高一數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性第1章空間向量與立體幾何（復(fù)習(xí)）課件（65張）

單元復(fù)習(xí)第1

章空間向量與立體幾何人教A版2019選修第一冊01空間向量的概念及運(yùn)算02利用空間向量證明位置關(guān)系03利用空間向量計(jì)算距離04利用空間向量求空間角目錄05空間中的折疊與探究性問題

一、空間向量的概念及運(yùn)算1.空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運(yùn)算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加減法的三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)乘運(yùn)算與向量共線的判斷、數(shù)量積運(yùn)算、夾角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐標(biāo)表示是向量運(yùn)算的基礎(chǔ).2.向量的運(yùn)算過程較為繁雜，

要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.1(2)(多選)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項(xiàng)中，正確的是√√又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，因此D正確，其余兩個(gè)都不正確.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量共面的充要條件(1)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質(zhì)是一致的.(2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個(gè)向量是否與已知的兩個(gè)不共線的向量共面，特別地，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使

.跟蹤訓(xùn)練1

(1)在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點(diǎn)P在z軸上，且滿足

，則P點(diǎn)坐標(biāo)為A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(0,0，－3)√解析設(shè)P(0,0，z)，則有解得z＝3.(2)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，二、利用空間向量證明位置關(guān)系1.用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進(jìn)行證明.2.將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.例2

如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.典例解析證明:(1)如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)PA=AD=a,AB=b,則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M(jìn),N分別為AB,PC的中點(diǎn),

利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系的方法(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可.(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線的方向向量是共線向量;③利用共面向量定理,即證明可在平面內(nèi)找到兩個(gè)不共線向量來線性表示直線的方向向量.(3)證明面面平行的方法:①證明兩個(gè)平面的法向量平行(即是共線向量);②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量平行;②轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直;②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練2

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有側(cè)棱長及底面邊長都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD.跟蹤訓(xùn)練證法三:如圖,取BC,B1C1的中點(diǎn)O,O1,連接AO,OO1.因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,O,O1都為中點(diǎn),所以O(shè)B⊥OO1.又平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.三、利用空間向量計(jì)算距離1.空間距離的計(jì)算思路2.通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.例3

如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被平面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的長;(2)求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離.典例解析解:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).設(shè)F(0,0,z).

由題意得AEC1F為平行四邊形,向量法求點(diǎn)面距離的步驟

歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練3.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CC1的中點(diǎn).(1)求證:AD∥平面A1EFD1;(2)求直線AD與平面A1EFD1的距離.又D1A1?平面A1EFD1,DA?平面A1EFD1,所以DA∥平面A1EFD1.跟蹤訓(xùn)練證明:(1)如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則1.空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)設(shè)n1，n2分別是兩個(gè)平面α，β的法向量，則兩平面α，β夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m，n〉|.2.通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.四、利用空間向量求空間角例4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點(diǎn)且B1M=2,點(diǎn)N在線段A1D上,A1D⊥AN.(1)求異面直線A1D與AM所成的角;(2)求直線AD與平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM與平面ABCD夾角的余弦值.典例解析解:以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).

向量法求線面角、兩平面夾角的方法(1)利用空間向量求直線與平面所成的角的兩種方法:①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影所在直線的方向向量,將問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,則其余角就是斜線和平面所成的角.(2)利用空間向量求兩平面夾角的兩種方法:①利用定義,分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小,再由此得兩平面的夾角;②通過平面的法向量來求:設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2,則兩平面夾角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>),注意取銳角或直角.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練4

在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).(1)求異面直線AE與CP所成角的余弦值;(2)若點(diǎn)F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求點(diǎn)F的坐標(biāo);(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.跟蹤訓(xùn)練解:(1)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.由題意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).∵E為PB的中點(diǎn),∴E(1,1,1),例5如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點(diǎn).(1)求證:A1B∥平面ADC1;(2)求平面ADC1與平面ABC夾角的余弦值;(3)線段A1B1上是否存在點(diǎn)E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請說明理由.典例解析五、空間中的折疊與探究性問題

(1)證明:連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OD,如圖.由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點(diǎn).又D為BC的中點(diǎn),所以O(shè)D為△A1BC的中位線,所以A1B∥OD.因?yàn)镺D?平面ADC1,A1B?平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解:由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1兩兩垂直,以BC,BA,BB1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.設(shè)BA=2,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),(3)解:存在.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可設(shè)E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.

解決存在性問題的基本策略假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立),然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理,若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí),說明假設(shè)成立,即存在,并可進(jìn)一步證明;若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論,則說明假設(shè)不成立,即不存在.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練5

如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=(1)求證:PD⊥PB.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.跟蹤訓(xùn)練(1)證明:∵平面PAD⊥平面ABCD于AD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴PD⊥AB.又∵PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,∴PD⊥PB.(2)解:如圖,取AD中點(diǎn)為O,連接CO,PO.典例解析例6

如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=6,AD=2,E,F分別是CD的兩個(gè)三等分點(diǎn),若把等腰梯形沿虛線AF,BE折起,使得點(diǎn)C和點(diǎn)D重合,記為點(diǎn)P,如圖②.(1)求證:平面PEF⊥平面ABEF;(2)求平面PAE與平面PAB夾角的余弦值.典例解析(1)證明:∵四邊形ABCD為等腰梯形,AB=2,CD=6,AD=2,E,F是CD的兩個(gè)三等分點(diǎn),∴四邊形ABEF是正方形,∴BE⊥EF.∵BE⊥PE,且PE∩EF=E,∴BE⊥平面PEF.又BE?平面ABEF,∴平面PEF⊥平面ABEF.(2)解:過點(diǎn)P作PO⊥EF于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作BE的平行線交AB于點(diǎn)G,則PO⊥平面ABEF,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)G,OE,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

解決與折疊有關(guān)問題的方法解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量,一般情況下,折線同一側(cè)的,線段的長度是不變量,而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練(1)證明:取AD的中點(diǎn)O,連接OB,OP,∵BA=BD,EA=ED,即PA=PD,∴OB⊥AD且OP⊥AD,又OB∩OP=O,∴AD⊥平面BOP,而PB?平面BOP,∴PB⊥AD.(2)解:∵OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,∴PO⊥OB,∴OP,OB,OD兩兩互相垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OD,OP所在的直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,高考真題1.(2018·全國Ⅱ高考)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(

)答案:C解析:以DA,DC,DD1為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,2.(2019·全國Ⅰ高考)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為,那么P到平面ABC的距離為.解析:作PD,PE分別垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.連接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD?平面PDO,∴CD⊥OD.3.(2019·全國Ⅰ高考)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).(1)證明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.解:(1)連接B1C,ME.因?yàn)镸,E分別為BB1,BC的中點(diǎn),因此四邊形MNDE為平行四邊形,MN∥ED.又MN?平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA.設(shè)n=(p,q,r)為平面A1MN的法向量,4.(2019·全國Ⅱ高考)如圖,長方體ABC