2021屆高考數(shù)學(xué)模擬試題 (九)【含答案】

2021屆高考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足（l-i>z=4i,則目=（）

A.垃B.2C.272D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的除法運(yùn)算先求出Z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求出|z|.

4z4z(l+z)

【詳解】解：,.,(I—i>z=4i,,z=Iz|=2V2.

1^7-(l-z)(l+z)=-2+2i

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知集合A={x，-x<（）},8={x|x>l或x<0},則（）

A.B^AB.AcBC.A\JB=RD.Ap\B=0

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式對集合進(jìn)行化簡，即可求出兩集合的關(guān)系.

【詳解】解：解不等式工2一“<0得0<x<l,則A={x[0<x<l}.

因?yàn)锽={x|x>l或x<0},所以AnB=0,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的求解，考查了兩集合間的關(guān)系.

3.己知a=log?0.2,h=log020.3,c=10。,，則（）

A.a<b<CB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將。、b、c與0、1比較，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)閥=log3%在(。,+8)上單調(diào)遞增，

所以a=log30.2<log31=0,

因?yàn)閥=log02x在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

所以0=logo,2l<b=log020.3<log020.2=1,

因?yàn)閥=10'在R上單調(diào)遞增，

所以c=10°」>10°=1,

所以a<b<c.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)與對數(shù)函數(shù).屬于基礎(chǔ)題.本類題型一般都是將所需比較的數(shù)與0、1

比較大小，熟練掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解本題的關(guān)鍵.

4.(l-x)(l+x)3的展開式中，X，的系數(shù)為()

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意轉(zhuǎn)化條件得(1一x)(l+X)3=(1+X)3-X(1+X)3,再由二項(xiàng)式定理寫出(1+X)3的通項(xiàng)公式，分別令

廠=3、r=2,求和即可得解.

詳解】由題意(1-X)(l+X)3=(1+X)3-x(l+X)3,

rr

(1+龍丫的通項(xiàng)公式為Tr+i=C；?產(chǎn),.x=q-x,

令r=3,則C；=C=1；

令廠=2,則q=C=3；

所以(l—x)(l+x)3的展開式中，工3的系數(shù)為1-3=-2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.函數(shù)/（X）與的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)/（x）的部分圖象大致為（)

g(x)=

X

【答案】D

【解析】

【分析】

2C0QY-I-1

由誘導(dǎo)公式對g（x）化簡，結(jié)合兩函數(shù)圖象的關(guān)系可求出/（x）=---

了（萬）即可排除錯誤答案.

【詳解】解：（\-2C0SX-1.因?yàn)?（x）與g（x）圖象關(guān)于y軸對稱,

g（x）=

X

則"-2cos-osx+l,.o,

—XX

排除B,

、2cos乃+11八…人

/(乃)=---------=----<0,排除A,

7171

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，考查了函數(shù)圖象的變換，考查了函數(shù)圖象的選擇.本題的關(guān)鍵是求出了（X）的

解析式.

6.在3世紀(jì)中期，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之

又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一

個圓內(nèi)接正〃邊形等分成〃個等腰三角形（如圖所示），當(dāng)〃變得很大時，等腰三角形的面積之和近似等于圓

的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到s%3°的近似值為（）（乃取近似值3.14）

A.0.012B.0.052

C.0.125D.0.235

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意圓內(nèi)接正120邊形其等分成120個等腰三角形，每個等腰三角形的頂角為3。,根據(jù)等腰三角形的面

積之和近似等于圓的面積.即可列出等式解出sin3。的近似值.

36001

2

【詳解】當(dāng)〃=120時，每個等腰三角形的頂角為---=3°，則其面積為5A=-rsin3°,

又因?yàn)榈妊切蔚拿娣e之和近似等于圓的面積，

1元

所以120x-/sin30?sin3°?—?0.052,

260

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查三角形與圓的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.解本類題型需認(rèn)真審題，讀懂題意找到等式是關(guān)鍵.

