2020屆北京市高三（12月）月考數(shù)學(xué)試題及答案解析

試卷第=page22頁，總=sectionpages22頁第Page\*MergeFormat3頁共NUMPAGES\*MergeFormat23頁2020屆北京市高三（12月）月考數(shù)學(xué)試題及答案解析一、單選題1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是A． B． C． D．【答案】B【解析】，故其共軛復(fù)數(shù)是，選B2．若集合，，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】首先根據(jù)題意分別化簡集合和集合，再結(jié)合選項(xiàng)即可找到答案.【詳解】由題知：，，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合間的關(guān)系，同時考查了不等式的解法和二次函數(shù)的值域，屬于簡單題.3．若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】本題也可用直接法，因?yàn)?，所以，?dāng)時，，知A錯，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，故B錯；因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯．【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因?yàn)?，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．4．設(shè)，為兩個平面，則//的充要條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】采用排除法，結(jié)合面面平行的判定，可得結(jié)果.【詳解】易知A、C、D選項(xiàng)中與可能相交，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要是考查面面平行的判定，屬基礎(chǔ)題.5．已知是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是.若，，成等比數(shù)列，則()A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】首先根據(jù)，，成等比數(shù)列，得到，再計算即可找到答案.【詳解】由題知：，即.化簡為：，即..故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，同時考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.6．已知，是奇函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象的兩個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增【答案】A【解析】首先整理函數(shù)的解析式為，由函數(shù)為奇函數(shù)可得，由最小正周期公式可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)考查函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性即可.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)時：.令可得.因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖像的兩個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為結(jié)合最小正周期公式可得：，解得：.故函數(shù)的解析式為：.當(dāng)時，，函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)不具有單調(diào)性；據(jù)此可知，只有選項(xiàng)A的說法正確.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性，三角函數(shù)解析式的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7．已知點(diǎn)D，E分別是邊長為1的正的邊AB，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則的值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意畫出圖形，把用和表示出來，再計算即可.【詳解】如圖所示：.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加減法，同時考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.8．關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個零點(diǎn)④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【解析】化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案．【詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯誤．當(dāng)時，，它有兩個零點(diǎn)：；當(dāng)時，，它有一個零點(diǎn)：，故在有個零點(diǎn)：，故③錯誤．當(dāng)時，；當(dāng)時，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．【點(diǎn)睛】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．二、填空題9．已知，，且，則向量與向量的夾角是________.【答案】【解析】根據(jù)得到，再帶入夾角公式即可.【詳解】因?yàn)?，所?即，，..所以夾角是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的夾角公式，熟練掌握夾角公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題。10．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則________.【答案】【解析】根據(jù)，求出，，再計算即可.【詳解】由題知：，解得：，..故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前項(xiàng)和，同時考查了學(xué)生的計算能力，屬于簡單題.11．某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．【答案】40.【解析】本題首先根據(jù)三視圖,還原得到幾何體,根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù),計算幾何體的體積.屬于中等題.【詳解】如圖所示,在棱長為4的正方體中,三視圖對應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱之后余下的幾何體,幾何體的體積.【點(diǎn)睛】(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．12．設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【答案】-1;.【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用導(dǎo)函數(shù)的解析式可得a的取值范圍.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù),則，對任意的恒成立.若函數(shù)是上的增函數(shù),則恒成立,.即實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性?單調(diào)性?利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過程中,需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想,轉(zhuǎn)化成恒成立問題.注重重點(diǎn)知識?基礎(chǔ)知識?基本運(yùn)算能力的考查.13．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為___.【答案】【解析】設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2,由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在橢圓中，①化簡為即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在雙曲線中，化簡為即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為a1，（a＞a1），半焦距為c，由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2,∵∠F1PF2=，則∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在橢圓中，①化簡為即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在雙曲線中，①化簡為即4c2=4a12+r1r2…③，，由柯西不等式得（1+）（）≥（）2故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵．屬于難題．14．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)，使對一切實(shí)數(shù)均成立，則稱為“條件約束函數(shù)”.現(xiàn)給出下列函數(shù)：①；②；③；④是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且對一切均有.其中是“條件約束函數(shù)”的序號是__________（寫出符合條件的全部序號）.【答案】①③④【解析】對于①，取即可；對于②，因?yàn)闀r，，所以不存在，使對一切實(shí)數(shù)均成立；對于③，因?yàn)?，取即可；對于④，由于為奇函?shù)，故，令得，故，即，所以，取即可.