=1,則成的最大值為.

7.（5分）某校抽取100名學(xué)生測身高，其中身高最大值為186cm,最小值為154cm,根據(jù)

身高數(shù)據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5,且第一組下限為153.5,則組數(shù)為.

8.（5分）設(shè)（1-2x）4=ao+aix+ai^+a,ir'+a^,則ao+44=.

log（x+1）>x>0

9.（5分）已知函數(shù)/（x）=2x+\,且g（x）=Jo2,則方程g（x）=

f（~x），x<0

2的解為.

10.（5分）已知有4名男生6名女生，現(xiàn)從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的

概率為.

11.（5分）設(shè)zi,Z26C且=滿足貝l]|zi-z2|的取值范圍為.

12.（5分）已知空間向量了，0B,無都是單位向量，且金_L而，0A±0C-而與灰的夾

角為60°,若尸為空間任意一點(diǎn)，且|而|=1,滿足I而?羽|W|而?麗W|而?贏,則而?

枳的最大值為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙

的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，第13題至第14題選對得4分，第15題至第16

題選對得5分，否則一律得零分.

13.（4分）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

A.y=sinxB.y=cosxC.y=xiD.y=2x

A.從2018年開始后,圖表中最后一年增長率最大

B.從2018年開始后,進(jìn)出口總額逐年增大

C.從2018年開始后,進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開始后,圖表中2020年的增長率最小

15.（5分）如圖，尸是正方體43CQ-431C1O1邊4。上的動點(diǎn)，下列哪條邊與邊3尸始

終異面（）

C.AD\D.B\C

16.（5分）已知數(shù)列｛期｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，％為其前〃項(xiàng)和，若對任意￡>2022,都有|S&|

>|SH1|，則下列說法正確的是（）

A.41，。3，。5,??，及〃/為等差數(shù)列,〃2，44，。6,??，42〃為等比數(shù)列

B.a\,〃3,。5,??，為等比數(shù)列,〃2,。4，。6,…，為等差數(shù)列

C.41，02,43,…，42022為等差數(shù)列,42022,42023,Z為等比數(shù)列

D.。1，<72?。3…，42022為等比數(shù)列,02022,02023,4〃為等差數(shù)列

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)

域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.(14分)已知三棱錐P-ABC中，出_L平面ABC,ABLAC,PB=AB=3,AC=4,M

為8c中點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作平行于平面以8的直線交AC、尸C于點(diǎn)E,F.

（1）求直線PM與平面ABC所成角的大??；

（2）證明：ME〃平面附B,并求直線ME到平面附8的距離.

18.(14分)在△ABC中，角4,B,C對應(yīng)邊為a,b,c,其中b=2.

(1)若A+C=120°,且a=2c,求邊長c；

(2)若A-C=15°,a=&csinA,求△ABC的面積S?BC.

F

19.（14分）為了節(jié)能環(huán)保，節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)”為S=_0,其中Fo為

V。

建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），Vb為建筑物的體積（單位：立方米）.

（1）若有一個圓柱體建筑的底面半徑為R，高度為H,求該建筑體的S（用R,H表示）;

（2）現(xiàn)有一個建筑體，側(cè)面皆垂直于地面，設(shè)A為底面面積，A為建筑底面周長.已知

f為正比例系數(shù)，7?與A成正比，定義：尸L,建筑面積即為每一層的底面面積，總建

A____

筑面積即為每層建筑面積之和，值為T.已知該建筑體推導(dǎo)得出5=槨五+5，〃為層

數(shù)，層高為3米，其中/=18,T=10000,試求當(dāng)取第幾層時，該建筑體S最小？

20.（18分）已知橢圓「：/?+X1=1加彳正）.

22

m0

（1）若〃=2,求橢圓「的離心率；

（2）設(shè)Ai、A2為橢圓「的左右頂點(diǎn)，若橢圓「上一點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1,且EA『EA；=

-2,求7%的值；

L22

（3）存在過橢圓r上一點(diǎn)尸、且斜率為我的直線/,使得直線/與雙曲線三_=1

5m25

僅有一個公共點(diǎn)，求，”的取值范圍.

21.(18分)設(shè)函數(shù)f(x)=依3-(a+1)x2+x,g(x)—kx+m,其中a20,k>m&R,若

對任意疣［0,1］均有f(x)Wg(x),則稱函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=/(x)的“控制函數(shù)”,

且對所有的函數(shù)y=g(x)取最小值定義為f(尤).

(1)若a=2,g(x)=x,試問y=g(x)是否為y=/(x)的"控制函數(shù)"；

(2)若。=0,使得直線y=/?(x)是曲線y=/(x)在》=上處的切線，求證：函數(shù))1=/?

4

(x)是為函數(shù)y=/(x)的“控制函數(shù)”，并求彳(1)的值；

4

(3)若曲線y=/(x)在x=xo(xoE(0,1))處的切線過點(diǎn)(1,0),且cW|xo,1］,求

證：當(dāng)且僅當(dāng)c=xo或c=l時，f(c)=f(c).

