信息光學(xué)-傅立葉變換課件

傅里葉變換:傅里葉逆變換:f(x,y):原函數(shù)；F(fx,fy):像函數(shù)或頻譜函數(shù)F(fx,fy)=F{f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],

F(fx,fy)=F-1{f(x,y)}=F.T.-1[f(x,y)],

傅里葉變換的基本性質(zhì)和定理原函數(shù)頻譜函數(shù)1δ(fx,fy)δ(x,y)1δ(x-x0,y-y0)exp[-j2π(fxx0+fyy0)]exp[-j2π(ax+by)]δ(fx-a,

fy-b)cos[2πf0x)]cos[2πf0x)]sin[2πf0x)]sin[2πf0x)]原函數(shù)頻譜函數(shù)rect(x)rect(y)sinc(fx)sinc(fy)Λ(x)Λ(y)sinc2(fx)sinc2(fy)sgn(x)sgn(y)comb(x)comb(y)comb(fx)comb(fy)exp[-π(x2+y2)exp[-π(fx2+fy2)

1.6線性系統(tǒng)分析系統(tǒng)：廣義上講實(shí)現(xiàn)函數(shù)變換的運(yùn)算過程從狹義上講物理學(xué)系統(tǒng)電子系統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)光電混合系統(tǒng)等等系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)的作用可以用一個(gè)算符來表示輸入f輸出g系統(tǒng)L{?}(表示系統(tǒng)的作用，某種變換處理)g=L{f}系統(tǒng)線性非線性光學(xué)系統(tǒng)由光學(xué)元器件組成光路系統(tǒng)或儀器光在自由空間中的傳播1.6.1線性系統(tǒng)一、定義1）疊加性若則稱該系統(tǒng)具有疊加性。疊加性：系統(tǒng)中的一個(gè)輸入不影響系統(tǒng)對(duì)其它輸入的影響。2）均勻性若對(duì)任意常數(shù)a有下成立式均勻性：系統(tǒng)能夠保持對(duì)輸入信號(hào)的縮放因子不變。3)線性系統(tǒng)若一個(gè)系統(tǒng)同時(shí)具有疊加性和均勻性，即則稱該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。二、線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）1、線性系統(tǒng)分析的基本思想：一個(gè)復(fù)雜的輸入信號(hào)（函數(shù)）f(x,y)，它可以分解成某些簡(jiǎn)單函數(shù)（也稱基元函數(shù)）的線性疊加。若系統(tǒng)對(duì)每個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)（基元函數(shù)）的輸出已知（易求得），那么，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的輸出響應(yīng)就等于系統(tǒng)對(duì)這些簡(jiǎn)單函數(shù)（基元函數(shù)）的輸出響應(yīng)的線性疊加。則1.6.2線性平移不變系統(tǒng)一、線性平移不變系統(tǒng)的定義平移不變性：若則稱該系統(tǒng)具有平移不變性。所謂平移不變性就是當(dāng)輸入產(chǎn)生平移時(shí)，輸出也僅僅發(fā)生平移，形式不變。對(duì)于空間函數(shù)來講，也稱為空間平移不變性。

線性平移不變系統(tǒng)：既具有線性又具有平移不變性的系統(tǒng)稱為平移不變系統(tǒng)。對(duì)于光學(xué)成像系統(tǒng)而言，理想成像情況下，平移不變性是指：當(dāng)物在物面發(fā)生平移時(shí)，它的像在像面上也僅發(fā)生相應(yīng)平移，其中M是垂軸放大率。實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)，總有一定的孔徑大小，總存在一定的像差，不滿足嚴(yán)格的線性平移不變性，但在一定條件下，可近似為線性平移不變系統(tǒng)。二、線性平移不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）為：對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)如果對(duì)輸入、輸出的取適當(dāng)?shù)臉?biāo)度，可使M＝1，則稱為線性平移不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。系統(tǒng)的輸出：上式表明：對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)，其性質(zhì)完全可以由位于坐標(biāo)原點(diǎn)的響應(yīng)h(x2,y2)決定，即對(duì)于任意輸入函數(shù)，其輸出就等于該函數(shù)與h(x2,y2)的卷積。線性平移不變系統(tǒng)的本征函數(shù)式中a為一復(fù)常數(shù),若的本征函數(shù)則稱為算符光學(xué)中常用的本征函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)余弦或正弦函數(shù)§1-7光波的數(shù)學(xué)描述