點(diǎn)睛：新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點(diǎn)，常見的命題形式有新概念、新法則、新運(yùn)算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力．三、解答題15．在銳角中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大??；(2)求函數(shù)的值域.【答案】（1），（2）【解析】（1）首先利用正弦定義邊化角公式將化簡為，利用正弦兩角和公式即可得到，再計算角即可.（2）根據(jù)（1）問知，，將化簡為，再根據(jù)的范圍求值域即可.【詳解】（1）由題知：，，，，.因?yàn)?，所?，.（2）由（1）知：，..因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所?所以.故值域?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題第一問考查正弦定理的邊化角公式，第二問考查了三角函數(shù)的值域問題，同時考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.16．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線，，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在上.(1)若圓心C也在直線上，①求圓C的方程；②過點(diǎn)作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓在直線截得的弦長為，求圓C的方程.【答案】（1）①，②或，（2）或【解析】（1）①聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)半徑為即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.②分別討論斜率不存在和存在時的情況，利用直線和圓相切的關(guān)系即可求出切線方程.（2）首先設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線截得的弦長為，圓的半徑為，得到圓心到的距離為，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出圓心坐標(biāo)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）①由題知：.所以圓心為，圓：.②當(dāng)斜率不存在時，為，圓心到的距離為，符合題意.當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線為：.，解得，即切線為：.綜上所述，切線為：或.（2）因?yàn)閳A心在上，設(shè)圓心為.因?yàn)橹本€截得的弦長為，圓的半徑為，所以圓心到的距離為.所以，即，或.所以圓：或，【點(diǎn)睛】本題第一問考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的切線方程，第二問考查了直線與圓截得的弦長，屬于中檔題.17．已知函數(shù)y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，則稱x0是函數(shù)y=f（x）的一個不動點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=1時，求函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)；（Ⅱ）若對于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不同的不動點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)y=f（x）的圖象上A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)，且直線是線段AB的垂直平分線，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）；（2）（3）【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，，解得，，所以函數(shù)的不動點(diǎn)為.（2）因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)，函數(shù)有兩個不同的不動點(diǎn)，所以對于任意實(shí)數(shù)，方程恒有兩個不相等的實(shí)根，即方程恒有兩個不相等的實(shí)根，所以，即對于任意實(shí)數(shù)，，所以，解得．（3）設(shè)函數(shù)的兩個不動點(diǎn)為，則，且是方程的兩個不等根，所以，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€是線段的垂直平分線，所以，且在直線上，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【考點(diǎn)】新定義問題、函數(shù)與方程、直線方程、基本不等式．18．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的極值；（Ⅲ）當(dāng)時，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)無極小值；當(dāng)，在處取得極小值，無極大值（Ⅲ）的最大值為【解析】試題分析：（1）求出，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解方程即可；（2）解方程，注意分類討論，以確定的符號，從而確定的單調(diào)性，得極大值或極小值（極值點(diǎn)多時，最好列表表示）；（3）題意就是方程無實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解．一般是分類討論，時，無實(shí)數(shù)解，時，方程變?yōu)?，因此可通過求函數(shù)的值域來求得的范圍．試題解析：（1）由,得．又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,得,即,解得．（2）,①當(dāng)時,,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值．②當(dāng)時,令,得,．,;,．所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故在處取得極小值,且極小值為,無極大值．綜上,當(dāng)時,函數(shù)無極小值當(dāng),在處取得極小值,無極大值．（3）當(dāng)時,令,則直線:與曲線沒有公共點(diǎn),等價于方程在上沒有實(shí)數(shù)解．假設(shè),此時,,又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故．又時,,知方程在上沒有實(shí)數(shù)解．所以的最大值為．解法二:（1）（2）同解法一．（3）當(dāng)時,．直線:與曲線沒有公共點(diǎn),等價于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于的方程:（）在上沒有實(shí)數(shù)解．①當(dāng)時,方程（）可化為,在上沒有實(shí)數(shù)解．②當(dāng)時,方程（）化為．令,則有．令,得,當(dāng)變化時,的變化情況如下表:

當(dāng)時,,同時當(dāng)趨于時,趨于,從而的取值范圍為．所以當(dāng)時,方程（）無實(shí)數(shù)解,解得的取值范圍是．綜上,得的最大值為．【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，極值，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、值域，方程根的分布．19．已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，一個頂點(diǎn)為，離心率為，過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與坐標(biāo)軸不垂直，且交橢圓于A，B兩點(diǎn)．求橢圓的方程；設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個定點(diǎn)N，使得C，B，N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；設(shè)，是線段為坐標(biāo)原點(diǎn)上的一個動點(diǎn)，且，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）定點(diǎn)（3）【解析】（1）根據(jù)橢圓的一個頂點(diǎn)，得b＝1，利用離心率求得a和c關(guān)系進(jìn)而求得a，則橢圓的方程可得；（2）設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣2）（k≠0），代入橢圓方程，得到韋達(dá)定理，設(shè)存在N（t，0），使得C、B、N三點(diǎn)共線，則∥，利用向量共線定理坐標(biāo)化，將韋達(dá)定理代入可得t，即可求解．（3）利用（2）韋達(dá)定理，將坐標(biāo)化，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得m的取值范圍；【詳解】由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓C的方程為，橢圓C的一個頂點(diǎn)為，即由，解得：，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；由得，設(shè)，，設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，消去y可得則，，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，假設(shè)存在，使得C、B、N三點(diǎn)共線，則，，、B、N三點(diǎn)共線，，，即，．存在定點(diǎn)，使得C、B、N三點(diǎn)共線．由，，，，，，解得：，當(dāng)時，符合題意故m的范圍為【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓綜合問題，定點(diǎn)問題，相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可