7.己知函數(shù)/（X）=x3+lg（m+x）,若等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且

/（4-1）=一1°，/（4020一1）=1°，則$2020=（）

A.-4040B.0

C.2020D.4040

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對/（-X）進(jìn)行整理可得“X）為奇函數(shù)，從而可知4+。2020=2,代入等差數(shù)列的

求和公式即可求出§2020的值.

【詳解】解：因?yàn)?（%）=??+收（42+1+q定義域?yàn)槌?關(guān)于原點(diǎn)對稱，且

/(-X)=(-X)3+1g+1_X)=_丁+1g]

\lx2+1+x

=-X3-1g[ylx2+1+Xj=-f(x),所以/(x)為奇函數(shù)，

由/(q_1)=_/(。202。_1)=/(1_/020)得，4-1=]_4020，所以4+。2020=2,

因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列,所以%20=2020(4；+生。2°)=2020,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算，考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，考查了等差數(shù)列的求和公式.本題的關(guān)鍵是

求出q+。202。=2.

8.在四面體ABCZ)中，BC^CD^BD^AB^2,ZABC^9QZ,二面角A-BC—。的平面角為150°,

則四面體ABCD外接球的表面積為()

31124

A.—71B.H

33

C.3UD.124乃

【答案】B

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出A8,C,。坐標(biāo)，利用球心到距離等于半徑求出球心坐標(biāo)，從而求出

球體半徑，即可求出球體的表面積.

【詳解】解：取BO中點(diǎn)E為坐標(biāo)系原點(diǎn)，過點(diǎn)E作垂直于平面8C。的直線為z軸，所在直線為x軸,

EC所在直線為)'軸，如下圖所示.

由己知條件可得：8(1,0,0),C(-l,0,0),￡>(0,73,0),A(l,-V3,l).

設(shè)四面體ABCD外接球的球心為O(x,y,z),由=|Q?|=|OC|=|OD|得:

+z2

x=0

解得：＞y---,則球心。0,—~53

313

z=3

四面體ABCD外接球的半徑R=|04|,所以四面體ABCD外接球

的表面積S=4萬7?2=4萬x31=上生.

33

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系求出各頂點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）

9.在疫情防控阻擊戰(zhàn)之外，另一條戰(zhàn)線也日漸清晰一一恢復(fù)經(jīng)濟(jì)正常運(yùn)行.國人萬眾一心，眾志成城，防控

疫情、復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某企業(yè)對本企業(yè)1644名職工關(guān)于復(fù)工的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，則下列說法

正確的是（）

疫情防控期間某企業(yè)復(fù)工職工調(diào)查

申請休假

B.從該企業(yè)中任取一名職工，該職工是傾向于在家辦公的概率為0.178

C.不到80名職工傾向于繼續(xù)申請休假

D.傾向于復(fù)工后在家辦公或在公司辦公的職工超過986名

【答案】BD

【解析】

【分析】

根據(jù)扇形圖中的比例關(guān)系依次驗(yàn)證各個選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A,x=100-5.1-17.8-42.3=34.8,A錯誤；

對于8,傾向于在家辦公的人員占比為17.8%,故對應(yīng)概率為0.178,B正確;

對于C，傾向于繼續(xù)申請休假人數(shù)為1644x5.1%284人，C錯誤；

對于。，傾向于在家辦公或在公司辦公的職工人數(shù)為1644x(17.8%+42.3%)*988人，。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)扇形圖進(jìn)行相關(guān)命題的辨析的問題，涉及到比例和頻數(shù)的計(jì)算等知識，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知向量7=(2,1),5=(1，-1)，c=2,-其中孫”均為正數(shù)，且(萬一萬)〃I下列說

法正確的是()

A.a與6的夾角為鈍角

B.向量。在b方向上的投影為乎

C.2m+n=4

D.mn的最大值為2

【答案】CD

【解析】

【分析】

對于A,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷：對于B,利用平面向量的投影定義判斷；對于C,利用(〃_6)〃△

判斷；對于D,利用C的結(jié)論，2巾+〃=4,結(jié)合基本不等式判斷.