單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示光場(chǎng)隨時(shí)間的變化關(guān)系:由頻率n表征.光振動(dòng)是空間點(diǎn)

(P)和時(shí)間(t)的實(shí)簡(jiǎn)諧函數(shù),可表為:

u(P,t)=a(P)cos[2pnt-j(P)]振幅頻率初位相可見光:n~1014Hz嚴(yán)格單色光:n為常數(shù)光場(chǎng)隨空間的變化關(guān)系體現(xiàn)在: (1)空間各點(diǎn)的振幅可能不同(2)空間各點(diǎn)的初位相可能不同, 由傳播引起.光場(chǎng)變化的空間周期為l.光場(chǎng)變化的時(shí)間周期為1/n.將光場(chǎng)用復(fù)數(shù)表示,有利于簡(jiǎn)化運(yùn)算單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示光場(chǎng)隨時(shí)間的變化e

-j2pnt不重要:u(P,t) =a(P)cos[2pnt-j(P)]} =e{a(P)e-j[2pnt-j(P)]}n~1014Hz,無法探測(cè)n為常數(shù),線性運(yùn)算后亦不變對(duì)于攜帶信息的光波,感興趣的是其空間變化部分.

故引入復(fù)振幅U(P):將光場(chǎng)用復(fù)數(shù)表示,有利于簡(jiǎn)化運(yùn)算=e{a(P)e

jj(P).e-j2pnt}復(fù)數(shù)表示有利于將時(shí)空變量分開U(P)=a(P)e

jj(P)#單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示:說明

U(P)是空間點(diǎn)的復(fù)函數(shù),描寫光場(chǎng)的空間分布,

與時(shí)間無關(guān);U(P)=a(P)e

jj(P)U(P)同時(shí)表征了空間各點(diǎn)的振幅|U(P)|=|a(P)|

和相對(duì)位相 arg(U)=j(P)

方便運(yùn)算,滿足疊加原理

實(shí)際物理量是實(shí)量.欲恢復(fù)為真實(shí)光振動(dòng):#

光強(qiáng)分布:I=UU*

光強(qiáng)是波印廷矢量的時(shí)間平均值,正比于電場(chǎng)振幅的平方u(P,t)=e{U(P)exp(-j2pnt)}即可球面波:空間分布點(diǎn)光源或會(huì)聚中心球面波:等相面為球面,且所有等相面有共同中心的波k=|k|=2p/l,為波數(shù).表示由于波傳播,在單位長(zhǎng)度上引起的位相變化,也表明了光場(chǎng)變化的“空間頻率”(P(x,y,z))0zyx源點(diǎn)S(rk設(shè)觀察點(diǎn)P(x,y,z)與發(fā)散球面波中心的距離為r,k:傳播矢量#球面波的等位相面:kr=c

為球面則P點(diǎn)處的復(fù)振幅:j(P)=k.rk:傳播矢量球面波:k//ra0:單位距離處的光振幅球面波:空間分布會(huì)聚球面波距離r

的表達(dá)若球面波中心在原點(diǎn):(P(x,y,z))會(huì)聚點(diǎn)S(r若球面波中心在S(x0,y0,z0):#0zyxk

球面波:在給定平面的分布以系統(tǒng)的光軸為z軸,光沿z軸正方向傳播.所考察的平面垂直于z軸令點(diǎn)光源位于z=0的平面上坐標(biāo)(x0,y0)處.考察與其距離為z的x