2023年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫

結(jié)果，第1題至第6題每個空格填對得4分，第7題至第12題每個空格填對得5分，否則

一律得零分.

1.【解答］解：集合A={1,2］,B={1,a},且A=8,

則a=2.

故答案為：2.

2.【解答】解：因?yàn)橄蛄浚?（3,4）,b=（1，2）,

所以1-2芯=（3-2X1,4-2X2）=（1,0）.

故答案為：（1,0）.

3.【解答】解：因?yàn)椴?1|<2,

所以-2Wx-1W2,

所以-1WXW3,

故答案為：［-1，3］.

4.【解答］解：根據(jù)圓C的一般方程為7+2%+/=0,可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+丫2

=1,

故圓C的圓心為（0,-1）,半徑為1,

故答案為：1.

5.【解答】解：由題意知P（A）+P（A）=1，所以P（A）=1-P（4）=0.5,

故答案為：0.5.

6.【解答】解：正實(shí)數(shù)“、6滿足。+4〃=1,則H=Lxa?4b4工X（”正）2，，當(dāng)

4a&D飛412/16

且僅當(dāng)。=」，b』時等號成立.

28

故答案為：A.

16

7.【解答］解：極差為186-154=32,組距為5,且第一組下限為153.5,

32=6.4,故組數(shù)為7組，

5

故答案為：7.

8.【解答】解：根據(jù)題意及二項(xiàng)式定理可得:

ao+“4=c：+C：?(-2)4=17.

故答案為：17.

9.【解答】解：當(dāng)工20時，，g(x)=2=log2(x+1)=2,解得x=3；

當(dāng)xVO時，g(x)=f(-x)=2A'+1=2,解得x=O(舍)；

所以g(x)=2的解為：x=3.

故答案為：x=3.

10?【解答】解：從10人中任選3人的事件個數(shù)為C；f襄晟等120，

恰有1名男生2名女生的事件個數(shù)為c：c，=4X^|答=60，

則恰有1名男生2名女生的概率為羽_=o5，

1205?

故答案為：0.5.

11.【解答】解:設(shè)zi-1=cose+isin。，則zi=l+cosO+isin。，

因?yàn)?所以Z2=sin?+i(cos0+l),

z2

22

所以|zi-z2\=yj(cos0-sin0+1)+(sin0-cos9-1)

={2[asin(8-1]2=料|V2sin(0-y")-1|,

顯然當(dāng)sin(84)=喙時，原式取最小值0，

當(dāng)sin(8一番)=-1時，原式取最大值2/，

故|ZI-Z2|的取值范圍為[0,2+721.

故答案為：2，2n/2].

12.【解答】解：由題知水=(o,Q,1)'OB=(r^~?-y>0)>0C=(0,1,0),

再設(shè)加二(x,y,工)，且X，y，z>0,x1+y1+z2=1,

代入已知的不等式得y<*_x,y<z，可得x>^~y，

所以l=x2+y2+z2^^y2+y2+y2,解得y?4多

故而“權(quán)=y4*L

故答案為：叵.

7

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙

的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，第13題至第14題選對得4分，第15題至第16

題選對得5分，否則一律得零分.

13?【解答】解：對于4,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y=sinx為奇函數(shù)；

對于8,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，），=cosx為偶函數(shù)；

對于C,由幕函數(shù)的性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；

對于由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y=2*為非奇非偶函數(shù).

故選：B.

14?【解答】解：顯然2021年相對于2020年進(jìn)出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增

長率最大，A對；

統(tǒng)計圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故B對；

2020年相對于2019的進(jìn)口總額是減少的，故C錯；

顯然進(jìn)出口總額2021年的增長率最大，而2020年相對于2019年的增量比2019年相對

于2018年的增量小，且計算增長率時前者的分母還大，故2020年的增長率最小，。對.

故選：C.

15.【解答]解：對于A,當(dāng)P是4cl的中點(diǎn)時，8P與。31是相交直線；

對于B,根據(jù)異面直線的定義知，BP與4c是異面直線；

對于C,當(dāng)點(diǎn)尸與Ci重合時，8P與AO1是平行直線；

對于力，當(dāng)點(diǎn)P與Ci重合時，8P與BiC是相交直線.

故選：B.

16.【解答】解：由對任意正整數(shù)”>2022,都有國>厚+1],可以知道42022,42033,42024,

…，4"不可能為等差數(shù)列，

因?yàn)槿?=0,tzn—0>則|S?|=|SA+I|,矛盾；

若"=0,an<0,當(dāng)”一+8,SL-8,&使得|SA+I|>|ST，矛盾；

若d=0,an>0,當(dāng)”一+8,S”一+8,必有％使得國+||>網(wǎng)，矛盾；

若d>0,當(dāng)“一+8,+°°,S”f+8必有k使得|SK+I|>|SK|,矛盾；

若d<0,當(dāng)〃f+8,-8,S"f-8,必有人使得國,+”>欣I，矛盾；

所以選項(xiàng)B中的42,44,46,…，“2”為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確;

選項(xiàng)。中的42022,02023,02024,…，劭為等差數(shù)列與上述推理矛盾,故不可能正確;

選項(xiàng)A中的m,。3,45，…，1為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；

事實(shí)上，只需取a=@2=…二@2022=一1，an：4）"，n>2023,n€N即可?

