隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課件

第三節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

第二章

2023/7/151一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.定義注1°如：若由方程可確定y是

x

的函數(shù),函數(shù)y為由此方程所確定的隱函數(shù)

.則稱2°確定了一個(gè)隱函數(shù)：y=y(x)解出，則稱此隱函數(shù)可顯化；2023/7/152例13°確定了一個(gè)隱函數(shù)：但不能顯化.y=y(x),

x(-,0),事實(shí)上，總有唯一確定的y0

，2023/7/153例2問(wèn)題:

隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí)如何求其導(dǎo)數(shù)?解(方法1)(方法2)2023/7/154另一方面，一方面，2023/7/155隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)y

的方程)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，2.隱函數(shù)求導(dǎo)法則2023/7/156解解得求由方程所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),由原方程知例32023/7/157

先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).3.隱函數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用

——對(duì)數(shù)求導(dǎo)法(1)方法不易求導(dǎo)易求導(dǎo)2023/7/158(2)適用范圍按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:取對(duì)數(shù)得兩邊求導(dǎo)：2023/7/159例4求的導(dǎo)數(shù).解兩邊對(duì)x

求導(dǎo)求冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法(方法1)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法兩邊取對(duì)數(shù),化為隱式方程：2023/7/1510(方法2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法注××??2023/7/1511例5解2023/7/1512例6兩邊對(duì)x

求導(dǎo)：2023/7/1513二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如，消去參數(shù)問(wèn)題:消去參數(shù)困難或無(wú)法消去參數(shù)時(shí)，如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?2023/7/1514結(jié)論(由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式)則由參數(shù)方程所單調(diào)且連續(xù)的反函數(shù)且能構(gòu)成復(fù)合確定的函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)：且2023/7/1515定點(diǎn)的軌跡稱為擺線,一個(gè)半徑為a的圓在定直線上滾動(dòng)時(shí),圓周上任一所確定的函數(shù)y=y(x)

的導(dǎo)數(shù)解

例7計(jì)算由擺線的參數(shù)方程:2023/7/1516擺線簡(jiǎn)介：即半徑為a

的圓周沿直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí),M的軌跡即為擺線.其上定點(diǎn)2023/7/1517解例8先寫出曲線的參數(shù)方程：2023/7/1518

皮肌炎是一種引起皮膚、肌肉、心、肺、腎等多臟器嚴(yán)重?fù)p害的，全身性疾病，而且不少患者同時(shí)伴有惡性腫瘤。它的1癥狀表現(xiàn)如下：1、早期皮肌炎患者，還往往伴有全身不適癥狀，如-全身肌肉酸痛，軟弱無(wú)力，上樓梯時(shí)感覺(jué)兩腿費(fèi)力；舉手梳理頭發(fā)時(shí)，舉高手臂很吃力；抬頭轉(zhuǎn)頭緩慢而費(fèi)力。皮肌炎圖片——皮肌炎的癥狀表現(xiàn)2023/7/1520例9解,求設(shè)方程組兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo),得2023/7/15212023/7/1522內(nèi)容小結(jié)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)2.

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除,乘方,開(kāi)方表示的函數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法用極坐標(biāo)方程給出的函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化1.

隱函數(shù)求導(dǎo)法則2023/7/1523思考題求提示:

分別用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求答案:2023/7/1524備用題

例3-1解2023/7/15252023/7/1526例3-2求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解

橢圓方程兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)故切線方程為即2023/7/1527例3-3在x=0處的導(dǎo)數(shù)解

方程兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)得由原方程得x=0時(shí)y=0,故確定的例3-3求由方程隱函數(shù)2023/7/1528求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解(方法1)(方法2)等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)例3-4設(shè)2023/7/1529例4-1解2023/7/15302023/7/1531設(shè)解等式兩邊取對(duì)數(shù)得求例6-12023/7/1532解例7-12023/7/1533例7-2拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t

的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.解

先求速度大小:速度的水平分量為鉛直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):2023/7/1534設(shè)

為切線傾角,則在剛射出(即t=0)時(shí),傾角為達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻高度落地時(shí)刻拋射