【詳解】對于A,向量。=(2,1),5=(1，-1)，則G出=2—1=1>0，則石的夾角為銳角，錯誤；

ab近

對于B,向量5=(2,1),B=(l，T)，則向量方在B方向上的投影為不丁=丁，錯誤；

M2

對于C,向量1=(2,1),B=(l,-1),則M—(1,2),若(4一5)〃乙，貝I」(-〃)=2(初-2),變形可得

2〃7+〃=4,正確；

]]2Z77+Yt

對于D,由C的結(jié)論，2w+n=4,而相，”均為正數(shù)，則有MJ〃=—(2wn)<—(------)?=2,即的最大

222

值為2,正確：

故選：CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

y2

11.己知橢圓C:一+=l(a>8>0)的右焦點(diǎn)為產(chǎn)點(diǎn)尸在橢圓。上，點(diǎn)。在圓

瓦

E:(x+3)2+(y-4)2=4±,且圓E上的所有點(diǎn)均在橢圓C外，若歸@一歸目的最小值為2石一6，且

橢圓。的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則下列說法正確的是()

A.橢圓。的焦距為2B.橢圓。的短軸長為石

C.目的最小值為2遙D.過點(diǎn)尸的圓E的切線斜率為-4.S

【答案】AD

【解析】

【分析】

由題意可求得a的值，再由圓的幾何性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義以及已知條件可求得c的值，進(jìn)而可判斷出A、B

選項(xiàng)的正誤；利用圓的幾何性質(zhì)可判斷c選項(xiàng)的正誤；設(shè)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑可

求得切線的斜率，可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】圓E的圓心為E（—3,4）,半徑長為2,

由于橢圓。的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則2。=4,可得a=2,

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為點(diǎn)耳，由橢圓的定義可得|PF|+|P￡|=2a=4,.?.伊口=4一戶用，

所以，忸。|一|「耳=|尸。］一（4一忸周）=|/印+|/0—42|/制+歸國—2—42|環(huán)|一6=2括一6,

當(dāng)且僅當(dāng)P、。、E、6四點(diǎn)共線，且當(dāng)P、Q分別為線段石月與橢圓。、圓E的交點(diǎn)時，等號成立,

則怛用=J（_3+c）2+（4_0）2=J（c_3『+16=2石,?.?0<c<a=2,解得c=l,

所以，橢圓。的焦距為2c=2,A選項(xiàng)正確；

橢圓C的短軸長為2b=2/?一°2=2百，B選項(xiàng)錯誤；

\PQ\+\PF\>\PE\+\PF\-2>|￡F|-2=^/（-3-1）2+（4-0）2-2=4夜一2，

當(dāng)且僅當(dāng)尸、Q、E、F四點(diǎn)共線，且當(dāng)P、。分別為線段EF與橢圓C、圓E交點(diǎn)時，等號成立，C

選項(xiàng)錯誤;

若所求切線的斜率不存在，則直線方程為x=l,圓心E到該直線的距離為卜3—1|=4>2,則直線x=l與

圓E相離，不合乎題意；

若所求切線的斜率存在，可設(shè)切線的方程為y=%(x—l),即依一丁一女=。，

|一32一4一44|Z+1|-4+J1

由題意可得'=^=—』=1=2,整理得3左2+82+3=()，解得&=4一山

，公+1Je+i3

D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的定義解決焦半徑與桶圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離和與差的最值問題，同時也

考查了過圓外一點(diǎn)引圓的切線問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.

12.已知函數(shù)/(x)=||cosHTsinx||,則下列結(jié)論中，正確的有()

A.乃是“X)的最小正周期

B./(X)在上單調(diào)遞增

C./(X)的圖象的對稱軸為直線尤=?+而(AeZ)

D./(x)的值域?yàn)閇0,1]

【答案】BD

【解析】

【分析】

由〃—x)=/(X)，知函數(shù)為偶函數(shù)，又/(x+5)=/(x),知'是〃尤)的周期，

當(dāng)xe[0,C]時，化簡/(X)并畫出其圖象，在根據(jù)偶函數(shù)和周期性，畫出函數(shù)/(X)的圖象，根據(jù)圖象判斷

4

每一個選項(xiàng)是否正確.