故選：C.

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)

域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.【解答】解：（1）連接AM,PM,

平面ABC,

/.APMA為直線PM與平面ABC所成的角，

在△出M中，,：ABLAC,.?衣=在2+42=5,

為BC中點(diǎn)，.?.AM=」BC=5,

22

：.tanZPMA=^-,即直線PM與平面ABC所成角為arctan且

55

（2）由ME〃平面以8,MF〃平面叢8,MEHMF=M,

平面MEF〃平面BAB,平面MEF,...ME〃平面

?.?勿_L平面ABC,ACu平面ABC,

：.PA^AC,"：ABLAC,PAHAB=A,PA,ABu平面B4B,

；.AC_L平面PAB,：.AE為直線ME到平面PAB的距離，

〃平面B48,MEu平面ABC,平面ABCCl平面B48=AB,

J.ME//AB,為BC中點(diǎn)，為4c中點(diǎn)，：.AE=2,

直線ME到平面PAB的距離為2.

18.【解答】解：（1）因?yàn)锳+C=120°,且a=2c,

由正弦定理可得sinA=2sinC=2sin（120°-A）=V3cosA+sinA,

所以cosA=0,

由A為三角形內(nèi)角可得4=90°,C=30°,B=60°,

因?yàn)閎=2,

所以c=2近；

3

(2)若A-C=15°,n=&csinA,

由正弦定理得sinA=V2sinCsinA,

由A為三角形內(nèi)角可得sinA>0,

所以sinC=1,

2

由題意可得C為銳角，

所以C=45°，A=60°,B=75°,

由正弦定理可得，一=一全—=LL，

sin60sin75^2+V6

所以a=”「二3近-V6.

V2W6

所以△ABC的面積SMBC=-^-absinC=—x”Lx2x4=3一愿.

22V2W62

19.【解答】解：（1）s=￡&=兀R2+2兀R?H=R+2H；

2

V0HR-HRH

(2)由題意，建筑體3〃米，底面面積4=工,

n

???體積鈍=3〃?A=37,

由/=12=18,???底面周長L=F*T，

.'.Fo—L*3n+A=懵,3H+—,

“體形系數(shù)"S=￡6=1佟應(yīng)+工，nGN*.

VnVT3n1003n

計算可得〃=6時，S最小.

2

20.【解答】解：（1）若加=2,則。2=4,廿=3,.?.4=2,c=^a-^2=i,.\e=—=—；

a2

（2）由已知得4（相，0）,A2（小，0）,設(shè)石（/?,1）,

/.￡—+A=1,即p2=>^^2,

m203°3

???EA「("z-P，7)，EA2=(-m-P，7)，???EA/EA2=(m-P，-Um

_p,-1)=p2-/n2+l=-2,

,:儼=2n?,代入求得m=3；

3

(3)設(shè)直線)，=料尤+力聯(lián)立橢圓可得/+.&叵XE)2=],

m23

整理得(3+3m2)切?21+(*-3)m2=o,

由△2()，???/2W3/T?+3,

聯(lián)立雙曲線可得乂返史立1-上=1,整理得(3-機(jī)2)，+2加戊+(?-5/n2)=0,

5m25

由A=0,F=5而-15,

A5m2-15/3層+3,

???-3WZ3,

又5根2-1520,???加》?,,:m彳M，

綜上所述：niE(?,3].

21?【解答】解：(1)/(x)=2x3-3X2+X,設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=2x3-3x2,

hr(x)=6x1-6x=6x(x-1),當(dāng)尢W[0,1]時，易知A'(x)=6x(x7)WO,即〃

(x)單調(diào)減，

:.h(x)max=h(0)=0,即/(x)-g(x)這0%(x)Wg(x),

???g(x)是fG)的“控制函數(shù)”；

(2)f(x)=-x?+x,f(1)f'(x)=-2x+l,f/.)V'

,h(x)卷(x3)f(x)-h(x)=-x2+yx-^-=-(x-^-)40

：.f(x)Wh(x),BPy=h(x)為函數(shù)y=/(x)的''控制函數(shù)"，

又吟)=偈)啥且gg)>嗎)啥?彳g)啥;

證明：(3)f(x)=ax^-(a+l)7+冗，f(x)=3cv?-2(a+1)x+1,

y=f(x)在x=x()(x()G(0,1))處的切線為，(x),

t(x)=f(xo)(x-JIO)+f(xo),t(xo)=f(xo),/(1)=0=>f(1)=0,

2+2