-y平面上的光分布Sx0zxy0y0需要作近軸近似#球面波:近軸近似只考慮x

-y平面上對(duì)源點(diǎn)S張角不大的范圍,即可以作泰勒展開(1+D)1/21+D/2一級(jí)近似二級(jí)近似對(duì)振幅中r

的可作一級(jí)近似.但因?yàn)閗很大,對(duì)位相中的r須作二級(jí)近似#

二、球面波:近軸近似已將球面波中心取在z=0的平面,且光波沿z軸正方向傳播.如果z>0,上式代表從S發(fā)散的球面波.如果z<0,上式代表向S會(huì)聚的球面波.對(duì)給定平面是常量隨x,y變化的二次位相因子球面波特征位相#球面波中心在原點(diǎn):光波的數(shù)學(xué)描述

三、

平面波:空間分布等相面為平面,且這些平面垂直于光波傳播矢量k.等相平面的法線方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦,均為常量以k表示的等相平面方程為k

.r=const.故平面波復(fù)振幅表達(dá)式為:線性位相因子#常量振幅#光波的數(shù)學(xué)描述

三、平面波:在給定平面的分布在x-y平面上的等位相線

xcosa+ycosb=const為平行直線族在與原點(diǎn)相距為z

的平面上考察平面波的復(fù)振幅:隨x,y線性變化的位相因子常數(shù)幅相因子,A四、平面波的空間頻率在與原點(diǎn)相距為z

的平面上考察平面波的位相分布.等位相線是平行直線族.為簡(jiǎn)單計(jì),先看k在x-z平面內(nèi):cosb=0等位相面是平行于y軸的一系列平面,間隔為lz等位相面與x-z平面相交形成平行直線等位相面與x-y平面相交形成平行于y軸的直線復(fù)振幅分布:沿x方向的等相線間距:#

四、平面波的空間頻率復(fù)振幅分布:定義復(fù)振幅分布在x方向的空間頻率:#復(fù)振幅分布可改寫為:Y=∞,fy=0對(duì)于在x-z平面內(nèi)傳播的平面波,在y方向上有:

平面波的空間頻率:一般情形定義:復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為空間頻率平面波在x和y方向的空間頻率分別為:cosa,cosb

為波矢的方向余弦若波矢在x-z平面或y-z平面中,a(b)

又常用它們的余角qx(qy)表示,故:引入空間頻率概念后,單色平面波在xy平面的復(fù)振幅分布可以表示為#

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念空間頻率的單位:cm-1,mm-1,周/mm,條數(shù)/mm等空間頻率的正負(fù):表示傳播方向與x(或y)軸的夾角小于或大于90在給定的坐標(biāo)系,任意單色平面波有一組對(duì)應(yīng)的fx和fy,它僅決定于光波的波長(zhǎng)和傳播方向.反之,給定一組fx和fy,對(duì)于給定波長(zhǎng)的單色平面波就能確定其傳播方向cosa=l,fx,cosb=l,fy

要與光的時(shí)間頻率嚴(yán)格區(qū)分開空間比時(shí)間更具體,更直觀,是有形的如果在xy平面上的復(fù)雜的復(fù)振幅分布可以分解為許多簡(jiǎn)單的周期分布,則復(fù)雜的光振動(dòng)可以分解成許多簡(jiǎn)單平面波的疊加.二維F.T.在光學(xué)上的意義:#五、復(fù)振幅分布的空間頻譜(角譜)即:把U(x,y)看作頻率不同的復(fù)指數(shù)分量的線性組合,各分量的權(quán)重因子是A(fx,fy).

A(fx,fy)

稱為xy平面上復(fù)振幅分布的頻譜對(duì)xy平面上單色光場(chǎng)的復(fù)振幅分布U(x,y)進(jìn)行傅里葉分析:物理上,exp[j2p(fxx+fyy)]

代表傳播方向余弦為cosa=lfx,cosb=lfy

的單色平面波在xy平面的復(fù)振幅分布,U(x,y)是不同平面波分量分布的線性疊加.每個(gè)分量的相對(duì)振幅和初位相由頻譜A(fx,fy)決定.#五、復(fù)振幅分布的空間頻譜(角譜)根據(jù)可將頻譜函數(shù)A(fx,fy)用各平面波分量的方向余弦表示:稱為xy平