【詳解】由/(—x)=/(x),知函數(shù)為偶函數(shù)，又/(>+/=/(x),知、是“X)的周期，

當(dāng)XG[0,工]時，f(x)=cosx-sinx=-V2sin(x-—),畫出/(x)的圖象如圖所示：

44

y

3牙x

4~2442-7

由圖知，的最小正周期是'，A錯誤；

I-TT冗\(yùn)

/(X)在匕,7上單調(diào)遞增，B正確；

k冗

“X)的圖象的對稱軸為x=f,(ZwZ),C錯誤；

“X)的值域?yàn)椋?』，D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題是絕對值與三角函數(shù)的綜合問題，判斷函數(shù)奇偶性，周期性畫出函數(shù)圖象是解決問題的關(guān)鍵,

屬于中檔題.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若曲線/(x)=xlnx+x在點(diǎn)(1,7(1))處的切線與直線2x+ay-4=0平行，則。=.

【答案】-1

【解析】

【分析】

求出函數(shù)/(x)在x=l處的導(dǎo)數(shù)值,即可根據(jù)兩直線平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式，得出

答案.

【詳解】因?yàn)?(x)=xlnx+x.

所以/'(%)=lnx+l+l=lnx+2,

所以f(1)=2.

因?yàn)榍€f(x)=/n元+x在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線與直線2x+@—4=0平行，

即2=——=。=-1.

a

故答案為:-1.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.解本提出的關(guān)鍵在于理解函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值等

于函數(shù)在這點(diǎn)的切線的斜率.

14.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,頂點(diǎn)5在底面的射影為O,軸截面S48是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)

面積為，點(diǎn)。為母線SB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為弧43的中點(diǎn)，則異面直線CQ與OS所成角的正切值

為.

【答案】(1).2萬

【解析】

【分析】

由軸截面的圖形可知圓的半徑和母線長，從而可求出側(cè)面積；作于E,通過求出

tan/COE=三EC;，從而可求異面直線所成角.

DE

【詳解】解：因?yàn)檩S截面SA8是邊長為2的等邊三角形，所以底面圓的半徑為1,母線為2,

所以圓錐的側(cè)面積為S=;rxlx2=2萬；作QCAfi于E,則。E_L底面圓，

因?yàn)?。為母線SB的中點(diǎn)，所以"二？=走，

222

又EC=J℃2+0E2Ttj+1，所似‘a(chǎn)nNCDE=庠=*=華,

2

因?yàn)镋DHSO,所以異面直線C。與OS所成角的正切值為姮.

3

故答案為：2兀；叵

3

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積的求解，考查了異面直線二面角的求解.本題的關(guān)鍵是將異面直線通過平移,

求其夾角.

15.CES是世界上最大的消費(fèi)電子技術(shù)展，也是全球最大的消費(fèi)技術(shù)產(chǎn)業(yè)盛會.2020CES消費(fèi)電子展于2020

年1月7日—10日在美國拉斯維加斯舉辦.在這次CES消費(fèi)電子展上，我國某企業(yè)發(fā)布了全球首款彩色水墨

屏閱讀手機(jī)，驚艷了全場.若該公司從7名員工中選出3名員工負(fù)責(zé)接待工作（這3名員工的工作視為相同的

工作），再選出2名員工分別在上午、下午講解該款手機(jī)性能，若其中甲和乙至多有1人負(fù)責(zé)接待工作，則

不同的安排方案共有種.

【答案】360

【解析】

【分析】

理解題意，分兩步安排，先安排接待工作，再安排講解工作.安排接待工作時，甲和乙至多安排1人，故分

沒安排甲乙和甲乙安排1人兩類求解，從而計(jì)算出不同的安排方案總數(shù).

【詳解】先安排接待工作，分兩類，一類是沒安排甲乙有C；種，

一類是甲乙安排1人有c；c